4.4.3 两平面垂直（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 4.4.3两平面垂直 课程标准 素养解读 1理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能 1.通过面面垂直判定定理的应用，提升逻辑推 解决有关面面垂直的问题。 理等核心素养。 2.掌握面面垂直的性质定理，并能证明线面 2.通过学习面面垂直的性质定理，培养直观 的垂直关系 想象等核心素养， 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内 3.通过面面垂直、线面垂直判定与性质的应 在联系并能解决垂直关系的综合问题 用，提升逻辑推理等核心素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双茶 情境引入 观察如图所示的长方体，结合平面与平面垂直的性质定理，探究下列问题（记平面CDD 'C'为a,平面ABCD为f): 结合图形说明平面a内的直线与平面$都有什么关系？ D' B 必备知识 [知识点一]平面与平面垂直 1.定义：当两个平面所成的角是π2时，称为两个平面互相垂直. 2.画法： 3.记作：a⊥B 4.判定定理 文字 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 语言 图形 语言 符号 1La,1cB→a⊥f 语言 [知识点二] 平面与平面垂直的性质定理 文字 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于这两 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教铺专家 语言 个平面的交线的直线，垂直于另一个平面 a⊥B 符号 a∩3=l 语言 →a⊥3 aCa a⊥l 图形 aa 语言 ①面面垂直÷ 线面垂直； 作用 ②作面的垂线 2思考1两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？ 提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面. 2.如果a⊥B,则a内的直线必垂直于B内的无数条直线吗？ 提示：正确，若设anB=l,aca,bcB,若a⊥1，则a⊥b,故B内与b平行的无数条直 线均垂直于a内的任意直线；若a与1不垂直，则只需b⊥1即可，则a⊥a,故a⊥b,从而B 内有无数条平行于b的直线均与a垂直. 预习自测 1.直线1⊥平面a,1c平面B,则a与的位置关系是() A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直 D.相交不垂直 解析：C[由面面垂直的判定定理，得a与B垂直.] 2.平面a⊥平面B,anB=1,mca,m⊥1则() A.m∥B B.mcB C.m⊥B D.m与相交但不一定垂直 解析：C[由面面垂直的性质定理知C正确.] 3.若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线α垂直于第二个平面内的一条直线 b,那么() A.直线a垂直于第二个平面 B.直线b垂直于第一个平面 C.直线a不一定垂直于第二个平面 D.过a的平面必垂直于过b的平面 解析：C[直线a与直线b均不一定为两面的交线.] 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 平面与平面垂直的判定 例1 如图所示，AB=AD,∠ABC=∠ADC=9O°，E为BD的中点，求证：平面AEC ⊥平面ABD --2 [思路点拨]要证明面面垂直，先证明线线垂直，然后得线面垂直，最后证明面面垂直· [证明]因为AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC,所以△ABC≌△ADC,可知 BC=DC.又因为AB=AD,E为BD的中点，所以BD⊥CE,BD⊥AE.因为CE,AE是平面AEC 内的两条相交直线，所以BD⊥平面AEC,又因为BDC平面ABD,所以平面AEC⊥平面ABD 通法通性 证明平面与平面垂直的两种常用方法 (I)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角： ②证明这个平面角是直角； ③根据定义，这两个相交平面互相垂直. (②)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻 找一条直线与另一个平面垂直，这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： 定思路 分析题意，根据题目条件选择证明哪 个平面的垂线 证线面 恰当选择方法证明线面垂直 证面面 根据面面垂直的判定定理证明 [变式训练] 1.如图所示，在正方体ABCD-AB1CD1中，E,F分别是线段BD,BC的中点.求证： 平面EFB1⊥平面BCCB1 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 证明：在正方体ABCD-AB1CD1中，E,F分别是线段BD,BC的中点，则EF∥CD.又 因为CD⊥平面BCCB1,所以EF⊥平面BCCB1,又因为EFC平面EFB1,所以平面EFB1 ⊥平面BCCB1 题型三 面面垂直的性质定理的应用 例2如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点 为M,AC⊥BC 求证：AM⊥平面EBC [思路点拨]根据面面垂直的性质可证BC⊥平面ACDE,从而BC⊥AM,再证AM⊥平 面EBC 证明：，平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,BCC平面ABC,BC⊥ AC,∴.BC⊥平面ACDE.又AMC平面ACDE,BC⊥AM.四边形ACDE是正方形，AM ⊥CE.又BC∩CE=C,BC,ECC平面EBC,AM⊥平面EBC. 通法通性 应用面面垂直的性质定理的策略 ()应用步骤：面面垂直 ·→直线垂直两平面交线线面垂直一→线线垂直 (2)应用类型：①证明线面垂直、线线垂直；②作线面角或作二面角的平面角. [变式训练] 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD, PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点. 求证：PA⊥底面ABCD. 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 证明：因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面 ABCD 题型自 垂直关系的综合问题 例3 己知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC, 求证：BC⊥AC [思路点拨]由面面垂直证线面垂直，再由线面垂直证线线垂直. 证明：如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D.因为平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩ 平面PBC=PCADS平面PAC,且AD⊥PC,所以AD⊥平面PBC,又BCS平面PBC,所以 AD⊥BC.因为PA⊥平面ABC,BC≤平面ABC,所以PA⊥BC,因为AD∩PA=A,AD,PA ∈平面PAC,所以BC⊥平面PAC,又因为ACS平面PAC,所以BC⊥AC 通法通性 垂直关系的转化 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，第一种垂 直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下： 面面垂直的判定 线线垂直线百垂直的判定线面垂直面面垂直的荆定面面矿垂直 线面垂直的 面面垂直的 性质是线线 性质是线面 垂直的判定 垂直的判定 [变式训练] 3.如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,求 证：AE∥平面BCD 证明：如图，取BC的中点M, 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 C 连接DM,AM,因为BD=CD,所以DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC,DM仁平面 BCD,两平面交线为BC,所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.又因为 AEt平面BCD,DM仁平面BCD,所以AE∥平面BCD. 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.如果直线1，m与平面a,B,y满足：Bny=1,1∥a,mSa和m⊥y,那么必有( A.a⊥y且1⊥m B.a⊥y且m∥B C.m∥B且1⊥m D.a∥B且a⊥y 解析：A[B错，有可能m与B相交：C错，可能m与B相交；D错，有可能a与B相交.] 2.设有直线m,n和平面a,B,则下列结论中正确的是() ①若m∥n,n⊥B,msa,则a⊥B;②若m⊥n,anf=m,nsa,则a⊥B:③若m⊥a, n⊥B,m⊥n,则a⊥B. A.①② B.①③C.②③D.①②③ 解析：B[②错误，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面 的交线垂直，] 3.己知直线a,b与平面a,B,y,下列能使a⊥成立的条件是() A.a⊥y,B⊥yB.a∩f=a,b⊥a,bsB C.a∥p,a∥aD.a∥a,a⊥B 解析：D[由a∥a,知a内必有直线1与a平行.而a⊥B,所以1⊥B,所以a⊥B.] 4.平面a⊥平面B,anB=1,nsB,n⊥1，直线m⊥a,则m与n的位置关系是 解析：因为a⊥B,anB=l,nSB,n⊥l,所以n⊥a又因为m⊥a,所以m∥n. 答案：平行 》 分层训练 课后·素养提升 高效提能 [基础过关] 1.己知1⊥a,则过1与a垂直的平面() A.有1个 B.有2个 C.有无数个D.不存在 解析：C[由面面垂直的判定定理知，凡过1的平面都垂直于平面α，这样的平面有无 数个.] 2.下列命题中正确的是() ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 A.平面a和B分别过两条互相垂直的直线，则a⊥B B.若平面a内的一条直线垂直于平面B内的两条平行直线，则a⊥B C.若平面a内的一条直线垂直于平面B内的两条相交直线，则a⊥B D.若平面a内的两条直线垂直于平面B内的无数条直线，则a⊥B 解析：C[当平面a和B分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面a和B有可能平行， 故A错：由直线与平面垂直的判定定理知，B,D错，C正确.] 3.对于直线m,n和平面a,B,能得出a⊥的一个条件是() A.m⊥n,m∥a,n∥B B.m⊥n,anB=m.n≤a C.m/∥n,n⊥B,m≤a D.m∥n,m⊥a,n⊥B 解析：C[.nLB,m∥n,m⊥B,又mSa,由面面垂直的判定定理，得a⊥B.] 4.下列命题：①垂直于同一个平面的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直 线互相垂直；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互 相平行，其中正确的命题个数为() A.1个B.2个C.3个D.4个 解析：A[垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，①错误：垂直于同一个平面的两 条直线互相平行，②错误；垂直于同一条直线的两条直线可能异面、相交或平行，③错误： 垂直于同一条直线的两个平面互相平行，④正确.] 5.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，与AD1垂直的平面是() D A.平面DD1C1C B.平面ADB1 C.平面AB1CD1 D.平面A1DB 解析：B[,AD⊥A1D,AD⊥A1B,A1D∩A1B1=A1,AD,A1BC平面A1DB,.AD⊥平面 A DB. 6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，则互相垂直的平面有 解析：因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,PB,PCc平面PBC,所以PA⊥平面PBC 又PA∈平面PAB,PA∈平面PAC,所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC同理 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 可证平面PAB⊥平面PAC 答案：平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC,平面PAB⊥平面PAC 7.平面a⊥平面B,直线a∥a,以下三个结论： ①a⊥B;②a∥B;③a与B相交. 其中可能正确的序号为 解析：因为a∥a,平面a⊥平面B,所以直线a与B垂直、相交、平行都有可能. 答案：①②③ 8.如图所示，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,图中有 个直角三角形，互相垂 直的平面共有 对 解析：因为AB⊥平面BCD,BC⊥CD,所以△ABC,△ABD,△ACD,△BCD都是直角 三角形，共有4个：图中互相垂直的平面有：平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD, 平面ABC⊥平面ADC,所以图中互相垂直的平面共有3对！ 答案：43 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形. 求证：平面PAC⊥平面PBD. 证明：因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以BD⊥PA.因为四边形ABCD是菱 形，PA,ACC平面PAC,所以BD⊥AC.又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BD⊥平 面PAC.又因为BDC平面PBD.所以平面PAC⊥平面PBD [能力提升] 10.已知m和n是两条不同的直线，a和B是两个不重合的平面，则下面给出的条件中一 定能推出m⊥的是( A.a⊥B且mca B.a⊥B且m∥a C.m∥n且n⊥B D.m⊥n且n∥B 解析：C[对于A,对于B,由a⊥B且mCa,可得m∥B或m与B相交或mCB,故 A不成立；对于B,由a⊥B且m∥a,可得mCB或m∥B或m与B相交，故B不成立：对 于C,由m∥n且nLB,可得mLB,故C成立；对于D,由m⊥n且n∥B,可得m∥B或m ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 与B相交或mCB,故D不成立，] 11.已知平面a,B和直线m,1则下列说法正确的是() A.若a⊥B,anB=m,1Lm,则1Lf B.若anB=m,1ca,1⊥m,则1⊥B C.若a⊥B,Ica,则1LB D.若a⊥B,anB=m,ca,1⊥m,则1⊥B 解析：D[对于说法A缺少了条件：1ca:说法B缺少了条件：a⊥B;说法C缺少 了条件：a∩B=m,1上m;说法D具备了面面垂直的性质定理的所有条件，] 12.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD, 则BD与CC() A.平行B.共面C.垂直D.不垂直 解析：C[如图所示，在四边形ABCD中， 因为AB=BC,AD=CD.所以BD⊥AC.因为平面AA1CC⊥平面ABCD,平面AA1CC∩平面ABCD =AC,BDC平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C.又CCC平面AA1C1C,所以BD⊥CC1.] 13.在正方体ABCD-A1BC1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位 置关系是 (填“垂直”“不垂直”其中的一个) 解析：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD, 0 C B 所以CC1⊥BD.又AC⊥BD,CC1∩AC=C,CC1,ACC平面AA1C1C,所以BD⊥平面 AA1C1C.又BDC平面EBD,所以平面EBD⊥平面AA1C1C 答案：垂直 14.如图，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°.PA=1,AB=2, 则PB= ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：因为侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90(即PA⊥AC),所以PA⊥平 面ABC,所以PA⊥AB,所以PB=PA2十AB2=1+4=5 答案：5 15.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F (E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上，且EF⊥AD 求证：(I)EF∥平面ABC: (2)AD⊥AC 证明：(I)在平面ABD内，因为AB⊥AD,EF⊥AD,则AB∥EF.又因为EF￠平面ABC, ABC平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BCC平面BCD,BC⊥BD, 所以BC⊥平面ABD.因为ADC平面ABD,所以BC⊥AD.又因为AB⊥AD,BC∩AB=B,AB C平面ABC,BCC平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为ACC平面ABC,所以AD⊥AC ·独家授权侵权必究