3.1.2 椭圆的几何性质（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

3．1.2　椭圆的几何性质 课程标准 素养解读 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线. 1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养． 2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养. 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 观察椭圆＋＝1(a >b>0 )的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ [知识点一]　椭圆的简单几何性质　 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 　－a≤x≤a且－b≤y≤b　 　－b≤x≤b且－a≤y≤a　 续表 对称性 对称轴为　坐标轴　，对称中心为　原点　 顶点 　A1(－a,0)，A2(a,0)　 　B1(0，－b)，B2(0，b)　 　A1(0，－a)，A2(0，a)　 　B1(－b,0)，B2(b,0)　 轴长 短轴长|B1B2|＝　2b　，长轴长|A1A2|＝　2a　 焦点 　F1(－c，0)，F2(c,0)　 　F1(0，－c)，F2(0，c)　 焦距 |F1F2|＝2c 　[知识点二]　离心率 1．定义：把椭圆的焦距与长轴长的比　　称为椭圆的　离心率　，记作e，即e＝　　. 2．性质：离心率e的范围是　(0,1)　.当e越接近于1时，椭圆　越扁　；当e越接近于　0　时，椭圆就越接近于圆．离心率e的大小反映了椭圆的扁平程度． 1.离心率e能否用表示？ [提示]　不能．e2＝＝＝1－2， 所以e＝. 2．离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？ [提示]　不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同． 1．椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10,0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13,0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±) 解析：D　[由题意知，椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝.] 2．已知椭圆上一点到两焦点(2,0)和(－2,0)的距离之和等于6，则椭圆的短轴长为(　　) A．5 B．10 C. D．2 解析：D　[2a＝6，c＝2，b2＝32－22＝5，所以b＝，2b＝2.] 3．已知中心在原点的椭圆C的左焦点为F(－1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋y2＝1 解析：C　[依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝，即a＝3，b2＝a2－c2＝8，因此椭圆的方程是＋＝1.] 　椭圆的简单几何性质 　求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [思路点拨]　→→→ [解]　将椭圆方程变形为＋＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6.2c＝2，焦点坐标为F1，F2.顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝. 由标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而是2a,2b,2c. [变式训练] 1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． [解]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝4，b＝3，c＝＝， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6； 离心率e＝＝；两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)； 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 　求椭圆的离心率 [例2]　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是　________　. [思路点拨]　△ABF2为正三角形⇒∠AF2F1＝30°⇒把|AF1|，|AF2|，|F1F2|用参数表示． [解析]　不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝＝x＝2c，再由椭圆的定义， 可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x， 所以e＝＝＝. [答案]　 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解；若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [变式训练] 2．椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是(　　) A.－1 B．2－　 C.－1　 D．2－ 解析：如图，设F(c,0)，由于△OAF是等边三角形， 得A，因为点A在椭圆上，所以有＋＝1①，在椭圆中有a2＝b2＋c2②，联立①②，得c2＝(4－2)a2， 即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1. 答案：A 　　　由几何性质求椭圆的标准方程 [例3]　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点(3,0)，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率． [思路点拨]　(1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． (3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解． 法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)． [解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝＝＝＝，解得a2＝27. ∴椭圆的方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为＋＝1. (3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.将点M(1,2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． [变式训练] 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)，求椭圆的标准方程． 解：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知a＝2b，又过点(2，－6)，因此有＋＝1或＋＝1，则可得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.故所求的方程为＋＝1或＋＝1. 　椭圆的实际应用 　嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是(　　) A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3 988公里 C．两焦点坐标约为(±150,0) D．离心率约为 [思路点拨]　近月点与月球表面的距离为a－c，远月点与月球表面的距离为a＋c，构造方程组求解． [解]　A　[设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为×3 476＝1 738， a－c＝100＋1 738＝1 838，a＋c＝400＋1 738＝2 138，2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988， c＝2 138－1 988＝150，椭圆的离心率约为e＝＝＝，可得结论A项正确，B、D项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误．综上可知，正确的为A.] 求椭圆应用问题的步骤 (1)根据题意构造方程(组) (2)通过计算求出椭圆中a，b，c的值 (3)求出所要求出的量 (4)还原到实际问题中，从而解决实际问题 [变式训练] 4.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为　________　cm. 解析：由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，可得焦距长为20 cm，故离心率为e＝，所以小椭圆的离心率为e＝，小椭圆的短轴长为10 cm，即2b＝10 cm，由e＝，可得a＝10 cm，所以长轴长为20 cm. 答案：20 1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5,3,0.8 B．10,6,0.8 C．5,3,0.6 D．10,6,0.6 解析：B　[椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝.] 2．椭圆＋＝1的离心率是(　　) A. B． C. D． 解析：D　[由椭圆方程可知a＝3，b＝所以c＝＝2，所以椭圆＋＝1的离心率为e＝＝.] 3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　) A．8　　 B．7　　　 C．5　　　 D．4 解析：A　[由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.] 4．若椭圆＋＝1(0<m<4)的离心率为，则m的值为　________　. 解析：a2＝4，b2＝4－m，c2＝m，e＝＝，则m＝1. 答案：1 [基础过关] 1．若椭圆＋＝1过点，则其焦距为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：D　[将点代入＋＝1，得m2＝16，所以a2＝16，b2＝4，c2＝12,2c＝4.] 2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　) A．2 B． C．4 D． 解析：D　[x2＋my2＝1，∴x2＋＝1，∴a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1，∴＝2，∴m＝.] 3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　) A. B． C. D． 解析：C　[∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.] 4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：A　[由题意知解得因此所求椭圆的方程为＋＝1.] 5．离心率为，长轴长为6的椭圆方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 解析：D　[由题意知2a＝6，a＝3，e＝＝，c＝2，b＝，焦点在x轴或y轴上．] 6．已知椭圆的长轴顶点为(0，±4)，且离心率e＝，则椭圆的方程是　________　. 解析：由题意可知，a＝4，e＝＝，c＝2，所以b＝2，又焦点在y轴上，故所求椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 7．长半轴长为8，离心率为，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是　________　. 解析：由题意可知a＝8，e＝＝，则c＝2，从而b2＝a2－c2＝60.又因为焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为　________　. 解析：由题意知0<m<2，且e2＝1－＝1－＝.所以m＝. 答案： 9．求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解析：将原方程化为标准方程＋＝1.容易看出，椭圆的焦点在x轴上，并a＝5，b＝4.所以c＝＝＝3.从而，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，离心率e＝＝，焦点坐标分别为(－3,0)、(3,0)，顶点坐标分别为(－5,0)、(5,0)、(0，－4)、(0,4)． [能力提升] 10．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为(　　) A. B． C. D． 解析：B　[根据题意可得a＝，由e＝＝可得c＝，所以m＝a2－c2＝.] 11．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：C　[依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，所以解得a＝8，b＝2.] 12．已知地球运行的轨道是长半轴为1.50×108 km，离心率约为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最远距离和最近距离分别为(注：把地球、太阳看成质点)(　　) A．3.06×108 km,2.94×108 km B．1.53×108 km,1.47×108 km C．3.03×108 km,2.97×108 km D．1.56×108 km,1.44×108 km 解析：B　[a＝1.50×108，e＝＝0.02，c＝0.02×1.50×108＝0.03×108，所以a－c＝1.47×108 km，a＋c＝1.53×108 km.] 13．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为　________　. 解析：由已知得消去参数b，得3a2－2ac－5c2＝0，即3a＝5c或a＝－c(舍去)，所以e＝＝. 14．阿基米德(公元前287年－公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为20π，则椭圆C的标准方程为　______________________　. 解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，椭圆C的面积为S＝πab＝20π， 又e＝＝，解得a2＝，b2＝12，所以椭圆C的方程为＋＝1. 答案：＋＝1 15．求满足下列条件的椭圆的方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,0)； (2)焦点为(－3,0)和(3,0)，且e＝. 解：(1)当焦点在x轴上时，则a＝2，b＝1，故所求的椭圆方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，则b＝2，a＝4，故所求的椭圆方程为＋＝1. 综上，所求椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)因为c＝3，e＝＝，所以a＝9，b＝＝6.故所求的椭圆的方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $