3.1.1 椭圆的标准方程（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

3．1　椭圆 3．1.1　椭圆的标准方程 课程标准 素养解读 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程． 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 1.通过椭圆标准方程的学习，培养学生的数学运算素养． 2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养. 中国国家大剧院是首都北京的地标性建筑之一，它位于人民大会堂的西侧．观察下图，国家大剧院及其倒影的轮廓线是什么图形？有什么特点？ [知识点一]　椭圆的定义　 一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的　焦点　，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 1.椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 2．椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ 提示：1.点的轨迹是线段F1F2. 2．当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． [知识点二]　椭圆的标准方程　 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c 的关系 b2＝a2－c2 1．下列方程中，表示椭圆的是(　　) A.＋＝1 B．x2＋y2＝8 C.＋＝1 D．(x＋2)2＋y2＝3 解析：C　[椭圆方程的特点是x2和y2的系数不相等．] 2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：C　[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.] 3．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　) A．(0,4)和(0，－4) B．(4,0)和(－4,0) C.和 D.和 解析：B　[a2＝25，b2＝9，c2＝25－9＝16，焦点在x轴上．] 　椭圆定义的应用 　如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点． 求△AF1B的周长； [思路点拨]　因为A，B在椭圆上，所以由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，为常数． [解]　由题意知A，B在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|.所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝20. (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解． [变式训练] 1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：D　[根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.] 　椭圆标准方程的应用 　判断下列椭圆的焦点在哪一条坐标轴上，并求焦点坐标和焦距． (1)＋＝1 (2)2x2＋y2＝8 [思路点拨]　(1)根据a2＝16，b2＝9判断焦点位置，根据c2＝a2－b2求焦点坐标和焦距 (2)先化为标准方程，再求解． [解]　(1)由题意∵16>9，∴a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝16－9＝7，∴c＝，∴焦点在x轴上，焦点坐标为F1，F2，焦距|F1F2|＝2. (2)把2x2＋y2＝8化为标准方程为＋＝1，∵8>4，∴a2＝8，b2＝4，c2＝a2－b2＝8－4＝4，∴c＝2.∴椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为F1(0，－2)，F2(0,2)，焦距|F1F2|＝4. 要判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可将椭圆方程化为标准方程．然后，观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个坐标轴上． [变式训练] 2．指出下列椭圆中，a，b，c的值，并说出焦点所在的坐标轴． (1)＋＝1；(2)＋＝1. 解：(1)因为25>16，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a2＝25，b2＝16，则c2＝a2－b2＝25－16＝9，可求出a＝5，b＝4，c＝3. (2)因为100>64，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a2＝100，b2＝64，则c2＝a2－b2＝100－64＝36，可求出a＝10，b＝8，c＝6. 　求椭圆的标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点和点. [思路点拨]　对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了避免讨论，还可以设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)然后代入已知点求出A、B. [解]　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴，⇒，故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (3)法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．∵点和点在椭圆上，∴∴而a>b>0，∴a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在． ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵点和点在椭圆上， ∴∴ ∴所求椭圆的方程为＋x2＝1. 法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，∵点和点都在椭圆上， ∴ 即∴∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1. (1)用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 (2)巧设椭圆方程 若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． [变式训练] 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； (2)求焦点在坐标轴上，且经过两点和的椭圆的标准方程． 解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．分别将两点的坐标，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 解析：B　[∵|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，∴点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．] 2．椭圆＋＝1的焦距为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：D　[∵20>4，∴a2＝20，b2＝4，c2＝a2－b2＝16，∴焦点在y轴上，且c＝4，∴焦距为2c＝8.] 3．已知椭圆的标准方程为＋x2＝1，则椭圆的焦点坐标为(　　) A. B． C. D． 解析：C　[∵10>1，∴a2＝10，b2＝1，c2＝a2－b2＝9，∴c＝3，且焦点在y轴上，∴焦点坐标为0，±3.] 4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为　________　. 解析：由已知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 答案：＋x2＝1 　　　　　　　　　　　 [基础过关] 1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当|MF1|＋|MF2|>|F1F2|时，M的轨迹才是椭圆．] 2．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为(　　) A．9 B．4 C．3 D．2 解析：C　[由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(舍去负值)．] 3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 解析：D　[方程可化为＋＝1，因为表示焦点在y轴上的椭圆，则>2，所以0<k<1.] 4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：D　[由题意可得解得故椭圆的方程为＋＝1.] 5．椭圆的两个焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆的弦AB过F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：A　[△ABF2的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝20，解得a＝5，由焦点坐标F1(－4,0)，F2(4,0)可知c＝4，可得b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.] 6．椭圆9x2＋y2＝36的a＝　________　. 解析：[椭圆方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝6，b＝2.] 答案：6 7．椭圆＋＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离是1，则点M到另一个焦点的距离是　________　. 解析：[由椭圆的方程可知a2＝16，解得a＝4，|MF1|＋|MF2|＝2a，即1＋|MF2|＝2×4，解得|MF2|＝7.] 答案：7 8．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程　________　. 解析：[依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)，从而有解得，又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆的方程为＋＝1.] 答案：＋＝1 9．判断下列各椭圆的焦点位置，并说明焦点坐标、焦距． (1)＋＝1； (2)x2＋4y2＝1； (3)x2＋＝1. 解：(1)焦点在y轴上，焦点坐标为(0,1)，(0，－1)，焦距为2. (2)焦点在x轴上，焦点坐标为，，焦距为. (3)焦点在y轴上，焦点坐标为，，焦距为2. [能力提升] 10．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线与椭圆相交于M，N两点，则△MNF1的周长是(　　) A．16 B．10 C．8 D．6 解析：A　[△MNF1的周长＝|MF2|＋|MF1|＋|NF2|＋|NF1|＝2a＋2a＝4a.由题意可知，a2＝16，解得a＝4，所以△MNF1的周长为4a＝4×4＝16.] 11．“1<m<3”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1<m<3且m≠2；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．] 12．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋y2＝1 C.＋＝1 D．＋x2＝1 解析：A　[由已知，c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.] 13．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝　________　. 解析：由椭圆的定义知|F2A|＋|F1A|＋|F2B|＋|F1B|＝4a＝20，所以|F1A|＋|F1B|＝|AB|＝20－12＝8. 答案：8 14．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是　________　. 解析：由方程＋＝1表示椭圆，得 答案： 15．根据下列条件求出椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为8，b＝3； (2)两个焦点坐标分别为和，并且椭圆经过点. (3)求过点(3，－2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程． 解：(1)由题意知，c＝4，b＝3，∴a2＝b2＋c2＝25，又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意知，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得c＝，所以a2＝b2＋5，则椭圆的方程可变形为＋＝1，将点代入方程得＋＝1，化简得9b4－31b2－20＝0，解得b2＝4或b2＝－(舍去)，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)由椭圆＋＝1得，焦点在x轴上，c＝，所求椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)，其中c＝，所以a2－b2＝5.又因为椭圆过点(3，－2)，所以＋＝1，联立方程得解得故所求椭圆方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $