2.4.3 向量内积的坐标表示（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

2．4.3　向量内积的坐标表示 课程标准 素养解读 1.了解向量坐标的内积运算． 2．掌握利用向量的内积解决长度、夹角、垂直问题. 1.通过向量内积运算，主要提升数学运算核心素养． 2．通过内积求模长、夹角、垂直的坐标表示，主要培养逻辑推理核心素养. 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a|，|b|分别用坐标怎样表示？ [知识点一]　向量内积的坐标表示　 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝　x1x2＋y1y2　，即两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和． [知识点二]　向量内积的坐标表示的相关结论　 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 1．|a|＝＝； 2．cos〈a，b〉＝＝　　. 3．a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是(　　) A．23　 B．7　　 C．－23　　 D．－7 解析：D　[a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.] 2．若a＝(－2,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝(　　) A．－4 B．4 C．3 D．－3 解析：B　[由题意得－2×6＋3m＝0，所以m＝4.] 3．若a＝(4，－3)，b＝(2,4)，则a·b＝　________　. 解析：a·b＝4×2＋(－3)×4 ＝8－12＝－4. 答案：－4 平面向量内积的坐标运算 　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10　　 B．－10　　　 C．3　　　 D．－3 (2)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　) A．－12 B．－6 C．6 D．12 [思路点拨]　依据内积的坐标运算公式直接求解． 解：(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)2a－b＝(5,2－k)，a·(2a－b)＝10＋2－k＝0，∴k＝12. 答案：(1)B　(2)D 平面向量内积坐标运算的两条途径 进行向量的内积坐标运算的前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行内积运算；二是先利用内积的运算律将原式展开，再依据已知计算． [变式训练] 1．求下列各组向量的内积 (1)a＝(4，－3)，b＝(－1,3)； (2)a＝(3，－1)，b＝(1，－5)； (3)a＝(1,2)，b＝(2，－4)． 解：(1)a·b＝4×(－1)＋(－3)×3＝－13. (2)a·b＝3×1＋(－1)×(－5)＝8. (3)a·b＝1×2＋2×(－4)＝－6. 利用坐标运算解决向量模长问题 　(1)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(2，－4)．求|a|－|b|，|a－b|； (2)已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)．求|2|＋||，|2＋|. [思路点拨]　(1)利用公式|a|＝求解． (2)利用公式||＝求解． 解：(1)|a|＝＝， |b|＝＝2， 所以|a|－|b|＝－2＝－；因为a－b＝(－4，3)，所以|a－b|＝＝5. (2)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，所以||＝＝.||＝ ＝，所以|2|＋||＝2||＋||＝2＋；因为＝(－1,1)，＝(1,5)，则2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)．所以|2＋|＝＝＝5. 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是|a|＝. [变式训练] 2．已知a＝(4，－3)，b＝(1,2)，求|a|，|a＋b|，|a－2b|. 解：|a|＝＝5； ∵a＋b＝(4，－3)＋(1,2)＝(5，－1)， ∴|a＋b|＝＝； ∵a－2b＝(4，－3)－2(1,2)＝(2，－7) ∴|a－2b|＝＝. 利用平面向量的坐标解决夹角问题 　已知向量a＝(1，－3)，b＝(2，－6)求a·b，|a|，|b|，cos〈a，b〉，〈a，b〉． [思路点拨]　利用公式逐一求解． 解：a·b＝1×2＋(－3)×(－6)＝20. |a|＝＝. |b|＝＝2. cos〈a，b〉＝＝＝1，〈a，b〉＝0°. 因为两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝来判断，可将θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0，且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0，且cos θ≠1，θ为锐角． [变式训练] 3．已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，求a·b、|a|、|b|、cos〈a，b〉． 解：a·b＝3×(－2)＋4×1＝－2.|a|＝＝＝＝5.同理，|b|＝＝.cos〈a，b〉＝＝＝－. 向量垂直的坐标表示 　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值． [思路点拨]　本题需要利用垂直条件a·b＝0⇔a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. [解]　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0.即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，得k＝19. 两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，注意构造方程． [变式训练] 4．判断下列各组向量是否垂直： (1)a＝(2，－3)，b＝(－6，－4)；(2)a＝(0，－1)，b＝(－1,2)． 解：(1)a·b＝2×(－6)＋(－3)×(－4)＝0，所以a⊥b. (2)a·b＝0×(－1)＋(－1)×2＝－2≠0，所以a与b不垂直． 1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－1,5)，则a·b＝(　　) A．13　　 B．7　　　 C．－17　　　D．17 解析：C　[a·b＝2×(－1)＋(－3)×5＝－17.] 2．已知a＝(x,4)，b＝(4，－1)，a⊥b，则x＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：C　[由题意得4x＋4×(－1)＝0.故x＝1.] 3．若a＝(7，－2)，b＝(4,2)，则|a－b|＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：A　[由题意得a－b＝(7－4，－2－2)＝(3，－4)，所以|a－b|＝＝5.] 4．已知向量a＝(12，－5)，向量b＝(4,3)，则cos〈a，b〉＝　________　. 解析：|a|＝＝13. |b|＝＝5. a·b＝12×4＋(－5)×3＝33，∴cos〈a，b〉＝＝＝. 答案： [基础过关] 1．已知a＝(4，－6)，b＝(1，－3)，则a·b＝(　　) A．－22　　 B．22　　　 C．14　　　D．－18 解析：B　[a·b＝4×1＋(－6)×(－3)＝22.] 2．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15,12) B．0 C．－3 D．－11 解析：C　[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2) ＝－5×3＋6×2＝－3.] 3．已知平面内三点，A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)满足⊥，则x的值为(　　) A．3 B．6 C．7 D．9 解析：C　[＝(1，－1)，＝(5，x－2)因为⊥，所以有5＋(－1)×(x－2)＝0，解得x＝7.] 4．已知a＝(3，－2)，b＝(－2，－3)，则a与b关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．相等 D．不确定 解析：A　[因为3×(－2)＋(－2)×(－3)＝0，所以a⊥b.] 5．已知a＝(2,2)，b＝(3,2)，则|a＋2b|＝(　　) A．10 B．2 C. D．12 解析：A　[a＋2b＝(2,2)＋(6,4)＝(8,6)，|a＋2b|＝＝10.] 6．已知a＝(1,0)，b＝，则〈a，b〉＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：C　[由题意得cos〈a，b〉＝ ＝＝，所以〈a，b〉＝60°.] 7．若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，则：向量a的模长为　________　； 解析：∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a|＝＝5. 答案：5 8．若a＝(，1)，b＝(，－1)，则〈a，b〉＝　________　. 解析：因为cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°. 答案：60° 9．已知点A(0,1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则||＝　________　. 解析：设C(x，y)，因为点A(0,1)，向量＝(4，－1)，所以＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以解得x＝4，y＝0，所以C(4,0)，所以＝(3,2)，||＝＝. 答案： [能力提升] 10．已知向量a＝(－2，－1)，则|a|为(　　) A．5 B． C. D．4 解析：B　[|a|＝＝.] 11．已知a＝(2，－1)，b＝(x，－5)，且a⊥(a－b)，则x值为(　　) A．－5 B．0 C．32 D．5 解析：B　[a－b＝(2－x,4)，则有2(2－x)－4＝0，解得x＝0.] 12．若a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则〈a，b〉是(　　) A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 解析：A　[因为a·b＝2×1＋1×(－1)＝1>0，所以cos〈a，b〉>0.又2×(－1)－1＝－3≠0，所以a，b不共线，从而〈a，b〉是锐角．] 13．若向量a＝(2sin θ，2cos θ)，则|a|＝　________　. 解析：由题意可得|a|＝＝2. 答案：2 14．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝　________　. 解析：由⇒⇒∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．∴|a＋b|＝. 答案： 15．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时： (1)ka－b与a＋2b垂直． (2)ka－b与a＋b的夹角为120°. 解：因为a＝(1,1)，b＝(0，－2)， 所以ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，a＋2b＝(1,1)＋(0，－4)＝(1，－3)． a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)． (1)因为ka－b与a＋2b垂直，所以k－3k－6＝0， 所以k＝－3. 即当k＝－3时，ka－b与a＋2b垂直． (2)因为|ka－b|＝，|a＋b|＝＝，(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2， 而ka－b与a＋b的夹角为120°.所以cos 120°＝， 即－＝， 化简整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±. 即当k＝－1±时，ka－b与a＋b的夹角为120°. 学科网（北京）股份有限公司 $