2.4.2 向量线性运算的坐标表示（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

2．4.2　向量线性运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.会用向量的坐标形式进行向量运算． 2．会利用向量的坐标判定两个向量平行或垂直. 1.通过向量和、差和数乘的坐标表示的应用，主要提升数学运算核心素养． 2．通过向量坐标解决有关向量共线、垂直等问题，逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养. 对于向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当a∥b时，是否可以用坐标表示？如何表示呢？ [知识点一]　平面向量的坐标运算　 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有： 加法 a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2)　 减法 a－b＝　(x1－x2，y1－y2)　 数乘 λa＝(λx1，λy1)，λ∈R [知识点二]　平面向量平行的坐标表示　 对于任意向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，都有a∥b⇔　x1y2－y1x2＝0　 当b＝0时，上述式子还成立吗？ 提示：成立． 1．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则a＋b＝(　　) A．(8，－1)　　　　 B．(0,7) C．(7,0) D．(－1,8) 解析：B　[a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)＝(0,7)．] 2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　) A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) 解析：D　[a－b＝－＝＝(－1,2)．] 3．下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4) 解析：D　[A中－2×6－3×4≠0；B中2×2－3×3≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0.] 向量线性运算的坐标表示 　设a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，求： (1)a＋b；(2)a－b；(3)3a－2b. [思路点拨]　直接利用坐标运算性质求解． [解]　(1)a＋b＝(3，－2)＋(－2,1)＝[3＋(－2)，(－2)＋1]＝(1，－1)． (2)a－b＝(3，－2)－(－2,1)＝[3－(－2)， －2－1]＝(5，－3)． (3)3a－2b＝3(3，－2)－2(－2,1) ＝(9，－6)－(－4,2)＝(13，－8)． 平面向量坐标运算的方法 若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差和内积的运算法则进行． [变式训练] 1．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解析：(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1,2)－(2,1) ＝－＝. 向量线性运算的几何应用 　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ [思路点拨]　利用向量共线的坐标表示进行判断． [解]　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)． ∵(－2)×(－6)－3×4＝0， ∴，共线． 又＝－2， ∴，方向相反． 综上，与共线且方向相反． (1)利用向量共线定理(几何)或向量共线坐标的条件(代数)进行两向量是否共线的判断． (2)利用b＝λ a中λ的正负判断a，b同向还是反向． [变式训练] 2．已知a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则b－c与a共线吗？ 解：∵b－c＝(3,3)， ∴a＝(6,6)＝2(3,3)＝2(b－c)． ∴b－c与a共线． 利用向量共线求参数的值 　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路点拨]　先求出两向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示列出k的方程，再求k的值，也可以利用共线向量定理求解． [解]　法一　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2) ＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵(ka＋b)∥(a－3b)， ∴－4(k－3)－10(2k＋2)＝0.∴k＝－. 当k＝－时， ka＋b＝(k－3,2k＋2)＝＝－(10，－4)． ∴ka＋b与a－3b反向． 法二　同法一得ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4) 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， ∴解得k＝λ＝－. 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时 ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， ∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向． 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λ b(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． [变式训练] 3．向量＝(4,3)，＝(12，k)，＝(k,10)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 解：＝－＝(8，k－3)， ＝－＝(k－4,7)． 若A，B，C三点共线，则与共线． ∴8×7－(k－3)(k－4)＝0，即k2－7k－44＝0. 解得k＝－4或k＝11. 故当k的值为－4或11时，A，B，C三点共线． 1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(　　) A．(－2,1)　　　　 B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) 解析：B　[b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)．] 2．若a＝(3，－2)，b＝(2,5)，则－2a＋3b＝(　　) A．(0,19) B．(6,15) C．(3,19) D．(12,11) 解析：A　[－2a＋3b＝[(－2)×3＋3×2，(－2)×(－2)＋3×5]＝(0,19)．] 3．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于(　　) A．(－2，－1) B．(2,1) C．(3，－1) D．(－3,1) 解析：A　[∵a∥b，∴2×(－2)－1×x＝0. ∴x＝－4，则b＝(－4，－2)， a＋b＝(2,1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)．] 4．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于　________　. 解析：由a∥b得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝. 答案： [基础过关] 1．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则－3a－2b的坐标是(　　) A．(7,1)　　　　 B．(－7，－1) C．(－7,1) D．(7，－1) 解析：B　[∵a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，∴－3a－2b＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－7，－1)．] 2．若＝(2，－4)，＝(－1,2)，则的坐标为(　　) A．(－3，－6) B．(3，－6) C．(－3,6) D．(3,6) 解析：C　[＝－＝(－1－2,2＋4)＝(－3,6)．] 3．已知＝(－4,1)，＝(2，－3)，＝(7，－5)，则的坐标是(　　) A．(－5,7) B．(9，－3) C．(5，－7) D．(－9,3) 解析：C　[＝＋＋＝(－4,1)＋(2，－3)＋(7，－5)＝(5，－7)．] 4．已知a＝(2,4)与b＝(6，k)共线，则实数k＝(　　) A．8　　 B．9　　　 C．10　　　 D．12 解析：D　[由题意得2k－4×6＝0，解得k＝12.] 5．若a＝(－2,1)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m的值为(　　) A．3　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6 解析：D　[由(－2)(－3)－m＝0，得m＝6.] 6．已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)，则a＋2b－3c的坐标是　________　. 解析：因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)，所以a＋2b－3c＝(－3,2)＋2(－1,0)－3(2,1)＝(－11，－1)． 答案：(－11，－1) 7．已知向量a＝，b＝(0，－1)，c＝，若a－2b与c共线，则k＝　________　. 解析：∵a－2b＝，c＝，∴2－3k＝0，∴k＝1. 答案：1 8．已知a＝(1,2)，b＝(－3,1)，且(ka－b)∥(a－b)，则k＝　________　. 解析：ka－b＝k(1,2)－(－3,1)＝(k＋3,2k－1)，a－b＝(4,1)，因为二向量平行，所以(k＋3)－4(2k－1)＝0，解得k＝1. 答案：1 9．已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝AB，且A(－2，－1)，B(6，－5)，D(3,8)，求点C的坐标． 解析：因为AB∥CD，CD＝AB， 所以＝－，即－＝－(－)．于是＝＋(－)＝＋－＝(7,6)．即点C的坐标为(7,6)． [能力提升] 10．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为(　　) A．(－8,1) B． C. D．(8，－1) 解析：C　[设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝×(－8,1)，∴x＝－1，y＝－.] 11．已知A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则＋＝(　　) A．(2，－3) B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2,3) 解析：A　[因为A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以＝(1，－6)，＝(3,9)，所以＋＝(2，－3)．] 12．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，则“x＝2”是a∥b的(　　)条件(　　) A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解析：C　[由x＝2得1×4－2x＝0，得a∥b，又由a∥b可得1×4－2x＝0，得x＝2.] 13. 如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝　________　. 解析：＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，＝＋＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)． 答案：(－3，－5) 14．若三点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝　________　. 解析：∵＝，＝(x－1,4)，∥，∴7×4－×(x－1)＝0，∴x＝9. 答案：9 15．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，a＋kb与－2a－b平行？平行时它们是同向还是反向？ 解：∵a＋kb∥， ∴a＋kb＝λ， ∵a与b不共线， ∴解得∴ ∴当k＝±时，a＋kb与－2a－b平行，且它们是反向的． 学科网（北京）股份有限公司 $