2.4.1 向量的坐标表示（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

2．4　向量的坐标表示 2．4.1　向量的坐标表示 课程标准 素养解读 1.了解平面向量的正交分解． 2．掌握向量的坐标表示. 通过平面向量的坐标运算，主要提升数学运算核心素养. 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x，y)是一一对应的，(x，y)是点P的坐标．那么平面直角坐标系中所有以原点(0,0)为起点、以点P(x，y)为终点的向量与有序实数对(x，y)是否也是一一对应的？如图所示． [知识点一]　平面向量的坐标表示　 在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴正方向上的单位向量i、j，以原点O为起点作向量，点P的坐标为(x，y)， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N.由于向量与i共线，并且的模等于|x|，故＝xi；同理可得，＝yj.根据向量加法的平行四边形法则，有 ＝＋＝xi＋yj. 因此，对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x，y)使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的坐标．方便起见，常把向量a用它的坐标　(x，y)　表示，即a＝　(x，y)　.其中0＝(0,0)，i＝(1,0)，j＝(0,1)． [知识点二]　已知起点和终点的向量的坐标表示　 以点A为起点的向量，记点A与点B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则有 ＝－＝(x2i＋y2j)－(x1i＋y1j) ＝(x2－x1)i＋(y2－y1)j. 即＝　(x2－x1，y2－y1)．　 向量坐标与点的坐标相同吗？其区别是什么？ 提示：不相同．区别为： (1)表示形式不同．向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号． (2)意义不同． 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标(x，y)即表示向量的大小，也表示向量的方向． 1．若a＝－2i－3j，则向量a的坐标是(　　) A．(2,3)　　　　 B．(－2,3) C．(2，－3) D．(－2，－3) 解析：D　[a＝－2i－3j＝(－2，－3)．] 2．若点A的坐标为(3，－1)，则的坐标为(　　) A．(3,1) B．(3，－1) C．(－3,1) D．(－1,3) 解析：B　[∵A(3，－1)∴＝(3，－1)．] 3．若＝(－3,4)，则A的坐标为　________　. 解析：因为＝(－3,4)，所以＝(3，－4)，从而点A的坐标为(3，－4)． 答案：(3，－4) 平面向量的坐标表示 　如图所示，在平面直角坐标系中，用x轴与y轴上的单位向量i，j表示向量a，b，c，并求它们的坐标． [思路点拨]　i，j是与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，原点O是图中所有向量的起点，利用向量坐标的定义将问题解决． [解]　a＝－2i＋3j＝(－2,3)；b＝3i＋j＝(3,1)；c＝2i－j＝(2，－1)． 求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． [变式训练] 1．(如图)写出向量，，，，对应的坐标． 解析：＝(3,0) ＝(3,1)，＝(－2,2)，＝(－1，－2) ＝(2，－2)． 平面向量坐标运算的应用 　已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(4,2)，而且A，B，C，D四点按逆时针方向排列． (1)求向量，的坐标； (2)求点D的坐标． [思路点拨]　向量的坐标公式：起点为A(x1，y1)，终点为B(x2，y2)的向量的坐标为＝(x2－x1，y2－y1)． [解]　(1)因为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(4,2)，所以＝(3，－1)－(－1，－2)＝(4,1)， ＝＝(4,2)－(3，－1)＝(1,3)． (2)法一：由(1)知，＝(1,3)，又因为＝(－1，－2)，所以＝＋ ＝(－1，－2)＋(1,3)＝(0,1)，所以点D的坐标为(0,1)． 法二：设点D坐标为(x，y)，由(1)知，＝(1,3)，又A(－1，－2)，所以(x＋1，y＋2)＝(1,3)， 所以所以所以点D坐标为(0,1)． 在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解． [变式训练] 2．已知点P(3,5)，Q(－2,7)，求向量和的坐标． 解：＝(－2,7)－(3,5)＝(－5,2)；＝(3,5)－(－2,7)＝(5，－2)． 1．若a＝－4i＋5j，则向量a的坐标是(　　) A．(4,5)　　　　 B．(－4,5) C．(4，－5) D．(－4，－5) 解析：B　[a＝－4i＋5j＝(－4,5)．] 2．若点A的坐标为(5，－2)，则的坐标为(　　) A．(5,2) B．(5，－2) C．(－5,2) D．(－2,5) 解析：B　[∵O(0,0)，A(5，－2)，∴＝(5，－2)－(0,0)＝(5，－2)．] 3．若A(2,3)，B(3,1)，则的坐标为(　　) A．(－1,2) B．(3,3) C．(1,2) D．(1，－2) 解析：D　[＝B(3,1)－A(2,3)＝(3－2,1－3)＝(1，－2)．] 4．若A(－1,4)，则的坐标为　________　. 解析：＝(0,0)－(－1,4)＝(1，－4)． 答案：(1，－4) [基础过关] 1．已知向量a＝3i－2j，则向量a的坐标为(　　) A．(－3,2)　　　　 B．(3，－2) C．(－3，－2) D．(3,2) 解析：B　[a＝3i－2j＝3(1,0)－2(0,1)＝(3，－2)．] 2．已知A(－1,5)，点B(－3,1)，则向量的坐标是(　　) A．(2,4) B．(－2,4) C．(2，－4) D．(－2，－4) 解析：D　[＝(－3,1)－(－1,5)＝(－3＋1,1－5)＝(－2，－4)．] 3．若＝(1,11)，点B的坐标为(3,5)，则点A的坐标为(　　) A．(2,6) B．(2，－6) C．(－2,6) D．(－2，－6) 解析：B　[设A(x，y)，则＝(3,5)－(x，y)＝(3－x，5－y)＝(1,11)，所以解得即点A的坐标为(2，－6)．] 4．若＝(3,5)，点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为(　　) A．(4,3) B．(－2，－3) C．(2,3) D．(4,7) 解析：D　[设B点坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)＝(3,5)，所以解得] 5．已知＝(－9,2)，点A(x,3)，点B(4，y)，则x＋y＝(　　) A．14　　 B．13　　　C．18　　　D．15 解析：C　[＝(4－x，y－3)＝(－9,2)，则∴ 即x＋y＝13＋5＝18.] 6．已知点A(1，－2)，点B(4,0)，则向量＝　________　. 解析：＝(4,0)－(1，－2)＝(3,2)． 答案：(3,2) 7．若A(－1,4)，B(3,2)，则的坐标为　________　. 解析：＝(－1,4)－(3,2)＝(－1－3,4－2)＝(－4,2)． 答案：(－4,2) 8．若A(－3,2)，＝(2，－4)，则B的坐标为　________　. 解析：设点B(x，y)，则＝(x＋3，y－2)＝(2，－4)，所以解得 答案：(－1，－2) 9．已知两点A(－2,3)、B(3,1)，求向量和的坐标． 解：＝(3,1)－(－2,3)＝(5，－2)； ＝(－2－3,3－1)＝(－5,2)． [能力提升] 10．已知向量a＝5i＋7j，则向量a的坐标为(　　) A．(5,7) B．(－5,7) C．(5，－7) D．(－5，－7) 解析：A　[a＝5i＋7j＝(5,7)．] 11．已知点A(x,2)，B(3，y)，＝(3,5)，则x－y＝(　　) A．7　　 B．－7　　　C．6　　　D．－6 解析：B　[＝(3，y)－(x,2)＝(3－x，y－2)＝(3,5)，所以解得 故x－y＝0－7＝－7.] 12．已知平行四边形ABCD满足A(1，－2)，B(3,0)，C(4,3)，则D点坐标为(　　) A．(2,1) B．(1,4) C．(3,2) D．(5,1) 解析：A　[设D点坐标为(x，y)，在平行四边形中有＝，即(3,0)－(1，－2)＝(4,3)－(x，y)，所以(2,2)＝(4－x,3－y)，所以x＝2，y＝1，所以D点坐标为(2,1)．] 13．若a＝(x－2,5)，b＝(－1，y＋2)，且a＝b，则x＝　________　，y＝　________　. 解析：∵a＝b，∴，即 答案：1　3 14．已知向量＝(4,5)，点B的坐标为(－2,1)，则A点的坐标为　________　. 解析：设A点坐标为(x，y)，所以＝(－2－x，1－y)＝(4,5)，故－2－x＝4,1－y＝5，解得x＝－6，y＝－4，于是A点坐标为(－6，－4)． 答案：(－6，－4) 15．已知A(5，－6)，B(3，－2)，C(1,3)，D(3，－1)是四边形的四个顶点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 解：由已知，＝(3－5，－2＋6)＝(－2,4)，＝(1－3,3＋1)＝(－2,4)， 即得＝(－2,4)＝. 故四边形ABCD是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $