2.3 向量的内积（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

2．3　向量的内积 课程标准 素养解读 1.了解向量内积的物理意义． 2．掌握向量的内积的定义． 3．会用内积的运算律和性质，解决模长、夹角、投影数量等问题. 1.通过向量内积的学习，主要培养数学抽象核心素养． 2．通过内积的运算律、性质的应用，主要提升数学运算核心素养. 物体在力的作用下，沿着力的方向移动了一段距离，就说力对物体做了功．如图所示，在拉力F的作用下，小车在水平方向上发生了位移s.设力F与位移s的夹角为θ，怎样计算力F对小车做的功呢？ [知识点一]　两向量的夹角　 1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，称射线OA，OB所成的最小正角为向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π. 2．特例：(1)当向量a，b　同向　时，〈a，b〉＝0. (2)当向量a，b　反向　时，〈a，b〉＝π. (3)当〈a，b〉＝时，向量a，b　垂直　，记作a⊥b. [知识点二]　向量内积的定义　 条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ 结论 数量　|a||b|cos θ　叫向量a与b的数量积(或内积)． 记法 向量a与b的内积记作　a·b　，即　a·b＝|a||b|cos θ　 规定 零向量与任一向量的内积为　0　，即0·a＝0. [知识点三]　向量内积的性质　 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，则 1．a⊥b⇔　a·b　＝0. 2．当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　；当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝　　. 3．cos〈a，b〉＝. 4．|a·b|≤|a||b|. [知识点四]　向量内积的运算律　 1．a·b＝b·a. 2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1.向量的内积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ 提示：内积的运算结果是实数，线性运算的结果是向量． 2．把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？ 提示：不可以，内积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式． 1．给出下面的关系式： ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[显然①②③正确；|a·b|≥a·b，故④错误；(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos 2θ，其中θ为a，b的夹角，故⑤错误．] 2．若|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝30°，则a·b＝(　　) A．6 B．6 C．12 D．12 解析：B　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos 30°＝6.] 3．若a·a＝4，则|a|＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：A　[因为a·a＝4，所以|a|＝＝2.] 　平面向量内积的基本运算 　已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b. [思路点拨]　直接利用向量的内积公式求解． [解]　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0；③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9. 求平面向量内积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求内积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． [变式训练] 1．(1)已知|a|＝2，|b|＝4，〈a，b〉＝45°，求a·b的值． (2)已知|a|＝2，|b|＝5，〈a，b〉＝60°，求a·b的值． 解：(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×4×cos 45°＝8. (2)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×5×cos 60°＝5. 　向量模的有关计算 　(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A. B．2 C．4 D．12 (2)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝　________　. [思路点拨]　利用公式a2＝|a|2求解． [解]　(1)|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. (2)由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3. 答案：(1)B　(2)3 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量内积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [变式训练] 2．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解：∵|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42， ∴a2＋2a·b＋b2＝16.① ∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9. 代入①式得4＋2a·b＋9＝16，得2a·b＝3. 又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝. 　向量的夹角与垂直问题 　(1)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角． (2)已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)． [思路点拨]　利用公式求解． (1)cos〈a，b〉＝. (2)a⊥b⇔a·b＝0. [解]　(1)∵e1，e2为单位向量且夹角为60°， ∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝. ∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1) ＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－， |a|＝＝＝＝， |b|＝＝＝＝， 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－×＝－. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.∴a与b的夹角为120°. (2)证明∵|2a＋b|＝|a＋2b|， ∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.∴a2＝b2. ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． (1)求向量夹角题应用内积的变形公式cos θ＝，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组． (2)非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握． [变式训练] 3．已知a，b都是非零向量，a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角． 解析：设a，b的夹角为θ， ∵a＋3b垂直于7a－5b，a－4b垂直于7a－2b， ∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝0， 即7a2＋16a·b－15b2＝0，　　　　　　① 7a2－30a·b＋8b2＝0，　　　　　　② 由②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2， 代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|. ∴cos θ＝＝＝，∴θ＝60°. 即a与b的夹角为60°. 1．已知|a|＝3，|b|＝，〈a，b〉＝45°，则a·b的值为(　　) A．－3 B．3 C．3 D．2 解析：B　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3××cos 45°＝3.] 2．已知a·b＝－6，|a||b|＝12，则cos〈a，b〉＝(　　) A．－2 B． C．－ D．2 解析：C　[a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝12×cos〈a，b〉＝－6，所以cos〈a，b〉＝－.] 3．在△ABC中，若·＝0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析：B　[因为·＝0，所以⊥，于是△ABC是直角三角形．] 4．若|a|＝3，|b|＝4，a·b＝12，则〈a，b〉＝　________　. 解析：因为cos〈a，b〉＝＝＝1，所以〈a，b〉＝0°. 答案：0° [基础过关] 1．两个非零向量夹角的范围是(　　) A．(0°，90°) B．[0°，90°) C．[0°，180°] D．(0°，180°) 解析：C　[依向量夹角的定义易知选C.] 2．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：B　[因为|a|＝1，a·b＝－1， 所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.] 3．已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则|a＋b|＝(　　) A．5 B． C．7 D． 解析：B　[|a＋b|＝＝＝＝.] 4．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　) A. B． C. D． 解析：A　[设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.] 5．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　) A. B． C. D．4 解析：C　[易知|a|＝1，|b|＝1，a·b＝，∴|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13，∴|a＋3b|＝.] 6．已知|a|＝3，|b|＝，〈a，b〉＝135°，则a·b的值为　________　. 解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3××cos 135°＝3×＝－3. 答案：－3 7．若|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则〈a，b〉＝　________　. 解析：因为cos〈a，b〉＝＝＝－1，所以〈a，b〉＝180°. 答案：180° 8．已知|a|＝4，|b|＝7，〈a，b〉＝60°，则(a＋2b)·(3a－b)＝　________　. 解析：(a＋2b)·(3a－b)＝3a·a－a·b＋6a·b－2b·b＝3|a|2＋5|a|·|b|cos〈a，b〉－2|b|2＝48＋70－98＝20. 答案：20 9.如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°. 求：(1)·； (2)·； (3)·. 解：(1)·＝||2＝9. (2)·＝－||2＝－16. (3)·＝||||cos(180°－60°) ＝4×3×＝－6. [能力提升] 10．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论不正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析：B　[根据向量积的分配律知A正确； 因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c) －(c·a)·(b·c)＝0， 所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确．] 11．已知a，b是非零平面向量，a⊥(a＋b)，且a，b的夹角为，|b|＝4，则|a|＝(　　) A．1 B． C．2 D．2 解析：D　[∵a⊥(a＋b)，〈a，b〉＝，|b|＝4，∴a·(a＋b)＝|a|2－2|a|＝0，解得|a|＝2.] 12．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° 解析：B　[设a与b的夹角为θ. 因为(3a)·＝－36， 所以3×a·b＝－36. 又|a|＝10，|b|＝12， 所以3××10×12cos θ＝－36， 所以cos θ＝－. 又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.] 13．若|a|＝，则a·a＝　________　. 解析：a·a＝|a|2＝3. 14．已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为　________　. 解析：设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b) ＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2 ＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2 ＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12， 所以cos θ＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 答案： 15．已知|a|＝1，|b|＝. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|； (3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角． 解析：设向量a与b的夹角为θ. (1)当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝； 当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－. (2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋， |a＋b|＝. (3)由(a－b)·a＝0，得a2＝a·b， cos θ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°. 学科网（北京）股份有限公司 $