2.2.3 向量的数乘运算（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

2．2.3　向量的数乘运算 课程标准 素养解读 1.理解向量数乘的定义及几何意义． 2．掌握向量数乘的运算律，能够用已知向量表示未知向量． 3．掌握共线向量定理，会判断或证明两个向量共线. 1.通过向量数乘的定义、几何意义的学习，主要培养直观想象核心素养． 2．通过向量的线性运算，主要提升数学运算核心素养. 　在2004年奥运会上，刘翔以12.91s的成绩获得男子110 m跨栏比赛冠军，成为第一个获得径赛直道项目冠军的亚洲人．男子110 m跨栏，从第1栏到第9栏，每相邻两栏之间间隔9.14 m．记第1栏到第2栏的位移为s1，第1栏到第3栏的位移为s2，……，从第1栏到第9栏的位移为s8，如图所示．试问，位移s1，s2，…，s8，具有怎样的关系？ [知识点一]　数乘运算　 定义 一个数λ与向量a的乘法运算 记法 λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ>0 λa的方向与a的方向　相同　 λ<0 λa的方向与a的方向　相反　 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 几何 意义 λa中的实数λ是向量a的系数 λ>0 λa可以看作是把向量a沿着a的方向伸长或缩短　λ　倍得到 λ<0 λa可以看作是把向量a沿着－a方向伸长或缩短|λ|倍得到 [知识点二]　向量的数乘运算法则　 设λ，μ为实数，则 1．λ(μa)＝　(λμ)a　＝μ(λa)； 2．(λ＋μ)a＝　λa＋μa　； 3．λ(a＋b)＝　λa＋λb　. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. [知识点三]　向量的线性运算　 1．定义：向量的　加法　，　减法　，　数乘　向量以及它们的混合运算统称为向量的线性运算． 2．运算结果：向量线性运算的结果仍是　向量　. 3．运算律：对于任何向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝　λμ1a±λμ2b　. [知识点四]　共线向量定理　 ①当b与a方向相同时，记λ＝，则有b＝λa， ②当b与a方向相反时，记λ＝－，则有b＝λa， 因此向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使　b＝λa　. 1.实数与向量可以加减吗？ 提示：不可以． 2．向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系？ 提示：两种运算律类似，(2)(3)式是向量因式不同的分配律． 3．共线向量定理中把“a≠0”去掉可以吗？ 提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. 1．－2a与a的方向(　　) A．相同 B．相反 C．相同或相反 D．不确定 解析：B　[∵λ＝－2<0，∴两向量方向相反．] 2．若t＝0，则ta＝(　　) A．0 B．0 C．a D．－a 解析：B　[0a＝0.] 3．已知λ＝3，|a|＝4，则|λa|＝(　　) A．3 B．4 C．12 D．以上都不对 解析：C　[|3a|＝3|a|＝3×4＝12.] 　向量的线性运算 　(1)化简； (2)(x＋y)(a＋b)－(x－y)(2a＋b)； (3)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． [思路点拨]　此类问题只需利用向量数乘、加法、减法的运算律化简即得结果． [解]　(1)原式＝ ＝ ＝＝a－b. (2)原式＝[(x＋y)－2(x－y)]a＋[(x＋y)－(x－y)]b＝(3y－x)a＋2yb. (3)原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b ＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝i＋j ＝－i－5j. 向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段．[变式训练] 1．化简下列各式． (1)2(a＋3b)－4(a－b)； (2)－[6(a－3b)＋3a]－5b. 解：(1)原式＝2a＋6b－4a＋4b＝－2a＋10b. (2)原式＝－(9a－18b)－5b＝－3a＋b. 　向量共线问题 　判断下列向量是否共线． (1)a＝5e1，b＝－10e1； (2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2； (3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. [思路点拨]　依据条件找出a与b存在倍数关系，然后利用共线向量基本定理求解． [解]　(1)因为b＝－2a，所以a与b共线． (2)因为a＝b，所以a与b共线． (3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，所以(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.因为e1与e2是两个不共线向量，所以这样的λ不存在，因此a与b不共线． 判定向量共线的方法 向量共线的判定一般是用其判定定理，即a是一个非零向量，若存在实数λ，使b＝λa，则向量b与向量a共线．解题过程中，可以把两个向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判定共线． [变式训练] 2．已知：＝a＋b，＝a－b，＝3a. 求证：与共线． 证明：＝＋＝a＋b＋a－b＝2 a，而＝3 a，∴＝，故与共线． 　三点共线问题 　已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2) 求证：A、B、D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． [思路点拨]　要求证三点共线，只需证明有公共点的两向量平行即可． [解]　(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线． 所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k＝±1. 三点共线的证明问题及求解思路 (1)证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据． (2)若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据． [变式训练] 3．已知两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2.求证：A，B，D三点共线． 证明：因为＝＋＋＝(2e1＋3e2)＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)，又＝2e1＋3e2，所以＝6.所以与共线．又因为AB，AD有公共点A，所以A，B，D三点共线． 　用已知向量表示未知向量 　如图所示，▱ABCD的两条对角线交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和. [思路点拨]　将，，，放在三角形中，然后利用平行四边形法则，三角形法则进行求解． [解析]　在▱ABCD中，∵＝＋＝a＋b，＝－＝a－b， ∴＝－＝－(a＋b)＝－a－b， ＝＝(a－b)＝a－b， ＝＝a＋b， ＝－＝－a＋b. 用已知向量表示未知向量的方法 (1)用已知向量表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解． [变式训练] 4．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，∥，||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示，和. 解： 因为||＝2||，所以＝2，＝＝a.连接NC，则＝.在△BCN中，＝－＝b－a.在△CMN中，＝＋＝a－b. 1．下列四个命题： ①对于实数λ和向量x，y，恒有λ(x－y)＝λx－λy； ②对于实数λ，μ和向量x，恒有(λ－μ)x＝λx－μx； ③若λx＝λy(λ∈R，且λ≠0)，则x＝y； ④若λx＝μx(x≠0)，则λ＝μ 其中正确命题个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：D　[由向量的线性运算法则知选D.] 2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b 解析：D　[原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.] 3．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　) A．－2 B． C．－ D．2 解析：D　[如图，＝3，所以＝2.] 4．2a－(a＋b)＝　________　. 解析：2a－(a＋b)＝2a－a－b＝a－b. 答案：a－b [基础过关] 1．已知λ、μ∈R，下面式子正确的是(　　) A．λa与a同向 B．0·a＝0 C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，则|b|＝λ|a| 解析：C　[当λ>0时，λa与a同向，故A不对；0·a＝0，故B不对；若b＝λa，则|b|＝|λ||a|，故D不对．] 2．若a，b不共线，且λa＋μb＝0，(λ，μ∈R)，则(　　) A．a＝b＝0 B．λ＝μ＝0 C．λ＝0、b＝0 D．a＝0、μ＝0 解析：B　[因为a，b不共线，则知a≠tb，从而知λ＝μ＝0，故选B.] 3．下列运算正确的个数是(　　) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a； ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　[根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误．所以运算正确的个数为2.] 4．已知a，b是不共线的非零向量，并且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三个点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：A　[∵＝3，则A，B，D三点共线．] 5．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A.－ B．－ C.＋ D．＋ 解析：A　[由题可得＝＋ ＝－(＋)＋＝－.] 6．若|a|＝3，|b|＝5且b与a方向相反，设b＝λa，则实数λ的值为　________　. 解析：λ＝－＝－. 答案：－ 7．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝　________　a. 解析：由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a. 答案：2 8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， ＋＝λ，则λ＝　________　. 解析：[由向量加法的平行四边形法则知＋＝.又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，∴＋＝2.∴λ＝2.] 答案：2 9．化简下列各向量表达式： ①3(6a＋b)－9； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)． ③解关于x，y的方程组 解析：(1)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. (2)由x－4y＝2b，可得x＝4y＋2b， 代入2x＋3y＝a，可得2(4y＋2b)＋3y＝a， 于是8y＋4b＋3y＝a，解得y＝a－b， 再代入x＝4y＋2b中可得x＝a＋b. 故方程组的解是 [能力提升] 10．下列说法中正确的是(　　) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| 解析：D　[A错误，当λ＝0时，此说法不正确；B错误，当a＝0，b≠0时，不存在实数λ使b＝λa；C错误，若|b|＝2|a|，则b与a未必共线；D正确，若b＝±2a，则|b|＝2|a|.] 11.如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a－b 　　　 B.a＋b C．a＋b 　　　 D．a－b 解析：D　[＝＋＝＋ ＝－＝a－b.] 12．已知向量a，b，且＝3a＋6b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．B，C，D B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D 解析：C　[因为＝＋＝a＋4b＝，所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线．] 13．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝　________　. 解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得. 答案：－ 14．点C在线段AB上，且＝，则＝　________　，＝　________　. 解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－. 答案：　－ 15.如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，. 解：由三角形中位线定理，知DE綊BC，故＝，即＝a. ＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b. ＝＋＋＝＋＋ ＝－a－b＋a＝a－b. 学科网（北京）股份有限公司 $