2.2.2 向量的减法运算（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

2．2.2　向量的减法运算 课程标准 素养解读 1.理解相反向量的概念． 2．理解向量减法的意义，掌握向量减法的运算法则及其几何意义． 3．能运用向量的加法与减法解决相关问题. 1.通过向量减法的定义，三角形法则、平行四边形法则的应用，培养直观想象核心素养． 2．通过向量减法的运算提升数学运算核心素养. 我们知道，实数x减去实数y相当于加上y的相反数，即x－y＝x＋(－y)，向量的减法如何定义呢？ [知识点]　向量的减法　 1．定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法．a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的　相反向量　. 2.作法：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示． 3．几何意义：如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的　终点　指向向量a的　终点　的向量． 1.有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“长度相等”是多余的，对吗？ 提示：不对，相反向量要从“模长”与“方向”两个方面去理解，不仅是方向相反，还必须长度相等． 2．代数运算中的移项法则，在向量中是否仍然成立？ 提示：含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式，移项法则对向量等式也是适用的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在▱ABCD中，－等于(　　) A. B． C. D． 解析：A　[－＝，在▱ABCD中，＝.] 2.－＝(　　) A. B． C．0 D．0 解析：A　[－＝＋＝.] 3．如图所示，在平行四边形ABCD中，与相等的是(　　) A．a＋b B．a－b C．b－a D．－a－b 解析：C　[＝－＝b－a.] 　向量的减法及其几何意义 　如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量： (1)a－b；(2)a－b＋c. [思路点拨]　依据向量加减法的几何意义作图． [解]　 (1)在正方形ABCD中，a－b＝－＝－＝.连接BD，箭头指向B，即可作出a－b. (2)过B作BF∥AC，交DC的延长线于F，连接AF，则四边形ABFC为平行四边形， ∴a＋c＝＋＝.在△ADF中，＝－＝a＋c－b＝a－b＋c，∴即为所求． 求作两个向量差向量的2种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差的向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． (2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． [变式训练] 1．(如图)求作a＋b－c. 解析：方法一：如图1所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，作，，则＝－＝a＋b－c. 　 方法二：a＋b－c＝a＋b＋(－c)．如图2所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－c，则＝a＋b＋(－c)＝a＋b－c. 　向量的减法运算 　化简下列各式： (1)(＋)＋(－－)； (2)－－. [思路点拨]　依据向量加减法的运算法则化简或求值． [解]　(1)原式＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＝. (2)法一：原式＝－＝. 法二：原式＝－(＋)＝－＝. 向量减法运算的常用方法 [变式训练] 2．化简下列向量表达式： (1)－＋－； (2)(－)＋(－)． 解：(1)－＋－； ＝＋－＝－＝. (2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝. 　向量加减法的综合应用 　已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且＋＝＋.试判断四边形ABCD的形状，并证明． [思路点拨]　向量的加法运算和减法运算是辩证统一的，它们可以相互转化，本题如果不把加法运算转化为减法运算，证明将是比较困难的． [解]　四边形ABCD是平行四边形，证明如下． ∵＋＝＋ ∴－＝－，即＝. ∴BA＝CD且BA∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中，各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系，能够运用向量的加法与减法进行正确的表示，同时还要熟悉常见平面图形的几何性质，能够从向量的角度，运用向量语言进行表示． [变式训练] 3.如图，ABCD是平行四边形，设＝a，＝b. (1)试用a，b表示，； (2)当向量a，b满足什么条件时，ABCD是矩形？ (3)当向量a，b满足什么条件时，ABCD是菱形？ 解析：(1)由运算法则可得＝＋＝a＋b，＝－＝b－a. (2)因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以要使ABCD是矩形，应满足||＝||，即|a＋b|＝|b－a|. (3)因为邻边相等的平行四边形是菱形，所以要使ABCD是菱形，应满足||＝||，即|a|＝|b|. 1．已知非零向量a与b同向，则a－b(　　) A．必定与a同向 B．必定与b同向 C．必定与a是平行向量 D．与b不可能是平行向量 解析：C　[若|a|>|b|，则a－b与a同向，若|a|<|b|，则a－b与b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A、B、D皆错．] 2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　) A.－＝0 B．－＝ C.－＝ D．＋＝0 解析：C　[∵＝，∴－＝0，A正确；∵－＝＋＝，B正确；∵－＝＋＝，C错误；∵＝，∴＝－CB，∴＋＝0，D正确．] 3．下列四个式子中可以化简为的是(　　) ①＋－；②－；③＋； ④－. A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 解析：A　[因为＋－＝－＝＋＝，所以①正确，排除C、D；因为－＝，所以④正确，排除B.] 4．化简：－＋＝　________　. 解析：原式＝＋＝－＝0. 答案：0 [基础过关] 1．在△ABC中，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a－b C．b－a D．－a－b 解析：B　[由向量减法的定义可知.＝－＝a－b.] 2．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b 解析：B　[＝＋＝＋(－)＝b－a.] 3．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　) A．1 B．2 C. D． 解析： D　[作菱形ABCD，则|－|＝|－|＝||＝.] 4．如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a＋c D．b－a－c 解析：C　[＝＋＝－＋＝b－a＋c.] 5．化简以下各式： ①＋＋　　　②－＋－； ③－＋；　　④＋＋－. 结果为零向量的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：D　[①＋＋＝＋＝－＝0； ②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0； ③－＋＝(＋)－＝－＝0； ④＋＋－＝＋＋＝－＝0.] 6. 如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示为　________　. 解析：＝－＝＋－＝a＋c－b. 答案：a－b＋c 7．化简：－＋－＋＝　________　. 解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝0＋＝. 答案： 8．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且＝a，＝b，则＝　________　. 解析：＝－＝－－＝－a－b. 答案：－a－b 9．已知平行四边形ABCD，＝a，＝b，用a，b表示，，，. 解析：＝－＝－b ，＝－＝－a， ＝＋＝a＋b， ＝－＝b－a. [能力提升] 10．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有(　　) A.＝0 B．＝0或＝0 C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形 解析： C　[如图＋＝，－＝. ∴||＝|| ∴ABCD为矩形．] 11．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于(　　) A. B． C. D． 解析：D　[－＝－＝＝.] 12．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　) A.＝＋ B．＝－ C.＝－＋ D．＝－－ 解析：B　[＝＋＝－＝－＝－－.] 13．已知＝a＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝　________　. 解析：∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°， ∴||2＋||2＝||2，∴||＝13. ∵＝a，＝b∴a－b＝－＝， ∴|a－b|＝||＝13. 答案：13 14．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝　________　. 解析：如图， 延长CB到E，使BC＝BE，则＝－，∴＝－b，|a－b＋c|＝|a＋(－b)＋c|＝|＋|＝|2|＝2. 答案：2 15．化简：(1)(－)＋(－)． (2)(＋＋)－(－－)． 解析：(1)(－)＋(－) ＝(＋)－(＋) ＝－ ＝＋ ＝. (2)原式＝(＋)－(－) ＝(＋)－ ＝－ ＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $