2.2.1 向量的加法运算（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

2．2　向量的线性运算 2．2.1　向量的加法运算 课程标准 素养解读 1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义． 2．掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会进行向量的加法运算． 3．掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算. 1.通过向量加法的定义，三角形法则，平行四边形法则的应用，培养直观想象核心素养． 2．通过向量加法的运算提升数学运算核心素养. 家住昆明的小张打算自驾去成都旅游，出发前查看交通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，只好改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都．小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地． 试问，小张从点A经过点B到达点C接连两次位移、的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移有什么关系？ [知识点一]　向量的加法　 1．向量加法的定义 定义：求　两个向量和　的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则 三角形 法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，向量叫做向量a与向量b的和，记　a＋b　，即a＋b＝＋＝　　. 规定 a＋0＝0＋a＝a　a＋(－a)＝0 平行四 边形 法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量　　＝＋＝a＋b. [知识点二]　向量加法的运算律　 交换律 a＋b＝　b＋a　 结合律 (a＋b)＋c＝　a＋(b＋c)　 1.两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 提示：不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法． 2．向量加法的运算律与实数加法的运算律相同吗？ 提示：相同． 1.＋＋＝(　　) A. B．2 C．0 D．0 解析：B　[＋＋＝＋＝2.] 2．在四边形ABCD中，若＝＋，则(　　) A．ABCD是矩形 B．ABCD是菱形 C．ABCD是正方形 D．ABCD是平行四边形 解析：D　[由向量加法的平行四边形法则知，ABCD是平行四边形．] 3．在平行四边形ABCD中，＋＋＝(　　) A. B． C. D． 解析：A　[在平行四边形ABCD中，＝，于是＋＋＝＋＋＝.] 　平面向量的加法及其几何意义 　(1)如图甲所示，求作向量和a＋b； (2)如图乙所示，求作向量和a＋b＋c. [思路点拨]　根据三角形法则或平行四边形法则作图． [解]　(1) 首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2) 法一：三角形法则　如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二： 平行四边形法则　如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． (1)应用三角形法则求向量和的基本步骤 ①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形； ③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． [变式训练] 1.已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作： (1)＋；(2)＋. 解： (1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量为所求． (2)在AB上取点G，使AG＝AB，则向量为所求． 　平面向量的加法运算 　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)： (1)＋＝　________　； (2)＋＝　________　； (3)＋＋＝　________　. [思路点拨]　熟练应用向量加法法则是解题关键． [解]　如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： (1)＋＝＋＝. (2)＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝. [答案]：(1)　(2)　(3) 用三角形法则或平行四边形法则求两个向量的和时，应注意：(1)利用三角形法则时，向量需“首尾相接”；(2)利用平行四边形法则时，这两个向量需具有共同起点，以它们为邻边构造平行四边形，其结果是与这两个向量具有共同起点的对角线所表示的向量． [变式训练] 2.如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点．求： (1)＋； (2)＋； (3)＋＋. 解：根据向量加法的三角形法则得 (1)＋＝； (2)＋＝； (3)＋＋＝＋＝0. 　向量加法的实际应用 　一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风吹向西偏北30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s，试求风的实际方向和汽车速度大小． [思路点拨]　依据物理知识，有三个相对速度，汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地．风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地． [解]　如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段是▱ABDC的对角线． ∵||＝4 m/s，∠ACD＝30°，||＝2 m/s∴∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，||＝||cos 30°＝2(m/s)． [答]　风的实际方向是吹向正北方向，汽车速度的大小为2 m/s. 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答． [变式训练] 3．某人先向东走3 km(用向量a表示)，再向北走3 km(用向量b表示)，求a＋b. 解：如图所示，＝a＝“向东走3 km”，＝b＝“向北走3 km”＝＋＝a＋b，||＝＝3(km)．又与的夹角是45°，所以a＋b表示“向东北方向走3 km”． 1.＋＝(　　) A. B． C. D． 解析：A　[依向量加法的规则知＋＝.] 2．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(　　) A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反 C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反 解析：A　[a∥b，且|a|>|b|>0，∴当a、b同向时，a＋b的方向与a相同，当a、b反向时，∵|a|>|b|，∴a＋b的方向仍与a相同．] 3．正方形ABCD的边长为1，则|＋|＝(　　) A. B．2 C．3 D．4 解析：A　[|＋|＝||＝.] 4．平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝　________　. 解析：由向量加法平行四边形法则易知． 答案：a＋b [基础过关] 1．下列三个命题：①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；②＝的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；③若a＋b＝0且b＝0，则－a＝0.其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 解析：B　[①中，∵a＋b＝0，∴a、b的长度相等且方向相反．又b＋c＝0，∴b、c的长度相等且方向相反，∴a、c的长度相等且方向相同，故a＝c，①正确．②中，当＝时，应有||＝||及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有点A与点C重合，点B与点D重合，故②错．③显然正确．] 2．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C. D． 解析：B　[连接CF，取CF中点O，连结OE，CE.则＋＋＝(＋)＋＝.] 3．在△ABC中，||＝||＝|＋|，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 解析：B　[＋＝，则||＝||＝||，则△ABC是等边三角形．] 4．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(　　) A.＝，＝ B．＋＝ C.＋＝＋ D．＋＋＝ 解析：C　[因为＋＝，＋＝，所以＋＝＋.] 5．向量(＋)＋(＋)＋化简结果为(　　) A. B． C. D． 解析：C　[原式＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝.] 6．设a表示向北走4千米，b表示向东走4千米，则a＋b表示的意义是　________　. 解析：利用向量的平行四边形法则求出合向量即可． 答案：向东北方向走4千米 7．如图，＋＋＋＋＝　________　. 解析：原式＝＋＋＋＋＝. 答案： 8．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，给出下列结论： ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中错误的是　________　. 解析：因为在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误． 答案：②④ 9．请画图说明： (1)a＋b＝b＋a；(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 解：如图： [能力提升] 10．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是(　　) A.＝＋ B．＋＝ C.＝＋ D．＝＋ 解析：B　[可以画出图形，用三角形法则找出正确答案，＋＝＋＝.] 11．如图，正六边形ABCDEF中，O为中心，则＋＋＝(　　) A．0 B． C. D． 解析：B　[＋＋＝＋＝.] 12. 在矩形ABCD中，||＝，||＝1，则向量＋＋的长等于(　　) A. 　　 B．2 C．2 　　　 D．4 解析：D　[＋＋＝＋＝2，又∵||＝＝2，＋＋的长为4.] 13．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝　________　，a＋b的方向是　________　.解析： 如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝.所以|a＋b|＝||＝＝8(km)，因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向． 答案：8 km　东北方向 14．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量|a＋b|的最大值是　________　. 解析：当a与b同向时，|a＋b|的最大值是8. 答案：8 15．河水从西往东流，流速为2 m/s，一艘船以2 m/s的速度垂直水流方向向北横渡，求船实际航行的方向和航速． 解：设河水流速为v水，船速为v船，根据向量加法的平行四边形法则，船的实际速度v＝v水＋v船，由|v水|＝|v船|可得船实际的航行方向为东北方向．因为|v|＝＝2(m/s)，所以航速的大小为2 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $