2.1 向量的概念（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

2．1　向量的概念 课程标准 素养解读 1.了解向量的实际背景，理解向量的概念． 2．掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念． 3．理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念. 1.通过学习向量的有关概念，重点提升数学抽象等核心素养． 2．会用有向线段表示向量，重点提升直观想象等核心素养. 随着我国综合国力的不断增强，我国海军装备事业发展迅速，一批新型舰艇陆续下水试航．如图所示，为测试某型号舰艇的性能，S舰从A点沿东北方向航行100 n mile到达B点．如果S舰沿其他方向航行100 n mile，能不能到达B点呢？ [知识点一]　向量与数量　 1．向量：既有　大小　，又有　方向　的量叫做向量． 2．数量：只有　大小　没有　方向　的量称为数量． [知识点二]　有向线段　 1．定义：具有确定　方向　的线段叫做有向线段． 2．表示方法：以A为起点、B为终点的有向线段记作. 3．长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作　|A|　. 4．三个要素：　起点　、方向、长度． [知识点三]　向量的表示方法　 几何 表示 用　有向线段　表示向量，有向线段的长度　|A|　表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母 表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，… [知识点四]　与向量有关的概念　 名称 定义 记法 向量a的大小(或称模) 向量a的大小 |a| 零向量 长度为　0　的向量 0 单位向量 模为　1　的向量 相等向量 模　相等　且方向　相同　的向量 a＝b 相反向量 与非零向量的模相等、方向相反的向量 －a 平行向量 (或共线向量) 方向　相同或相反　的非零向量 a∥b 规定：①零向量的相反向量仍是零向量．②零向量与任何一个向量　平行　 0∥a 1.向量可以比较大小吗？ 提示：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 2．有向线段就是向量吗？ 提示：有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量． 3．向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗？ 提示：不一样，向量中的“平行”包括向量所在直线共线和平行，而平面几何中的“平行”指两条直线平行． 1．下列选项中是向量的是(　　) A．温度 B．速度 C．密度 D．湿度 解析：B　[向量指具有大小和方向的量，故只有B对．] 2．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(　　) A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等 解析：D　[因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．] 3．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　) A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 解析：D　[因为向量a与向量b不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A、B、C错误，D正确．] 向量的有关概念 　下列四个命题中，真命题的个数是(　　) (1)零向量没有方向；(2)单位向量的模一定相等；(3)若a∥b，b∥c，则a∥c；(4)若a＝b，则a∥b. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [思路点拨]　本题考查向量的概念及单位向量、零向量、向量的模(长度)等知识点．解决此类问题的关键是弄清向量的有关概念． [解]　零向量模长为0，方向不确定，所以(1)为假命题；单位向量的模都等于1，所以(2)为真命题；对于(3)，如果b＝0，就不一定能得到a∥c，所以(3)为假命题；两个相等向量的方向一定相同，所以(4)为真命题．所以正确答案选B. 对向量的有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．[变式训练] 1．有下列说法： ①向量和向量长度相等； ②方向不同的两个向量一定不平行； ③向量是有向线段； ④向量大于向量； ⑤若向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．其中，正确的说法是　________　(只填序号)． 解析： 序号 正误 原因 ① √ | |＝| |＝|AB| ② × 平行向量包括方向相同或相反两种情况 ③ × 向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来 ④ × 向量不能比较大小 ⑤ × 共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求向量在同一直线上 ⑥ × 共线的向量，若起点不同，则终点可以相同，也可以不同 答案：① 　向量的几何表示 　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向． [思路点拨]　先选定起点和方向，再按要求作图． [解]　如图中的、和 用有向线段表示向量的方法 (1)画图思路 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向． (2)具体步骤 [变式训练] 2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量，，； (2)求的模． 解：(1)作出向量，，，如图所示： (2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°， BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以|A|＝5米． 　相等向量，相反向量与共线向量 　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，在每两点所确定的向量中： (1)与a相等的向量有哪些？ (2)向量a的相反向量有哪些？ (3)与a共线的向量有哪些？ [思路点拨]　根据相等向量和共线向量的概念寻找． [解]　(1)与a相等的向量有，，. (2)a的相反向量有， ，，. (3)与a共线的向量有，，，，，，，，. 共线向量与相等向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c. [变式训练] 3．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形． (1)图中所标出的向量与共线的有　________　； (2)图中所标出的向量与相等的有　________　； (3)图中标出的向量是的相反向量的有　________　； (4)图中所标出的向量与模相等的有　________　； 解析：(1)∵AB∥CD，且A，B，E三点共线，∴与，共线． (2)∵AB＝BE，且与方向相同，∴＝. (3)向量的相反向量有. (4)∵AB＝BC＝CD＝DA＝BE，∴||＝|B|＝|C|＝|D|＝|B|. 答案：(1)B，C　(2)B　(3) (4)|B|，|B|，|C|，|D| 1．下列物理量：①质量　②速度　③力　④加速度　⑤路程　⑥密度　⑦功．其中不是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：D　[∵②③④是既有大小，又有方向的量，∴它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向，∴不是向量．] 2．下列说法中正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析：D.[不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，D正确．] 3．已知向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为(　　) A．向量与向量一定同向 B．向量，向量，向量一定共线 C．向量与向量一定相等 D．以上说法都不正确 解析：B　[根据共线向量的定义，可知，，这三个向量一定为共线向量．] 4．已知||＝1，|A|＝2，若∠ABC＝90°，则||＝　__________　. 解析：[△ABC是以B为直角的直角三角形，所以|B|＝＝.] 答案： [基础过关] 1.有下列物理量：①质量②温度③角度④弹力⑤风速．其中可以看成是向量的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：B　[①②③不是向量，④⑤是向量．] 2．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 解析：D　[终点是N而不是M.] 3．下列说法中正确的是(　　) A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 解析：D　[共线向量的方向相同或相反．] 4．下列说法错误的是(　　) A．若向量a与b都是单位向量，则a＝b B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 解析：A　[向量a与b都是单位向量，则它们的模都为1，但它们的方向可能不同．] 5.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D．＝ 解析：D　[根据相等向量的定义，A中，与的方向不同，故A错误；B中，与的方向不同，故B错误；C中，与的方向相反，故C错误；D中，与的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确．] 6．给出下列各量： ①铅笔盒对桌面的压力； ②气温－10 ℃； ③高台跳水运动员在最高点的速度； ④|a|； ⑤把一条射线绕其端点顺时针旋转30°所构成的角－30°. 其中是向量的是　________　.(把正确选项的序号填在横线上) 解析：①压力是矢量，故也是向量；②与力相比，温度只有大小，没有方向，零上与零下只是温度高低的一种区分表述，因此－10 ℃不是向量；③高台跳水运动员在最高点的速度大小为0，但速度本身属于矢量，故也是向量；④|a|表示向量a的长度，它是一个数值；⑤－30°的角中的负号表明了“线转成角”时的旋转方向，这与向量的方向是不同的，不是向量． 答案：①③ 7．在平行四边形ABCD中，相等的向量有　________　组． 解析：平行四边形ABCD中，＝，＝，＝，＝，共4组． 答案：4 8．有下列说法： ①若a≠b，则a一定不与b共线； ②若a＝b，b＝c，则a＝c； ③共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法有　________　.(填序号) 解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；对于②，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同．所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故②正确；对于③，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可能是所在直线互相平行的向量，故③不正确． 答案：② 9.如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中： (1)写出与相等的向量； (2)写出与相反的向量； (3)写出与共线的向量． 解：(1)因为四边形ABCD和BCED都是平行四边形，所以BC∥AD∥DE，BC＝AD＝DE，所以＝＝.故与相等的向量为，. (2)与相反的向量有，，. (3)与共线的向量共有7个，分别是，，，，，，. [能力提升] 10．下列说法正确的是(　　) A．向量∥就是直线AB平行于直线CD B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量 解析：C　[向量∥包含直线AB平行直线CD或直线AB与直线CD重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A，B，D均错．] 11．如图四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是(　　) A．|A|＝|E| B．与共线 C.与共线 D．与共线 解析：C　[|A|＝|E|一定相等，与一定共线，与一定共线，与不一定共线，故选C.] 12．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断不正确的是(　　) A.＝ B．∥ C．||＝|| D．||＝|| 解析：D　[设正六边形ABCDEF的边长为a，依次分析各选项：对于A，由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等，则有＝，故A正确；对于B，由正六边形的性质可得AB与DE平行，即∥，故B正确；对于C，在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中心O，则有AD＝BE＝2a，即有||＝||，故C正确；对于D，在正六边形ABCDEF中，AC＝a，BE＝2a，则||≠||，故D错误．] 13.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为　________　；与向量共线的向量为　________　；与向量的模相等的向量为　________　.(填图中所画出的向量) 解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，. 答案：　，　，，，， 14．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中正确的是　________　(填序号)． ①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身) ②图中所标出的向量中与的模相等的向量有5个(不含本身) ③的长度恰为长度的倍 ④与不共线 解析：∵在菱形ABCD中，AB綊DC，∴＝，故①正确；又∠BAD＝120°，∴△ADC是正三角形，∴||＝||＝||＝||＝||＝||，故②正确；由平面几何知||＝2||sin 60°＝||，故③正确；而与共线，故④不正确． 答案：①②③ 15.一辆消防车从A地到B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°行驶2 km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 解析： (1)向量，，，，如图所示． (2) 由题意知＝.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，所以＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，6 km”． 学科网（北京）股份有限公司 $