1.2 充要条件（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

1．2　充要条件 课程标准 素养解读 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 姚明大家都认识．他说过很多很经典的话。其中有一句给我留下了很深刻的印象？他说：“努力不一定成功．但放弃一定失败”。话语中有两组关键词：“努力”和“成功”：“放弃”和“失败”．每组中的两个词之间有什么样的逻辑关系？ [知识点一]　充要条件　 一般地，若命题“如果p，那么q”是真命题，其逆命题“如果q，那么p”也是真命题，即p⇒q且p⇐q，则称p是q的充分且必要条件，简称　充要条件　，也称p与q等价，记为　p⇔q　. [知识点二]　四类条件　 1．一般地，如果p⇒q且　qp　，则称p是q的充分不必要条件． 2．如果pq且　q⇒p　，则称p是q的必要不充分条件． 3．如果p⇒q且　q⇒p　，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”． 4．如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．这种说法对吗？ 提示　正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确． 1．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[x3>1，等价于x>1，即“x>1”是“x3>1”的充要条件．] 2．“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[“x2＋y2＝0”可化为“x＝0且y＝0”．] 3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.] 充要条件的判断 　判断下列命题中的条件是否为结论的充要条件． (1)如果x＝2，那么x2＝4； (2)如果a>b，那么2a>2b. [思路点拨]　判断原命题和逆命题的真假． 解：(1)“如果x＝2，那么x2＝4”是真命题，其逆命题“如果x2＝4，那么x＝2”是假命题，因此“x＝2”不是“x2＝4”的充要条件； (2)因为“如果a>b，那么2a>2b”是真命题，其逆命题“如果2a>2b，那么a>b”也是真命题，所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件． 判断p与q的逻辑关系时，不但要通过原命题的真假判断p是不是q的充分条件，还要通过其逆命题的真假判断p是不是q的必要条件． [变式训练] 1．判断下列命题中的条件是否为结论的充要条件． (1)如果x2－3x＋2＝0，那么x＝1； (2)如果x是有理数，那么x是实数； (3)如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切； (4)如果α>β，那么sin α>sin β. 解：(1)命题“如果x2－3x＋2＝0，那么x＝1”是假命题，其逆命题“如果x＝1，那么x2－3x＋2＝0”是真命题，所以“x2－3x＋2＝0”不是“x＝1”的充要条件． (2)命题“如果x是有理数，那么x是实数”是真命题，其逆命题“如果x是实数，那么x是有理数”是假命题，因此“x是有理数”不是“x是实数”的充要条件． (3)“如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切”是真命题，其逆命题“如果直线与圆相切，那么圆心到直线的距离等于圆的半径”也是真命题，因此“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件． (4)“如果α>β，那么“sin α>sin β”是假命题，其逆命题“如果sin α>sin β，那么α>β”也是假命题，所以“α>β”不是“sin α>sin β”的充要条件． 充分、必要、充要条件的判断 　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)． (1)p：数a能被6整除；q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. [思路点拨]　依据条件和结论的推出关系逐一判断． 解：(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”， 即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． [变式训练] 2．指出下列各题中p是q的什么条件(在‘充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”中选一个作答)． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：x＝2或－2，q：分式的值为0； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. 解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)x＝2或－2分式的值为0，但分式的值为0⇒x＝－2，故p是q的必要不充分条件； (3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件． 1．(x－3)(x＋1)＝0的充要条件是(　　) A．x＝3 B．x＝－1 C．x＝－1或x＝3 D．x＝－1且x＝3 解析：C　[两数相乘等于0是“或”不是“且”．] 2．ab>0的充要条件是(　　) A．a<0且b<0 B．a>0且b>0或a<0且b<0 C．a>0或b>0 D．a>0且b>0 解析：B　[两数相乘，同号为正．] 3．“x＝2”是“|x|＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要务件 解析：A　[x＝2能推出|x|＝2，而|x|＝2不能推出x＝2，还可能是x＝－2，所以是充分不必要条件．] 4．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的　________　条件． 解析：p：(2x－1)x＝0，q：x＝0，则p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 [基础过关] 1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[设a，b，c分别是△ABC的三条边．且a≤b≤c，则a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形．] 2．“四边形ABCD为梯形”是“四边形ABCD为正方形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：D　[梯形不能推出正方形；正方形也不能推出梯形，所以是既不充分也不必要条件．] 3．已知p：－2<x<2，q：－1<x<2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[∵{x|－1<x<2}{x|－2<x<2}，∴p是q的必要不充分条件．] 4．“1<x<2”是“x≤2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，则AB，∴“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件．] 5．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．] 6．直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直的充要条件是　________　. 解析：由两直线垂直的充要条件得1×1＋1×(－a)＝0，得a＝1. 答案：a＝1 7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像过原点的充要条件是　________　. 解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像过原点，则有c＝0，反过来c＝0，函数图像一定过原点． 答案：c＝0 8．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的和为2的充要条件是　________　. 解析：当m＝0时，原方程即x＝2，满足条件；当m≠0时，＝2，m＝1或m＝－，但Δ＝(m＋1)2－8m2≥0，m＝1及m＝－均使Δ<0，故m＝0. 答案：m＝0 9．求x2－5x－6≤0的充要条件． 解：x2－5x－6≤0⇔－1≤x≤6. 故“x2－5x－6≤0”的充要条件为“－1≤x≤6”． [能力提升] 10．“x＝3”是“x2＝9”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 解析：A　[x＝3时，x2＝9；但x＝－3时，仍有x2＝9，据此即可作出判断．] 11. 设a，b为正实数，则“a>b>1”是log2a>log2b>0的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 解析：A　[当a>b>1时，有log2a>log2b>0；反之也成立，选A.] 12．对于任意实数a，b，c给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件； 其中真命题的个数是(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：B　[①③不正确，②④是真命题．] 13．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的　________　条件． 解析：设p：(2x－1)x＝0，q：x＝0，则p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 14．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的　________　条件． 解析：因为a>0，b>0，所以a＋b>0.ab>0，充分性成立；因为ab>0.所以a与b同号， 又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立． 故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件． 答案：充要 15．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 解：(1)∵q是r的必要条件，∴r⇒q. ∵s是r的充分条件，∴s⇒r， ∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s. ∴s是q的充要条件． (2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件． (3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p， ∴q⇒r⇒p.又pq， ∴p是q的必要不充分条件． 学科网（北京）股份有限公司 $