1.1 充分条件和必要条件（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

1．1　充分条件和必要条件 课程标准 素养解读 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 通过对充分条件、必要条件、充要条件的学习和理解，体会充分条件、必要条件、充要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理与数学抽象素养. 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． 问题　(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ 提示　(1)一定亮． (2)不一定，还可能是C开关闭合． [知识点一]　命题　 1．定义：能够判断真假的陈述句叫作命题．判断为真的命题称为　真命题　，判断为假的命题称为　假命题　. 2．命题的条件和结论 对于“如果p，那么q”的命题，我们称p为命题的条件，简称　条件　；称q为命题的结论，简称　结论　. 3．逆命题 将命题“如果p，如么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题． [知识点二]　充分条件和必要条件　 1．充分条件 一般地，若命题“如果p，那么q”是真命题，即由p可以推出q，则称p是q的充分条件，记作　p⇒q　. 若命题“如果p，那么q”是假命题，即由p不能推出q，则称p不是q的充分条件，记作　pq　. 2．必要条件 一般地，若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真题，则称p是q的必要条件，记作p⇐q. 若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是假命题，则称p不是q的必要条件，记作　pq　. 你能将性质定理“菱形的对角线互相垂直”写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述吗？ 提示　“菱形的对角线互相垂直”可表述为“若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”，所以“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件． 1．“x＝2”是“x2－2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x＝2能推出x2－2x＝0，而x2－2x＝0不能推出x＝2，因为还可能x＝0，所以是充分不必要条件．] 2．“x＋4＝0”是“x2－16＝0”的(　　) A．既充分又必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[x＋4＝0⇒x2－16＝0，但由x2－16＝0不能推出x＋4＝0，所以是充分不必要条件．] 3．“△ABC是等腰三角形”是“△ABC是等腰直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[△ABC是等腰三角形不能推出△ABC是等腰直角三角形，而△ABC是等腰直角三角形能推出△ABC是等腰三角形，所以是必要不充分条件．] 充分条件的判断 　判断下列各题中，p是否是q的充分条件； (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：<1； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (5)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. [思路点拨]　根据充分条件的定义判断． [解]　(1)由于QR，所以此命题是真命题，p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1，所以此命题是假命题，pq，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，则BA.所以此命题是假命题，pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.所以此命题是真命题，p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件的判断方法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由条件推结论； 第三步：若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件． [变式训练] 1．判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p：x2＝y2，q：x＝y； (2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0； (3)p：整数a能被4整除；q：整数a的个位数字为偶数； (4)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解： (1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，因此pq，所以p不是q的充分条件． (2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2－4ac≥0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件。 (3)若整数a能被4整除，则a是偶数， 所以a的个位数字为偶数， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 必要条件的判断 　判断下列命题中的条件p是否为结论q的必要条件． (1)如果x＋y为偶数，那么x、y都是偶数； (2)如果α＝，那么sin α＝； (3)如果a＝b，那么|a|＝|b|. [思路点拨]　确定命题的条件和结论，分析命题的逆命题的真假． [解]　(1)因为“如果x＋y为偶数，那么x、y都是偶数”的逆命题“如果x、y都是偶数，那么x＋y为偶数”是真命题，所以“x＋y为偶数”是“x、y都是偶数”的必要条件． (2)因为“如果α＝，那么sin α＝”的逆命题“如果sin α＝，那么α＝”是假命题，所以“α＝”不是“sin α＝”的必要条件． (3)因为“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，所以“a＝b”不是“|a|＝|b|”的必要条件． 必要条件的判断方法 第一步：确定谁是条件，谁是结论； 第二步：尝试由结论推条件，即看逆命题是否成立； 第三步：若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件． [变式训练] 2．判断下列各题中，q是否是p的必要条件： (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：x＝1，q：x－1＝； (4)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5； (5)p：a是自然数，q：a是正整数； (6)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形． 解：(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此pq，所以q不是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此pq，所以q不是p的必要条件． (3)当x＝1时，x－1＝＝0， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)设A＝[－2,5]，B＝[－1,5]，则BA， 所以pq，所以q不是p的必要条件． (5)0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，所以q不是p的必要条件． (6)三角形是等边三角形能推出三角形是等腰三角形，所以q是p的必要条件． 1．下列是命题的是(　　) A．二次函数图像真好看！ B．get out(出去)! C．我是高中生 D．我是来学习的吗？ 解析：C　[根据命题的概念可知，A、B为感叹句，故不是命题；C是可以判断真假的陈述句，是命题；D为疑问句，故不是命题．] 2．“a>b”是“a>|b|”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分也必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由a>|b|⇒a>b，而由a>b不能推出a>|b|.∴a>b”是“a>|b|”的必要条件但不是充分条件．] 3．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由x，y均为奇数，可以推出x＋y为偶数；但x＋y为偶数，如x＝2，y＝4，推不出x，y均为奇数，故“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的充分条件但不是必要条件．] 4．已知a，b都是实数，那么“|a|>|b|”是“>”的　________　条件(填“充分”或“必要”)． 解析：>可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，但|a|>|b|不可以推出>. 答案：必要 [基础过关] 1．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个充分条件是(　　) A．0<x<2　　　 B．－1<x<1 C.<x< D．<x<2 解析：C　[x2－x<0，得0<x<1，运用集合的知识易知，只有C中由<x<可以推出0<x<1，其余均不可．] 2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分也必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2.] 3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 解析：A　[当a＝1时，|a|＝1成立， 但|a|＝1时，a＝±1，∴a＝1不一定成立． ∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件，但不是必要条件．] 4．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当x>时，2x2＋x－1>2×2＋－1>0；而当2x2＋x－1>0时，如x＝－3时，不满足x>.] 5．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既不充分，也不必要条件 D．既充分，也必要条件 解析：C　[∵－2<x<1x>1或x<－1，且x>1或x<－1－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分也不必要条件．] 6．“lg x>lg y”是“>”的　________　条件．(填“充分”或“必要”) 解析：由lg x>lg y⇒x>y>0⇒>.而>有可能出现x>0，y＝0的情况，故>lg x>lg y. 答案：充分 7．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的　________　条件(填“充分”或“必要”)． 解析：若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件． 答案：充分 8．对于实数x、y，满足p：x＋y≠3，q：x≠2且y≠1，则p是q的　________　条件． 解析：x＋y≠3，可以是x≠1.5，y≠1.5，而x≠2且y≠1，则x＋y≠3. 答案：必要不充分 9．分别判断下列各组中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由． (1)p：x2＝2x，q：x＝0； (2)p：θ＝π，q：tan θ＝0； (3)p：a是整数，q：a是自然数． 解：(1)由于q：x＝0⇒p：x2＝2x，p：x2＝2xq：x＝0，所以p是q的必要条件． (2)由于p：θ＝π⇒q：tan θ＝0，q：tan θ＝0p：θ＝π，所以p是q的充分条件． (3)由于p：a是整数q：a是自然数，q：a是自然数⇒p：a是整数， 所以p是q的必要条件． [能力提升] 10．设命题p：x>3，命题q：x>5，则条件p是结论q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[大于3不一定大于5，大于5一定大于3.] 11．设命题p：x>5，命题q：x>6，则条件p是结论q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[x>5不能推出x>6，而x>6能推出x>5，所以x>5是x>6的必要不充分条件．] 12．已知集合A＝(－1,3)，B＝(－1，m＋1)，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是(　　) A．[2，＋∞)　　　　 B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(－2,2) 解析：A　[因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.] 13．设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的　________　条件(填“充分”或“必要”)；“|x－1|<1”是“0<x<5”的　________　条件(填“充分”或“必要”)． 解析：由|x－1|<1，解得0<x<2，因为(0,2)(0,5)，故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要条件，“|x－1|<1”是“0<x<5”的充分条件． 答案：必要　充分 14．下列不等式： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1. 其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为　________　. 解析：由于x2<1即－1<x<1，故①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意． 答案：②③④ 15．下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0；q：a2＋b2＝0； (2)p：四边形是正方形，q：四边形的四条边相等； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝. 解：(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0， a2＋b2＝0⇒a＋b＝0. ∴p是q的必要条件，但不是充分条件． (2)∵四边形是正方形⇒四边形的四条边相等，四边形的四条边相等四边形是正方形，∴p是q的充分条件，但不是必要条件． (3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝， x－1＝⇒x＝1或x＝2， ∴p是q的既充分又必要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $