5.2解一元一次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版七年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 5.2解一元一次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 利用合并同类项移项解一元一次方程 1．合并同类项 (1)概念：解方程时，将等号同侧的含有未知数的项与常数项分别合并成一项的过程． (2)依据：乘法的分配律(逆用)． 2．解“ax＋bx＝c＋d”型的一元一次方程的步骤 (1)合并同类项：先将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为mx＝n(m≠0)的形式． (2)把系数化为1：利用等式的性质2，在等式两边都除以m(m≠0)或者乘． 3.移项是解一元一次方程步骤中重要的一步，注意两点：形式上是把方程中的某一项改变符号后从方程的某一边移到另一边，本质上是依据等式的性质1，应用时，要让学生理解这样做的依据，从而确信它的正确性，熟练掌握移项的方法和目的． 移项的目的是为了把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“ x = a ”的形式. “化系数为1”时， ①当系数为整数时如何化： 除以这个整数 . ②当系数为分数时如何化: 乘以这个分数的倒数 . 题型1利用移项、合并同类项解一元一次方程 例1．已知是方程的解，则a的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-1】．方程的解是（   ） A．2007 B．2009 C．4014 D．4018 【变式1-2】．若单项式与可以合并成一项，则n的值是 ． 【变式1-3】．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点2 利用去括号解一元一次方程 (1)去括号： ①定义：解方程中，把方程中含有的括号去掉的过程． ②目的：化简方程，便于求解． ③依据：去括号法则． (2)解含括号的一元一次方程的一般步骤： ①去括号．②移项．③合并同类项．④系数化为1 （3） 解含括号的一元一次方程注意事项 (1) 解方程中去括号的一般顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号．此时，要注意把里面的括号看作一个整体。 (2) 去括号时要注意 ①当括号外的因数是负数，括号内的每一项都应改变符号 ②去括号时，括号外的因数要乘括号内的每一项，不要漏乘任何一项。 题型2 利用去括号解一元一次方程 例2．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】．解下列方程： (1)． (2)． 【变式2-2】．阅读理解：对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定．例如：．根据规定，解答下列问题： (1)计算：的值； (2)试比较与的大小． (3)若，求的值； 【变式2-3】．嘉琪同学在解方程时，步骤如下： 解：去括号，得，第一步 移项，得，第二步 合并同类项，得，第三步 系数化为1，得．第四步 嘉琪从第几步开始出错？错误的原因是什么？请给出正确的解答过程． 知识点3 利用去分母解一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：方程两边同乘以分母的最小公倍数，不要漏乘常数项和分母为1的项.. （2）去括号：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．去括号时，注意不要漏乘括号内的每一项； （3）移项：一般地，含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项要变号； （4）合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 （5）系数化为1：方程两边同乘以系数的倒数 注意： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 题型3利用去分母解一元一次方程 例3．解下列方程： (1)． (2)． 【变式3-1】．解方程： (1)； (2)． 【变式3-2】．当m等于什么数时，代数式与代数式的值相等． 【变式3-3】．本学期学了一元一次方程的解法，下面是小明同学部分解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得， … 小明解方程的第一步是去分母，去分母的过程是否正确？如果正确，请继续解完此方程；如果不正确，请说明错在哪里？并按正确的方式解此方程． 题型4选择适当方法解一元一次方程 例4．如何解关于的一元一次方程呢？小明和小暗在课后使用了不同的解题思路． 小明的思路 去括号，得： 移项，合并同类项，得： 方程的两边都除以2，得： 小暗的思路 移项，合并同类项，得：……第1步 方程的两边都除以2，得：……第2步 移项，合并同类项， 得：……第3步 经过验算，两人的结果都正确．同时，小暗发现，对于方程，只需进行思路中的第1步与第2步，可解得，这刚好对应了．小暗认为，方程中的“”就相当于方程中的“”． 请阅读以上内容，并解决下面的问题，方法不限，合理即可： (1)解方程 (2)若是关于的方程的解，请你求出关于的方程的解． 【变式4-1】．方程可以有多种不同的解法，其中有一种解法为换元法．观察此方程，设． (1)原方程可变形为：，解方程得： ，从而可得 ； (2)利用上述方法解方程：； (3)利用上述方法解方程：． 【变式4-2】．用两种不同的方法解方程．你认为哪种方法更简便？ 【变式4-3】．数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程． 题型5 一元一次方程同解问题 例5．若方程和方程的解相同，则a的值为多少？ 【变式5-1】．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 【变式5-2】．若关于的方程的解与的解相同，求的值． 【变式5-3】．如果方程的解与方程的解相同，求的值． 题型6一元一次方程的错解问题 例6．小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【变式6-1】．学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【变式6-2】．在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 【变式6-3】．学习情境错解问题 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为，试求a的值 题型7一元一次方程的遮挡、污染问题 例7．嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【变式7-1】．小明在解一道有理数混合运算时，一个有理数被污染了，如下： 计算：． (1)若，计算：； (2)若要使的结果为最小的正整数，则___________． 【变式7-2】．已知两个整式，，其中系数■被污染，当时，B的值为． (1)求■所表示的数字； (2)先化简，并求值，其中． 【变式7-3】．圆圆在做作业时，发现题“计算： ”中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算的值； (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 题型8已知方程的解求参数 例8．若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【变式8-1】．关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 【变式8-2】．如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【变式8-3】．已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 题型9一元一次方程整数解问题 例9．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【变式9-1】．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【变式9-2】．在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【变式9-3】．已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 题型10 一元一次方程与参数有关问题 例10．已知关于的方程与有相同的解，求的值． 【变式10-1】．已知关于x的一元一次方程的解比关于y的一元一次方程的解小4，求a的值． 【变式10-2】．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【变式10-3】．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 题型11含绝对值一元一次方程解法 例11．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，表示数轴上数a与数b对应点之间的距离． 例如：表示3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上点A表示的数为x，点B表示的数为，则A、B两点之间的距离可以表示为 ；若，则 ； (3)找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数有 ； (4)当x满足 时，的值最小，最小值是 ． 【变式11-1】．阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【变式11-2】．思想方法数形结合【难】先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探究】 (1)如图，先在数轴上画出表示的相反数的点，再把点向左移动个单位，得到点，则点和点表示的数分别为__________和__________，，两点之间的距离是__________； (2)数轴上分别表示和的两点和之间的距离可表示为__________，如果，两点之间的距离为，那么__________； (3)若点表示的整数为，则当__________时，与的值相等； (4)要使取得最小值，求相应的的取值范围． (5)当__________时，的值最小，最小值是__________． 【变式11-3】．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．则数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______； (3)当取最小值时，符合条件的整数x有______； (4)令，问当x取______，y的值最小，最小值为多少？请求解． 题型12一元一次方程新定义问题 例12．对于实数x，y定义一种新运算，例： (1)若，求a的值； (2)两个数量的大小可以通过它们的差来判断．若，试比较和的大小． 【变式12-1】．给出新定义如下：，； 例如：，． 根据上述知识，解下列问题： (1)若，，则 ______； (2)若，化简：；（结果用含x的代数式表示） (3)若，求x的值． 【变式12-2】．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，如： (1)求的值； (2)已知，求x的值． 【变式12-3】．定义一种新运算“*”：，比如：． (1)； (2)已知，请根据上述运算，求值． 例13．把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素，一个集合中没有相同的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素，使得也是这个集合的元素，这样的集合我们称为“条件集合”．例如集合，因为，而恰好是这个集合的元素，所以就是一个“条件集合”． (1)集合________（填“是”或“不是”）“条件集合”； (2)请说明集合是“条件集合”； (3)已知集合是“条件集合”，求出所有符合条件的的值； 【变式13-1】．【问题情境】可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A、B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 利用此结论，借助数轴数形结合回答下列问题： （1）数轴上表示1和6两点之间的距离是 ；数轴上表示3和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； （3）试用数轴探究：当时m的值为 ． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）对于任意有理数x，的最小值为 ，此时x可取的整数值是 ． 【变式13-2】．我们定义一种新的运算“”，并且规定：．例如：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式13-3】．阅读与思考 材料一：根据绝对值的定义可知，当时，；当时，；当时，．例如：． 材料二：若点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．例如：式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离． 请阅读以上材料，并解答下列相关问题． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)计算：． (4)若，直接写出的值． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列方程变形中，属于移项的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．在等式中，表示的数是（　　） A．1 B． C．3 D．0 3．若代数式与代数式的和为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 4．解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 6．如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 7．满足的的值的个数为（   ） A．5个 B．6个 C．无数个 D．不存在 8．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，第3个图形中面积为1的正方形有19个，…，按此规律，则有1104个面积为1的正方形的是（    ） A．第190个图形 B．第200个图形 C．第210个图形 D．第220个图形 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若，则x的值是 ． 10．关于x的方程的解与方程的解相同，那么a的值是 ． 11．若代数式比的值大，那么的值为 ． 12．已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 13．表示不超过的最大整数．方程的解为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．检验下列方程后面括号内字母的值是否是方程的解． (1) (2) 15．解方程： (1) (2) 16．如图是某运算的程序： (1)求输入和时，输出y的值； (2)如果输出的y的值是17，求输入的x的值． 17．请评论分析方程的两种解法（从解题方法的角度简要阐述）． 解法一：， ， ， 所以． 解法二：， ， ， 所以． 18．阅读以下材料，唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度，已知点，在数轴上分别表示有理数，，两点，之间的距离表示为，回答以下问题： (1)若点表示的数为，点表示的数为3，则、两点之间的距离________； (2)若数轴上表示和的两点之间的距离是4，则________； (3)当的取值范围是________时，代数式有最小值，最小值是________； (4)结合数轴求出的最小值为________，此时为________． 19．古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 20．如图，嘉淇做了一个“小鱼”形状的计算程序输入的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到；如输入，得到，． (1)若输入，试比较与的大小； (2)若得到，求输入的的值及相应的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 5.2解一元一次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 利用合并同类项移项解一元一次方程 1．合并同类项 (1)概念：解方程时，将等号同侧的含有未知数的项与常数项分别合并成一项的过程． (2)依据：乘法的分配律(逆用)． 2．解“ax＋bx＝c＋d”型的一元一次方程的步骤 (1)合并同类项：先将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为mx＝n(m≠0)的形式． (2)把系数化为1：利用等式的性质2，在等式两边都除以m(m≠0)或者乘． 3.移项是解一元一次方程步骤中重要的一步，注意两点：形式上是把方程中的某一项改变符号后从方程的某一边移到另一边，本质上是依据等式的性质1，应用时，要让学生理解这样做的依据，从而确信它的正确性，熟练掌握移项的方法和目的． 移项的目的是为了把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“ x = a ”的形式. “化系数为1”时， ①当系数为整数时如何化： 除以这个整数 . ②当系数为分数时如何化: 乘以这个分数的倒数 . 题型1利用移项、合并同类项解一元一次方程 例1．已知是方程的解，则a的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 【变式1-1】．方程的解是（   ） A．2007 B．2009 C．4014 D．4018 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将所求式子进行变形，再根据解一元一次方程的解题方法计算即可得解，正确将所求式子进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-2】．若单项式与可以合并成一项，则n的值是 ． 【答案】4 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义列出关于n的方程求解即可． 【详解】解：∵单项式与可以合并成一项， ∴，解得：． 故答案为：4． 【变式1-3】．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （3）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （4）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， ， ． 知识点2 利用去括号解一元一次方程 (1)去括号： ①定义：解方程中，把方程中含有的括号去掉的过程． ②目的：化简方程，便于求解． ③依据：去括号法则． (2)解含括号的一元一次方程的一般步骤： ①去括号．②移项．③合并同类项．④系数化为1 （3） 解含括号的一元一次方程注意事项 (1) 解方程中去括号的一般顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号．此时，要注意把里面的括号看作一个整体。 (2) 去括号时要注意 ①当括号外的因数是负数，括号内的每一项都应改变符号 ②去括号时，括号外的因数要乘括号内的每一项，不要漏乘任何一项。 题型2 利用去括号解一元一次方程 例2．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 解一元一次方程的一般步骤为去括号、移项、合并同类项、系数化为，根据每个方程的结构，依次应用这些步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为:． （2）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为:． （3）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为:． （4）解： 去括号： 合并同类项： 移项： 合并同类项： 系数化为:． 【变式2-1】．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】(1)去括号，移项，合并同类项，系数化为即可解题；(2)去括号，移项，合并同类项，系数化为即可解题． 【详解】（1）去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． （2）去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的解法，掌握一元一次方程解题步骤是本题的关键． 【变式2-2】．阅读理解：对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定．例如：．根据规定，解答下列问题： (1)计算：的值； (2)试比较与的大小． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列式计算，再比较大小即可； （3）根据新定义列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， 解得． 【变式2-3】．嘉琪同学在解方程时，步骤如下： 解：去括号，得，第一步 移项，得，第二步 合并同类项，得，第三步 系数化为1，得．第四步 嘉琪从第几步开始出错？错误的原因是什么？请给出正确的解答过程． 【答案】嘉琪从第一步开始出错．错误的原因是去括号时括号里的第二项漏乘，正确的解答过程见解析 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】根据解一元一次方程的方法，去括号，移项，合并同类项，系数化为的方法即可求解． 【详解】解：嘉琪从第一步开始出错．错误的原因是去括号时括号里的第二项漏乘．正确的解答过程如下： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程的方法，掌握解题步骤是本题的关键． 知识点3 利用去分母解一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：方程两边同乘以分母的最小公倍数，不要漏乘常数项和分母为1的项.. （2）去括号：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．去括号时，注意不要漏乘括号内的每一项； （3）移项：一般地，含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项要变号； （4）合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 （5）系数化为1：方程两边同乘以系数的倒数 注意： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 题型3利用去分母解一元一次方程 例3．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【变式3-1】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程． 按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ． 【变式3-2】．当m等于什么数时，代数式与代数式的值相等． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据题意列出方程，求解即可． 【详解】∵代数式与代数式的值相等． ∴， 去分母得：， 去括号得：， 解得：． 【变式3-3】．本学期学了一元一次方程的解法，下面是小明同学部分解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得， … 小明解方程的第一步是去分母，去分母的过程是否正确？如果正确，请继续解完此方程；如果不正确，请说明错在哪里？并按正确的方式解此方程． 【答案】不正确，错误原因是在去分母时，没有乘10；． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤；按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】解：不正确，错误原因是在去分母时，没有乘10； 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型4选择适当方法解一元一次方程 例4．如何解关于的一元一次方程呢？小明和小暗在课后使用了不同的解题思路． 小明的思路 去括号，得： 移项，合并同类项，得： 方程的两边都除以2，得： 小暗的思路 移项，合并同类项，得：……第1步 方程的两边都除以2，得：……第2步 移项，合并同类项， 得：……第3步 经过验算，两人的结果都正确．同时，小暗发现，对于方程，只需进行思路中的第1步与第2步，可解得，这刚好对应了．小暗认为，方程中的“”就相当于方程中的“”． 请阅读以上内容，并解决下面的问题，方法不限，合理即可： (1)解方程 (2)若是关于的方程的解，请你求出关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． （1）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． （2）将代入方程，可求得；按照法一和法二均可求解； 【详解】（1）解：方法一：去分母，得：， 移项，合并同类项得：， 再次移项，合并同类项得：， 方程的两边都除以4，得： 方法二：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项得：， 方程的两边都除以4，得： （2）解：方法一：根据观察可以发现，因为满足方程， 因此满足方程， 由解得： 方法二：由题意，将代入方程， 得，解得：， 代入方程，得： 解得：． 【变式4-1】．方程可以有多种不同的解法，其中有一种解法为换元法．观察此方程，设． (1)原方程可变形为：，解方程得： ，从而可得 ； (2)利用上述方法解方程：； (3)利用上述方法解方程：． 【答案】(1)，； (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，熟练掌握换元法解方程是解题关键． （1）直接根据解一元一次方程的方法得出，再得出，进而可求出； （2）设，则原方程可变形为关于t的方程：，解出方程； （3）设，则原方程可变形为关于y的方程：，解出方程； 【详解】（1）解：， 移项，得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）设，则原方程可变形为关于t的方程：， 去分母为：， 解得：， ∴， 解得：； （3）设，则原方程可变形为关于y的方程： ， ， ， ， ∴， ∴． 【变式4-2】．用两种不同的方法解方程．你认为哪种方法更简便？ 【答案】我认为法2较为简便，理由见解析 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程，法1：方程去分母，去括号，移项合并，把t系数化为1，即可求出解；法2：方程整理后，移项合并，把t系数化为1，即可求出解，比较即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：法1：去分母得：， 移项合并得：， 解得：； 法2：方程整理得：， 移项合并得：，即， 解得：， 我认为法2较为简便． 【变式4-3】．数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程． 【答案】见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查解一元一次方程．按照两人的方法，逐一进行求解即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算． 【详解】解：小亮：原方程可化为 ； 小颖：原方程可化为 ． 题型5 一元一次方程同解问题 例5．若方程和方程的解相同，则a的值为多少？ 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，先求方程的解，再代入方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， 因为与方程的解相同 所以把代入中得： ， ， 所以． 【变式5-1】．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 【答案】27 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解法（同解问题）及代数式求值，解题关键是通过第一个方程求出公共解，再代入第二个方程求a的值． 解第一个方程：通过去分母、去括号、移项合并，求出x的值（公共解）；代入第二个方程：将公共解代入含a的方程，解关于a的一元一次方程；计算代数式：用求得的a值代入，算出结果． 【详解】解：解第一个方程 两边同乘（分母最小公倍数），得： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． 将代入，得： 两边同乘6消分母： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． ∴． 【变式5-2】．若关于的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先分别求出两个方程的解，再根据两个方程的解相同得出关于的一元一次方程，最后解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵两个方程的解相同， ∴， 解得． 【变式5-3】．如果方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法和同解方程的概念，考核学生的计算能力． 先求出方程的解为，再把代入，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， 解得：． 题型6一元一次方程的错解问题 例6．小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．由题意得，小林得到的方程为，代入，求出的值，再对原方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程正确的解． 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 【变式6-1】．学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题意得：方程的为，将代入可求得得出原方程为，即可求解； 【详解】解：由题意得：方程的为， 将代入方程得：， 解得： ∴原方程为， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 【变式6-2】．在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 【答案】（1） （2） （3） 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）按照要求去分母即可； （2）将代入式子②，得，解方程即可求出的值； （3）将代入①，得，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】解：（1）依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：， 故答案为：； （2）将代入式子②，得：， 整理，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）将代入①，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 【变式6-3】．学习情境错解问题 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为，试求a的值，并正确地求出原方程的解． 【答案】， 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，解一元一次方程等知识点，熟练掌握方程的解的定义以及解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先按题意方式去分母，把代入计算，得到，再还原到原方程，然后按照解一元一次方程的一般步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可． 【详解】解：按方程左边的1没有乘以10，去分母，得：， 把代入，得：， 解得：， 把代入原方程，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 题型7一元一次方程的遮挡、污染问题 例7．嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 【变式7-1】．小明在解一道有理数混合运算时，一个有理数被污染了，如下： 计算：． (1)若，计算：； (2)若要使的结果为最小的正整数，则___________． 【答案】(1)0 (2)1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查有理数的计算，解一元一次方程掌握算理是解决问题的关键． （1）先算乘除，后算加减即可； （2）根据题意，令等于1，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意可知，， ， ， ． 故答案为：1． 【变式7-2】．已知两个整式，，其中系数■被污染，当时，B的值为． (1)求■所表示的数字； (2)先化简，并求值，其中． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． （1）设■所表示的数字为a，根据当时，B值为，列出方程，解方程即可； （2）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】（1）解：设■所表示的数字为a，根据题意得： ， 解得：， 即■所表示的数字为； （2）解：∵■所表示的数字为， ∴， ∴ ， 当时，原式． 【变式7-3】．圆圆在做作业时，发现题“计算： ”中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算的值； (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查有理数的四则混合运算、解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解一元一次方程的解法步骤是解答的关键． （1）先利用乘法分配律去括号，再根据有理数的乘法和加减法运算法则求解即可； （2）根据一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴被污染的数字为3． 题型8已知方程的解求参数 例8．若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（二）——去括号、相反数的定义 【分析】先求的解，把其解的相反数代入另一个方程求出的值，再代入代数式即可． 【详解】解：方程去括号， 得， 解得． 依题意，得方程的解为， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、方程的解、求代数式的值，熟悉方程的解及解一元一次方程是解题的关键． 【变式8-1】．关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】把看成常数，解方程，再根据方程有正整数解，求出即可． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以3，得． ∵是正整数，方程有正整数解， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 【变式8-2】．如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、已知方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 【变式8-3】．已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． 分别求出两个方程的解，然后根据两个方程解的关系得到关于m的方程，由此求解即可． 【详解】解：方程， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得：， ∵关于x的方程的解比的解小5， 因此方程的解为， 将代入，得， 解得：． 题型9一元一次方程整数解问题 例9．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 【变式9-1】．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 【变式9-2】．在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程步骤是解题关键． （1）把代入原方程，根据解一元一次方程步骤求出x； （2）先求出方程的解，再根据然后根据x是正整数，m是正整数，求出m. 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得； （2）解：解方程， 得， 方程有正整数解，是正整数， ． 【变式9-3】．已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【知识点】方程的解、一元一次方程的定义、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 题型10 一元一次方程与参数有关问题 例10．已知关于的方程与有相同的解，求的值． 【答案】的值为 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】解关于的方程与，利用解相同得到关于的方程，解此方程 即可求出的值． 【详解】解：由， 得 由， 得 两个方程的解是相同的， ， 解得 故的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 【变式10-1】．已知关于x的一元一次方程的解比关于y的一元一次方程的解小4，求a的值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程，先求出关于x的一元一次方程的解为，则，再将代入方程中，得：，进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴去括号得， 移项合并同类项得， 解方程得， ∵关于x的一元一次方程的解比关于y的一元一次方程的解小4， ∴， ∴将代入方程中，得：， ∴， ∴ ∴ 解得． 【变式10-2】．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程． 先解方程求出，再将代入中，求出的值即可． 【详解】解：解方程得． 因为方程的解与关于的方程的解互为相反数， 所以方程的解是． 把代入方程， 得， 解得． 【变式10-3】．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 【答案】． 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解，根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与的取值无关，得到且，求解即可， 掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 整理得：， ∵方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：． 题型11含绝对值一元一次方程解法 例11．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，表示数轴上数a与数b对应点之间的距离． 例如：表示3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上点A表示的数为x，点B表示的数为，则A、B两点之间的距离可以表示为 ；若，则 ； (3)找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数有 ； (4)当x满足 时，的值最小，最小值是 ． 【答案】(1) (2)；或 (3) (4)， 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值方程、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，绝对值方程，有理数的加减计算，熟知绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据两点距离计算公式求解即可； （2）根据两点距离计算公式可得第一空答案，进而根据可建立方程，解方程即可得到第二空答案； （3）设点A，点B，点C分别表示数x，数，数1，由绝对值的几何意义可知，分点A在点B左侧，点A在点B和点C之间（包含点B，点C）和点A在点C右侧三种情况，分别表示出，再与3比较即可确定当时，方程成立，据此可得答案； （4）由（3）可知当时，的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和的两点之间的距离是； （2）解：数轴上点A表示的数为x，点B表示的数为，则A、B两点之间的距离可以表示为； 当时，， ∴或， ∴或； （3）解：设点A，点B，点C分别表示数x，数，数1，则， 由绝对值的几何意义可知，表示的是点A到点B的距离与点A到点C的距离之和为3，即 当点A在点B左侧时，，不符合题意； 当点A在点B和点C之间时（包含点B，点C），则 ，符合题意； 当点A在点C右侧时，则，不符合题意； ∴当时，方程成立， ∴符合题意的整数x有； （4）解：由（3）可知当时，的值最小，最小值为． 【变式11-1】．阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【知识点】绝对值方程 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 【详解】解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 【变式11-2】．思想方法数形结合【难】先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探究】 (1)如图，先在数轴上画出表示的相反数的点，再把点向左移动个单位，得到点，则点和点表示的数分别为__________和__________，，两点之间的距离是__________； (2)数轴上分别表示和的两点和之间的距离可表示为__________，如果，两点之间的距离为，那么__________； (3)若点表示的整数为，则当__________时，与的值相等； (4)要使取得最小值，求相应的的取值范围． (5)当__________时，的值最小，最小值是__________． 【答案】(1)数轴见解析，，， (2)，或 (3) (4) (5)， 【知识点】数轴上两点之间的距离、相反数的定义、绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）根据点表示的数是的相反数确定点对应的数值，由平移确定点对应的数值，再确定，两点之间的距离； （2）利用绝对值的几何意义和数轴进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和数轴进行求解即可； （4）利用绝对值的几何意义和数轴进行求解即可； （5）利用绝对值的几何意义和数轴进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点与点即为所求； 的相反数为， ∴点表示的数是， 点表示的数是， ，两点之间的距离是 故答案为：，，； （2）解：由题意得和之间的距离可表示为， 如果，两点之间的距离为，那么所对应的点与所对应的点之间的距离为，那么或， ∴或， 故答案为：，或； （3）解：若使， 则所对应的点到所对应的点与所对应的点的距离相等，取两点连成线段的中点， 可得 故答案为：； （4）解：将看作是表示的点到表示的点之间的距离，将看作是表示的点到表示的点之间的距离，所以可以看作表示的点到表示的点和表示的点的距离之和， 当表示的点在表示和的点之间时，距离和取得最小值， ∴ z的取值范围是， 故答案为：； （5）解：表示在数轴上点所对应的点分别与，，所对应的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为， 当时，的值最小，最小值为， 所以当时，的值最小，最小值为 故答案为：，． 【变式11-3】．阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为．则数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______； (3)当取最小值时，符合条件的整数x有______； (4)令，问当x取______，y的值最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)4；3 (2)；1或 (3)，0，1，2 (4)2，y的值为4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程、有理数的减法运算 【分析】本题考查数轴与绝对值，有理数的加减计算，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解； （2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可； （3）根据数轴上两点间的距离的意义解答； （4）根据数轴上两点间的距离的意义解答． 【详解】（1）解：数轴上表示1和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：4；3 （2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； ∵， ∴， 解得：或1； 故答案为：；1或； （3）解：根据题意得：表示数轴上表示x的点到表示的点和到表示2的点的距离之和， 当x在和2之间时，取最小值， ∴符合条件的整数x有； 故答案为： （4）解：∵ ∴y可以表示为表示x的数到的距离、到2的距离、到3的距离之和， ∴当时，y有最小值，为． 题型12一元一次方程新定义问题 例12．对于实数x，y定义一种新运算，例： (1)若，求a的值； (2)两个数量的大小可以通过它们的差来判断．若，试比较和的大小． 【答案】(1) (2)． 【知识点】整式加减的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程，整式加减的应用． （1）根据定义的新运算列得关于a的方程，解方程即可； （2）根据定义的新运算分别求得和，然后将它们作差，再根据m的取值范围判断其结果与0的大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴． 【变式12-1】．给出新定义如下：，； 例如：，． 根据上述知识，解下列问题： (1)若，，则 ______； (2)若，化简：；（结果用含x的代数式表示） (3)若，求x的值． 【答案】(1)12 (2) (3)或0 【知识点】有理数四则混合运算、整式的加减运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了有理数的混合运算，整式的加减，解一元一次方程以及绝对值的含义，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）把，代入，进一步计算即可求解； （2）根据绝对值的性质化简即可求解； （3）由得出，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ． （2）解：当， 则 ． （3）解：∵， ∴， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得（舍去）； ∴x的值为或0． 【变式12-2】．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，如： (1)求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程，利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程是解题的关键． （1）利用新定义法则进行计算即可； （2）利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 可化为： ， 去括号得：， 合并得：， 系数化为1得：． 【变式12-3】．定义一种新运算“*”：，比如：． (1)； (2)已知，请根据上述运算，求值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了定义新运算，整式的加减运算，解一元一次方程的方法，解题的关键是： （1）根据“”列式计算即可； （2）先根据列出方程，再根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得． 例13．把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素，一个集合中没有相同的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素，使得也是这个集合的元素，这样的集合我们称为“条件集合”．例如集合，因为，而恰好是这个集合的元素，所以就是一个“条件集合”． (1)集合________（填“是”或“不是”）“条件集合”； (2)请说明集合是“条件集合”； (3)已知集合是“条件集合”，求出所有符合条件的的值； 【答案】(1)不是； (2)见解析； (3)的值是或或或． 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值方程、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了新定义、绝对值的意义以及绝对值方程，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算． （1）根据一个集合满足：只要其中有一个元素，使得也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，即可得出结论； （2）根据新定义即可得出结论； （3）根据新定义分情况讨论即可． 【详解】（1）， 集合不是“条件集合” 故答案为：不是 （2） 集合是“条件集合” （3）集合是“条件集合” 当，解得： 当，解得：或 当，解得： 故所有符合条件的的值是或或或． 【变式13-1】．【问题情境】可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A、B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 利用此结论，借助数轴数形结合回答下列问题： （1）数轴上表示1和6两点之间的距离是 ；数轴上表示3和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； （3）试用数轴探究：当时m的值为 ． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）对于任意有理数x，的最小值为 ，此时x可取的整数值是 ． 【答案】（1）5，5；（2）；（3）或6；（4）3；2，3，4，5． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的性质等知识点，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据数轴上两点间距离的定义用绝对值表示即可； （3）分和两种情况：分别列式计算即可； （4）先确定x与2的距离加上x与5的距离之和最小时，x的取值范围，再在该范围内求值即可． 【详解】解：（1）数轴上表示1和6两点之间的距离是；数轴上表示3和的两点之间的距离是． 故答案为：5，5． （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． 故答案为：． （3）表示数m的点与表示数1的点距离为5， 当表示数m的点在1的左边时，，解得：； 当表示数m的点在1的右边时，，解得：， 所以或6． 故答案为：或6． （4）∵表示数轴上x和2两点之间的距离，表示数轴上x和5两点之间的距离， ∴当且仅当时，两距离之和最小， ∴x可取的整数有∶2、3、4、5． 当时，，即的最小值为3. 故答案为：3；2，3，4，5． 【变式13-2】．我们定义一种新的运算“”，并且规定：．例如：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新运算得出，然后通过有理数运算法则进行计算即可； （）根据新运算得到关于的一元一次方程，然后根据一元一次方程的解法进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， 又 ∴ ． 【变式13-3】．阅读与思考 材料一：根据绝对值的定义可知，当时，；当时，；当时，．例如：． 材料二：若点表示的数记为，点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．例如：式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离． 请阅读以上材料，并解答下列相关问题． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)计算：． (4)若，直接写出的值． 【答案】(1)或2 (2)5或1 (3)2或0或 (4)6或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，正确理解题意，运用数形结合的思想分析问题． （1）分和两种情况，结合绝对值的定义即可获得答案； （2）根据的几何意义进行分析，即可获得答案； （3）分且，且，且，且四种情况，分别求解即可； （4）根据题意，可知的几何意义是数轴上表示数m的点与表示数的点和表示数的点的距离和为9，然后分，，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，可有， 当时，可有，即， ∴的值是或2； （2）根据题意，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点之间的距离为2， 则的值是5或1； （3）根据题意，可知且， 当且时，可有， 当且时，可有， 当且时，可有， 当且时，可有， 综上所述，的值为2或0或； （4）根据题意，可知的几何意义是数轴上表示数m的点与表示数的点和表示数的点的距离和为9， 当时，可知， 则有，解得， 当时，可知， 则有，故此种情况不存在， 当时，可知， 则有，解得， 综上所述，m的值为6或． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列方程变形中，属于移项的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查移项的定义，需根据定义分析每个选项的变形类型． 【详解】解：A、由，得，是方程两边同时除以，不是移项，不符合题意； B、由，得，是方程两边同时乘以，不是移项，不符合题意； C、由得，是把改变符号后移到右边，属于移项，符合题意； D、由，得，是交换左边两项的位置，未移项，不符合题意. 故选：C． 【点睛】本题考查了移项的定义，解题关键是明确移项的核心：改变符号后，从方程的一边移到另一边． 2．在等式中，表示的数是（　　） A．1 B． C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．设方框内的数为，根据有理数混合运算即可求解． 【详解】解：设方框内的数为，则原等式为： ， 整理得，， 所以， 解得：， 因此，方框内的数为. 故选：B. 3．若代数式与代数式的和为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了列方程解应用题，利用“代数式与代数式的和为”列方程求解即可. 【详解】解：根据题意得： . 去分母得：. 去括号得：. 移项，合并同类项得：. 故选：． 4．解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程．将等式两边同时乘以4化简即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以4得，． 故选：D． 5．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出第一个一元一次方程的解得到的值，再代入第二个方程中即可求出的值． 【详解】解：解方程得 两个方程的解相同， 把代入,得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程及解一元一次方程，两方程未知数的值相同即为同解方程，解决问题的关键是准确计算. 6．如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，易求a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将，代入原方程并化简得， ∵当a，b为定值时，对任意的k成立， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 7．满足的的值的个数为（   ） A．5个 B．6个 C．无数个 D．不存在 【答案】C 【分析】此题考查的是绝对值的意义，解一元一次方程，掌握利用绝对值的性质去绝对值是解决此题的关键．根据与6的大小关系分类讨论，分别去掉绝对值解方程即可得出结论． 【详解】解：当时， 由可得， 解得：； 当时， 由可得， 可得， 此方程有无数个解； 综上：方程的解的个数为无数个． 故选：C． 8．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，第3个图形中面积为1的正方形有19个，…，按此规律，则有1104个面积为1的正方形的是（    ） A．第190个图形 B．第200个图形 C．第210个图形 D．第220个图形 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律探究及解一元一次方程，熟练掌握通过分析前几个图形的数量关系得出规律是解题的关键．先找出图形中正方形个数的规律，得出第个图形中正方形个数的表达式，再据此列方程求解． 【详解】解：第个图形中面积为的正方形有个，即； 第个图形中面积为的正方形有个，即； 第个图形中面积为的正方形有个，即； ； 所以第个图形中面积为的正方形有个． 令 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，掌握比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，利用该性质将比例式转化为方程求解的值是解题的关键． 将转化为，解方程即可． 【详解】解：已知 根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得： 去括号得： 移项得： 系数化为得：． 故答案为：． 10．关于x的方程的解与方程的解相同，那么a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，准确的计算是解决本题的关键． 先解出两个方程的解，再根据两个方程的解相同进行求解即可． 【详解】解： 解得， 解得， ∵两个方程的解相同， ∴ 解得． 故答案为：2． 11．若代数式比的值大，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法． 根据题意，列出一元一次方程，然后解一元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 去分母得： 去括号得： 合并同类项，移项得： 系数化为得： 故答案为：． 12．已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，先求出同解方程的解，再求出的值． 先解第一个方程得到的值，再把的值代入第二个方程，解关于的方程； 【详解】解：解方程 移项可得 通分得到 即 系数化为1得 因为两个方程的解相同，把代入 得到 去分母得 移项可得 合并同类项得 系数化为1得 故答案为：． 13．表示不超过的最大整数．方程的解为 ． 【答案】或4 【分析】本题考查了一元一次方程，根据题意得到x为整数是解题的关键．根据表示不超过的最大整数化简方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵表示不超过的最大整数． ∴是整数， ∴当为偶数时，，原方程化为，解得； 当为奇数时，，原方程化为，解得； 故答案为：或4． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．检验下列方程后面括号内字母的值是否是方程的解． (1) (2) 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】本题考查了方程的解的定义．此题是利用代入法进行验证的． （1）、（2）方程的解就是能够使方程两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．所以把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证． 【详解】（1）解：把代入方程， 左边， 右边， 左边与右边相等， 所以是方程的解． （2）把代入方程， 左边， 右边， 左边与右边不相等， 所以不是方程的解． 15．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，． 16．如图是某运算的程序： (1)求输入和时，输出y的值； (2)如果输出的y的值是17，求输入的x的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)的值是9或． 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，一元一次方程，解题的关键是注意分类讨论，不要漏解． （1）将和分别代入求解即可； （2）分两种情况，当时，则，当，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∴； 当时， ∴； （2）解：当时，则， 解得：； 当，则， 解得：， 综上所述，的值是9或． 17．请评论分析方程的两种解法（从解题方法的角度简要阐述）． 解法一：， ， ， 所以． 解法二：， ， ， 所以． 【答案】解法一根据解一元一次方程的基本步骤，先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1解答； 解法二根据整体思想的方法解答， 【分析】由题意可知，解法一根据解方程的基本步骤解答；解法二利用整体的思想方法解答． 【详解】解：解法一根据解一元一次方程的基本步骤，先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为进行解答； 解法二利用整体的思想方法解答，解法更加灵活. 答：解法一根据解一元一次方程的基本步骤，先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1解答；解法二根据整体思想的方法解答． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解解一元一次方程的基本步骤的方法和整体思想解一元一次方程是本题的关键． 18．阅读以下材料，唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度，已知点，在数轴上分别表示有理数，，两点，之间的距离表示为，回答以下问题： (1)若点表示的数为，点表示的数为3，则、两点之间的距离________； (2)若数轴上表示和的两点之间的距离是4，则________； (3)当的取值范围是________时，代数式有最小值，最小值是________； (4)结合数轴求出的最小值为________，此时为________． 【答案】(1)4 (2)1或 (3)；5 (4)5；1 【分析】本题考查两点间的距离，有理数的运算，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式得到，求解即可； （3）根据表示数轴上表示数的点到表示数的点与表示3的点之间的距离之和，得到当表示的点在表示的点和表示3的点之间时，最小，进行求解即可； （4）同（3）可知当时，的值最小，进行求解即可； 【详解】（1）解：． 故答案为：4． （2）解：∵， ∴或 ∴或． 故答案为：1或． （3）解：∵表示数轴上表示数的点到表示数的点与表示3的点之间的距离之和， ∴当表示的点在表示的点和表示3的点之间时，即时，最小，为表示的点到表示3的点的距离， ∴最小值为． 故答案为：；5． （4）解：∵表示数轴上表示数的点到表示数，1，3的点之间的距离之和， ∴当时，的最小值为． 故答案为：5，1． 19．古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 【答案】壶中原来有斗酒． 【分析】根据题意，设壶中原来有斗酒，第一次遇到店加一倍成斗酒，然后见到花喝去一斗还有斗酒，依次类推，第三次壶中有斗酒，列方程即可. 【详解】解：设壶中原来有斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第二次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第三次遇店又见花后，壶中有斗酒． 由题意，得，解得． 故壶中原来有斗酒． 【点睛】本题考查了列一元一次方程的应用题——古代问题，读懂题意，列出第三次壶中酒是解题关键． 20．如图，嘉淇做了一个“小鱼”形状的计算程序输入的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到；如输入，得到，． (1)若输入，试比较与的大小； (2)若得到，求输入的的值及相应的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是有理数的混合运算以及一元一次方程的求解，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键； （1）先根据代入求出与的值，进而比较即可； （2）根据题意表示出，将代入求出x的值，代入求出n的值即可； 【详解】（1）解：当时，，， ， ； （2）解：由题意得，，， ， ， 解得：， ， ，． 学科网（北京）股份有限公司 $