第5章 再练一课(范围：§5.1～5.3.2)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

再练一课(范围：§5.1～5.3.2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1,2]上的平均速度为(　　) A．－6 B．2 C．－2 D．6 答案　A 解析　平均速度为＝＝－6. 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝－1，则等于(　　) A．－1 B．－3 C．－2 D．－ 答案　D 解析　由导数定义和f′(1)＝－1， 得＝＝－. 3．已知函数f(x)＝x3－4x，则f(x)的极大值点为(　　) A．x＝－4 B．x＝4 C．x＝－2 D．x＝2 答案　C 解析　由f(x)＝x3－4x， 得f′(x)＝x2－4. 令f′(x)＝x2－4>0，得x<－2或x>2. 令f′(x)＝x2－4<0，得－2<x<2. 所以函数f(x)的增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞).函数f(x)的减区间为(－2，2). 所以x＝－2是函数的极大值点，x＝2是函数的极小值点． 4．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m(m∈R)，则(　　) A．f(0)<f(5) B．f(0)＝f(5) C．f(0)>f(5) D．以上答案都不对 答案　C 解析　∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m， ∴f′(x)＝2x＋2f′(2)， ∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)， ∴f′(2)＝－4， ∴f(x)＝x2－8x＋m， 图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝4， ∴f(0)>f(5). 5．函数f(x)＝(x2－2x)ex的大致图象是(　　) 答案　B 解析　f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex， 令f′(x)>0，解得x>或x<－， 令f′(x)<0，解得－<x<， 所以f(x)＝ex在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f(x)的两个极值点为±，故排除选项A和选项D； 当x<0时，x2－2x>0，ex>0，所以f(x)＝ex恒为正，排除选项C； 即只有选项B符合要求． 6．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥1的解集为(　　) A．{0}∪[1，＋∞) B．(－∞，0]∪[2，＋∞) C．[0,1] D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案　D 解析　当x≤0时，f(x)＝cos x＋， 求导得f′(x)＝－sin x＋x， 令h(x)＝x－sin x，x≤0， 求导得h′(x)＝1－cos x≥0， 则函数h(x)，即f′(x)在(－∞，0]上单调递增， f′(x)≤f′(0)＝0， 函数f(x)在(－∞，0]上单调递减， 而f(0)＝1，当x≤0时，不等式f(x)≥1⇔f(x)≥f(0)，因此x≤0； 当x>0时，f(x)＝x3＋3x2－3＝(x－1)(x＋2)2＋1， 由f(x)≥1，得(x－1)(x＋2)2≥0，因此x≥1， 所以不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[1，＋∞)． 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　　) A．lm的斜率的最小值为－2 B．lm的斜率的最小值为－3 C．l0的方程为y＝1 D．l－1的方程为y＝9x＋6 答案　BCD 解析　因为f′(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3，A错误，B正确； 因为f′(0)＝0，f(0)＝1，所以l0的方程为y＝1，C正确； 因为f′(－1)＝9，f(－1)＝－3，所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6，D正确． 8.函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝－1与x＝x0处取得极值，则下列结论正确的有(　　) A．a<0 B．c<0 C．f(－1)＋f(1)>0 D．函数f′(x)在区间(－∞，0)上单调递减 答案　BC 解析　因为f(x)＝ax3－bx2＋cx， 所以f′(x)＝3ax2－2bx＋c， 由题图知f(x)的增区间是(－∞，－1)，，减区间是(－1，x0)，所以f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪， f′(x)<0的解集为(－1，x0)，所以a>0，A错误； 因为f(x)在x＝－1与x＝x0处取得极值，则－1，x0是方程3ax2－2bx＋c＝0的根， 由根与系数的关系可知＝－x0<0⇒c<0，B正确； 由图可知x0<1⇒x0－1<0， 由根与系数的关系可知x0－1＝<0，故b<0， 故f(－1)＋f(1)＝－2b>0，C正确； 因为f′(x)＝3ax2－2bx＋c的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝＝<0， 所以f′(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，D错误． 9．如果对定义在R上的函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f＋x2f>x1f＋x2f，则称函数y＝f(x)为“H函数”，则下列函数是H函数的是(　　) A．f(x)＝3x－sin x B．f(x)＝ C．f(x)＝x3＋3x D．f(x)＝ex＋x 答案　ACD 解析　对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f＋x2f>x1f＋x2f恒成立， 所以不等式等价于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立， 即函数f(x)是增函数， 对于A，函数f(x)＝3x－sin x，可得f′(x)＝3－cos x>0， 函数f(x)是增函数，符合题意； 对于B，函数f(x)＝当x>0时，函数y＝ln x单调递增， 当x<0时，函数y＝ln(－x)单调递减，不符合题意； 对于C，由函数f(x)＝x3＋3x，可得f′(x)＝3x2＋3>0，可得f(x)是增函数，符合题意； 对于D，函数f(x)＝ex＋x， 可得f′(x)＝ex＋1>0， 可得f(x)是增函数，符合题意． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知函数f(x)＝2x，若f(x)在x＝x0处的导数f′＝ln 4，则x0＝______. 答案　1 解析　因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2xln 2， 又f′＝ln 4，所以＝ln 4＝2ln 2，解得x0＝1. 11．函数f(x)的定义域为开区间，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有______个极小值点． 答案　1 解析　从导函数的图象上可得导数的零点有4个， 其中满足零点左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个． 12．若函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1,1)上存在减区间，则实数a的取值范围是______． 答案　 解析　f(x)＝(－x2＋ax)ex， 则f′(x)＝ex， 函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1,1)上存在减区间，只需－x2＋ax－2x＋a<0在区间上有解． 记g(x)＝－x2＋x＋a，其对称轴为直线x＝，开口向下，g＝－1－＋a＝1>0，只需g<0， 所以－1＋a－2＋a<0，解得a<. 四、解答题(共37分) 13．(12分)已知曲线f(x)＝x3－x，求 (1)曲线在点(－1,0)处的切线方程；(3分) (2)曲线过点(－1,0)的切线方程；(5分) (3)曲线平行于直线11x－y＋1＝0的切线方程．(4分) 解　(1)由f(x)＝x3－x得f′(x)＝3x2－1， 则f′(－1)＝3－1＝2， 所以曲线在点(－1,0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2. (2)设切点为(x0，x－x0)， 则f′(x0)＝3x－1， 则切线方程为y＝(3x－1)(x－x0)＋x－x0， 因为切线过点(－1,0)，代入切线方程得， 0＝(3x－1)(－1－x0)＋x－x0，化简得2x＋3x－1＝0， 则(x0＋1)2(2x0－1)＝0⇒x0＝－1或x0＝， 所以曲线过点(－1,0)的切线方程为 y＝2x＋2或y＝－x－. (3)直线11x－y＋1＝0的斜率为11， 设切点为(x1，x－x1)，则f′(x1)＝3x－1， 则切线方程为y＝(3x－1)(x－x1)＋x－x1， 则由切线与直线11x－y＋1＝0平行得3x－1＝11⇒x＝4， 即x1＝2或x1＝－2， 所以切线方程为y＝11x－16或y＝11x＋16. 14．(12分)试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间． 解　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝k－＝. 当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0， 则f(x)是减函数． 当k>0时，由f′(x)<0，即<0， 解得0<x<； 由f′(x)>0，即>0，解得x>. ∴当k>0时，f(x)在区间上单调递减， 在区间上单调递增． 综上所述，当k≤0时，f(x)的减区间为(0，＋∞)，无增区间； 当k>0时，f(x)的减区间为，增区间为. 15．(13分)已知函数f(x)＝－，g(x)＝xln x－x2－x. (1)求f(x)的极值；(4分) (2)若x∈(1，＋∞)时，f(x)与g(x)的单调性相同，求a的取值范围．(9分) 解　(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝， 当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增． 所以f(x)有极小值f(1)＝，无极大值． (2)由(1)知，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 则g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，即g′(x)＝1＋ln x－ax－1＝ln x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤在(1，＋∞)上恒成立， 令p(x)＝，x∈(1，＋∞)，则p′(x)＝， 所以当x∈(1，e)时，p′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，p′(x)<0， 所以p(x)在区间(1，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减，又x∈(1，＋∞)时，p(x)>0，所以p(x)∈，所以a≤0. 学科网（北京）股份有限公司 $