第二章 2.5.1 第1课时 椭圆的标准方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件围绕椭圆的定义、标准方程及应用展开，以“嫦娥二号”卫星轨道情境导入，通过细线画椭圆的动手操作抽象出定义，推导标准方程后结合例题应用，构建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于情境导入培养数学眼光，动手操作与方程推导发展数学思维，分层训练提升数学语言表达能力。如用航天实例激发探究欲，问题1通过画图感知定义本质，例题与训练帮助规范表达。小结清单化知识、方法与误区，助力教师高效教学，学生扎实掌握椭圆知识。

第1课时 第二章 <<< 椭圆的标准方程 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 学习目标 “嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先 导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三 号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术 试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度 成像.“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，那么椭圆到底有怎样的几何特征，我们该如何研究椭圆呢？就让我们开始今天的探究之旅吧！ 导 语 一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程的推导 课时对点练 三、求简单的椭圆的标准方程 随堂演练 内容索引 椭圆的定义 一 提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板 的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖， 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细 绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 问题1 如果F1，F2是平面内的两个 ，a是一个常数，且2a |F1F2|，则平面内满足 的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的 . 定点 > |PF1|＋|PF2|＝2a 焦点 焦距 知识梳理 椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，则对应的点的轨迹分别如下表： 注 意 点 <<< 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 　点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过点P，判断圆心M的轨迹. 例 1 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过点P，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|， 所以动点M的轨迹是椭圆. 9 定义中到两定点的距离之和是常数(不含变量)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件. 反 思 感 悟 10 　 (1)下列命题是真命题的是______.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 的点P的轨迹为 椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为 线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆. 跟踪训练 1 ② 11 ① <2，故点P的轨迹不存在； ②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2； ③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴). 12 (2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线 连接EA(图略)，∵CD垂直平分AB， ∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r， 则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r>|OA|， 故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B. √ 13 二 椭圆的标准方程的推导 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使所得的椭圆方程形式简单？请建系并求方程. 问题2 15 提示　观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0). 根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}. 16 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边， 对方程②两边平方，得 17 对方程③两边平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)， ④ 将方程④两边同除以a2(a2－c2)， 由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0， 所以a2－c2>0. 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程. 18 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 问题3 19   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ________________ ________________ 图形     焦点坐标 _____________ ________________ 焦距 ____ a，b，c的关系 a>b>0，a>c>0，a2＝_______ (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) 2c b2＋c2 知识梳理 20 (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁对应的坐标轴上. 注 意 点 <<< 21 求简单的椭圆的标准方程 三 　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 例 3 23 因为椭圆的焦点在y轴上， 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 24 因为椭圆的焦点在y轴上， 由椭圆的定义知， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 25 26 由a>b>0，知不符合题意，故舍去； 27 28 反 思 感 悟 (1)求椭圆的标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解. (2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). (1)已知椭圆 ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为 跟踪训练 2 √ 30 31 (2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0,4)，且椭圆上一点P到两焦点的 距离之和为10，则椭圆的标准方程为___________. 依题意，得c＝4，且焦点在y轴上， 又∵2a＝10，∴a＝5， ∴b2＝a2－c2＝9， 32 1.知识清单： (1)椭圆的定义. (2)椭圆的标准方程. (3)椭圆定义及标准方程的应用. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区： (1)椭圆定义中2a>|F1F2|易忽视. (2)易忽视椭圆的标准方程有两种情况. (3)易忽视条件中椭圆定义的使用. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 √ ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|， ∴动点M的轨迹是线段. 1 2 3 4 2.若椭圆的焦点在x轴上且其图象经过点(－4,0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为 √ 1 2 3 4 因为椭圆的焦点在x轴上且其图象经过点(－4,0)，焦距为6， 所以a＝4,2c＝6， 则c＝3，b2＝a2－c2＝7， 1 2 3 4 3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.(0，＋∞) B.(0,2) C.(1，＋∞) D.(0,1) √ 1 2 3 4 4.动点P(x，y)的坐标满足 ＝8，则点P的轨迹为_______. 椭圆 又|AB|＝4，所以|PA|＋|PB|＝8>4， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.点P为椭圆 ＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于 A.13 B.1 C.7 D.5 √ 由已知得a＝4，|PF2|＝2a－|PF1|＝8－3＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.椭圆 ＝1的焦点坐标是 A.(±5,0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12,0) 椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25， 所以c2＝a2－b2＝144， 所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意2c＝6,2a＝10， 即a＝5，c＝3，b＝4， 但该椭圆的焦点位置不明确， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是 A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确； 当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)使方程 ＝1表示椭圆的m的值可以是 A.2 B.3 C.4 D.0 √ √ √ 7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距 为 ，则此椭圆的标准方程为___________. 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设P为椭圆 ＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|· |PF2|的最大值是_____. |PF1|＋|PF2|＝2a＝6， 9 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号. 9.求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)； 由焦距是4可得c＝2， 且焦点坐标为(0，－2)，(0,2). 由椭圆的定义知， 所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 由题意知，2a＝26，即a＝13， 又c∶a＝5∶13，所以c＝5， 所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程. 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 动圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|. 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.椭圆 ＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)， ∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.P是椭圆 ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|· |PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为 A.60° B.30° C.120° D.150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由椭圆的定义得 |PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝ ， ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64， ∵|PF1|·|PF2|＝12， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝40， ∵0°＜∠F1PF2＜180°， ∴∠F1PF2＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2， 得(m＋n)2－2mn＝4c2， 根据椭圆的定义有m＋n＝2a， 所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点M到x轴的距离为h， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知P为椭圆 ＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆 (x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为____. 7 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 62 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由已知得F(c,0)，A(a,0)，B(0,2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝ ，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a＝2，c＝1， 整理，得a2－cx＝a， ③ 因为|MF1|＝，|MF2|＝， 所以＋＝2a. ① 得＝2a－. ② (x＋c)2＋y2＝4a2 －4a＋(x－c)2＋y2， 得＋＝1， ⑤ 令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a>b>0). ⑥ 提示　＋＝1(a>b>0). ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 所以所以 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0). 所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； 2a＝＋＝2，即a＝， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)经过点P，Q. 依题意，有解得 当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). 依题意，有解得 ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. ＋ A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 由题意可得 解得 故椭圆的方程为＋＝1. ＋＝1 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 椭圆的标准方程为＋＝1. ∵方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2， 故0<k<1. ＋ 设A(2,0)，B(－2,0)，则表示|PA|，表示|PB|， ＋ ＋ 原方程可化简为x2＋＝1，  A.－1 B.1 C. D.－ 由c2＝－1＝4，得k＝1. A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. ＋ ∵方程＋＝1表示椭圆， 则解得－1<m<5且m≠2. 由已知2a＝8,2c＝2，得a＝4，c＝， 2 ＋x2＝1 所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. ＋  |PF1|·|PF2|≤＝9， 2a＝＋＝8， 又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 其方程为＋＝1(x≠－2). ＋ A.± B.± C.± D.± ∵点P在椭圆上，∴＋＝1， 即y2＝，∴y＝±. ∴点M的纵坐标为±. ＋ 2 在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝， 13.已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为 A. B. C. D. 由·＝0，得MF1⊥MF2， 可设||＝m，||＝n， 所以 ＝·mn＝1， 则×|F1F2|×h＝1， 又|F1F2|＝2，故h＝. ＋ 15.椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B(0,2)，且·＝4＋4，则椭圆C的方程为 A.＋＝1  B.＋＝1 C.＋＝1  D.＋＝1 所以·＝(c，－2)·(a，－2)＝ac＋4＝4＋4， 所以解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. 设其方程为＋＝1(a>b>0). 因为|AB|＝2，|AC|＝， 所以|BC|＝＝， 则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2， 所以b2＝a2－c2＝3，所以曲线E的方程为＋＝1. $