15.3.2 等边三角形 练习题 2025-2026学年人教版(2024)八年级数学上册

15.3.2　等边三角形 一、单项选择题。 1．下面关于等边三角形的说法中，不正确的是( ) A．等边三角形的三边都相等 B．等边三角形有三条对称轴 C．等边三角形的三个内角都是60° D．等腰三角形具有等边三角形的性质 2．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 3．在下列结论中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．③④ 4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD⊥BC.若添加一个条件可以证明△ABC是等边三角形，则这个条件可以是( ) A．∠B＝60° B．∠BAD＝30° C．AB＝BC D．以上都可以 5．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，CE＝3，则AC为( ) A．12 B．13 C．14 D．15 6．如图，△ABC是等边三角形，点D为△ABC右侧一点，连接AD，BD，CD，BC＝BD，∠BAD＝25°，则∠BCD为( ) A．55° B．50° C．45° D．35° 二、填空题。 7．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，则∠BOC＝_________. 8．跨学科　建筑如图，梯子与地面的夹角为60°，上端A靠墙，底端B距离墙角3米，则梯子的长度为____米． 9．若△ABC和△EDC都是等边三角形，∠EBD＝65°，则∠AEB＝________. 10．如图是某车库出入口的栏杆，若BC＝4m，∠B′CB＝30°.则栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离B′D为_______． 11．如图，Rt△ABC的斜边AC∥x轴，点B的坐标是(，0)，∠A＝30°，则AC＝____． 12．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长度是________cm． 三、解答题。 13．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6cm，AD是∠CAB的平分线，求CD的长. 15．如图，李明同学想测量泸州白塔CD的高度，他在A处测得∠CAD＝15°，再往前行进60m到达B处，此时测得∠CBD＝30°，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔CD的高度． 16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB. (1)判断△DEF的形状，并说明理由； (2)若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 17．如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N. (1)求证：BE＝AD； (2)求∠BMN的度数； (3)若MN＝3，ME＝1，求AD的长． 答案: 一、 1-6 DCDDA A 二、 7. 120° 8. 6 9. 125° 10. 2m 11. 6 12. 2 三、 13. 证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和Rt△CFD中，BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 14. 解：由题意得∠CAB＝90°－30°＝60°.∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°.∴AD＝2CD，AD＝BD.∴BC＝3CD.∴CD＝BC＝×6＝2(cm).∴CD的长为2cm 15. 解：∵∠ACB＝∠CBD－∠CAD＝15°，∴∠CAB＝∠ACB＝15°，∴BC＝AB＝60m．在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×60＝30 (m).∴泸州白塔的高度是30m 16. 解：(1)△DEF是等边三角形．理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形　 (2)连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD－AE＝12－8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE－EF＝8－4＝4 17. 解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝CA.在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD(SAS).∴BE＝AD (2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∴∠BMN＝∠ABE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAE＝60° (3)∵BN⊥AD，∴∠BNM＝90°，由(2)得∠BMN＝60°，∴∠NBM＝30°，∴BM＝2MN＝2×3＝6 ，∴BE＝BM＋ME＝6＋1＝7，由(1)得AD＝BE，∴AD＝7 学科网（北京）股份有限公司 $