第九章 随机变量及其分布（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 下册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套陕西专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查了离散型随机变量及其分布、二项分布、正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以，则. 故选：D. 2．两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算求得时的概率，由此可得分布列，根据数学期望计算公式可求得结果. 【详解】两封信随机投入三个空邮箱，共有种情况， 则投入邮箱的信件数所有可能的取值为， ，，． 离散型随机变量的分布列为 ． 故选：B． 3．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） X 3 4 5 9 P A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：C. 4．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　) A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 600元 【答案】B 【详解】，即期望效益为元，选. 5．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白球”记为事件B，那么事件A与B，A与间的关系是（    ） A．A与B，A与均相互独立 B．A与B相互独立，A与互斥 C．A与B，A与均互斥 D．A与B互斥，A与相互独立 【答案】A 【分析】结合独立事件和互斥事件直接判断即可. 【详解】由于是有放回地摸球，事件A的发生并不影响事件B的发生，故A与B，A与均相互独立. 故选：A 6．某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】C 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】由随机变量均服从正态分布，，， 结合正态概率密度函数的图象，可得，， 即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值， 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性. 故选：C. 7．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以． 故选：C． 8．假设，，且A与相互独立，则（    ） A．0.9 B．0.75 C．0.88 D．0.84 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式求得，再根据和事件的概率计算即可求得答案. 【详解】由题意，，且A与相互独立， 则, 故， 故选：C 9．一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算ξ为1，2，3时的概率即可得到答案. 【详解】随机变量ξ的可能值为1，2，3， ，，. 故选：C 10．在2002年美国安然公司（在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一）宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假．但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律——严重偏离．本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量是一个没有人为编造的首位非零数字，则， 则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据：，）（    ） A．0.046 B．0.051 C．0.058 D．0.067 【答案】B 【分析】根据题意结合对数运算求解． 【详解】由题意可得：, 故选：B 11．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　) A．0.6和0.7 B．1.7和0.09 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 【答案】D 【详解】E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21. 12．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质，根据条件求出的值，从而求出结果. 【详解】因为随机变量的分布列为，所以，解得， 所以，故， 故选：C. 13．某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为，使用寿命不少于6年的概率为，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合正态分布的对称性先求得使用寿命不少于4年的概率，然后由二项分布的概率公式可得. 【详解】记摄像头的使用寿命为X，则， 由题知 所以， 所以，所以 记满4年时还能正常工作的摄像头个数为Y，则 所以. 故选：B 14．某学校有2000人参加模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到120分（含90分和120分）之间的人数约为（    ）． A．400 B．600 C．800 D．1200 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在90分到120分的概率，即可求解作答. 【详解】依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为， 由，得， 所以此次数学考试成绩在90分到120分之间的人数约为. 故选：D 15．已知随机变量，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质计算即可. 【详解】已知，， 则， 因为随机变量，正态曲线关于对称， . 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若随机变量，则 .（附：若随机变量，则，） 【答案】0.84135 【分析】根据正态分布的对称性，结合原则求解即可 【详解】因为，所以. 故答案为： 17．盒中有6个球，其中1个红球，2个绿球，3个黄球.从盒中随机取球，每次取3个，记取出的球颜色种数为，则 .若摸出的三个球颜色相同或各不相同设为中奖，记某人5次重复摸球（每次摸球后放回）中奖次数为，则 . 【答案】 【解析】将摸出的三个球进行分类，再由古典概型概率公式得出，求出每次中奖的概率，再结合二项分布的知识得出. 【详解】摸出的三个球为1个红球，2个绿球，共有种； 摸出的三个球为1个红球，2个黄球，共有种； 摸出的三个球为1个绿球，2个黄球或2个绿球，1个黄球，共有种 则 每次摸出的三个球颜色相同或各不相同的概率为 由二项分布知识可知，，则 故答案为：； 【点睛】关键点睛：在解决第二空时，关键是得出，结合二项分布数学期望的性质得出. 18．小张同学拿到一个随机变量的概率分布列如下表，然后要计算的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能判定这两个“？”处的数值相同.据此，小张给出了正确答案 ． 2 4 6 ？ ！ ？ 【答案】4 【详解】分析：设“？”为x，“！”为y，利用离散型的随机变量的分布列的性质可得2x+y=1，再利用数学期望的计算公式即可得出． 详解：设“？”为x，“！”为y，由离散型的随机变量的分布列的性质可得2x+y=1． ∴Eξ=2×x+4y+6x=4（2x+y）=4． 故答案为：4 点睛：注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解. 19．如果随机变量，且，，则等于 . 【答案】0.2/ 【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得出关于n、p的方程组，即可求得p的值. 【详解】由题意得，， 解得. 故答案为：0.2. 20．盒中有个球，其中个白球，个黑球，从中随机取球，若每次取一个，不放回，取到黑球停止，则第二次取到黑球的概率 ；若每次取一个，放回，取到黑球停止，且取球次数不超过次，设此过程取到白球的个数为，则 . 【答案】 【解析】第一空计算时注意不放回的取，由题意计算第一次取到白球，第二次取到黑球的概率；第二空注意放回的取，得的取值为，分别计算概率，再代入期望的公式求解. 【详解】由题意，若每次取一个，不放回，所以第一次取到的是白球，第二次取到黑球的概率为；若每次取一个，放回，则白球的个数的取值为，则，，， 则. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：解答该题时需要注意是放回取还是不放回取，对于放回取的情况，每次的取到白球或者黑球的概率不变，而不放回取的情况，则会改变，所以需要注意判断题干给的条件是放回还是不放回. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且. (1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率； (2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)2001 【分析】（1）根据正态分布的性质求出的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案； （2）根据正态分布的对称性求出的值，确定，结合正态分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且， 所以， 则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为. （2）因为，所以， 依题意可得，所以， 因为，所以， 又为正整数，所以的最小值为2001. 22．在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. (1)求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率； (2)若抽4次，抽到道代数题，求随机变量的分布列和期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用条件概率的公式求解或者利用缩小事件空间的方法求解； （2）先确定的所有取值，求出各自的概率，写出分布列，利用期望的公式可得期望. 【详解】（1）（1）记表示事件“第次抽到代数题”，. 方法一：由条件概率公式可得 . 所以第一次抽到几何题的条件下，第二次抽到代数题的概率为； 方法二：已知第一次抽到几何题，这时还剩余代数题和几何题各四道，因此）. （2）由题意，随机变量的可能取值为：； ， ， . 的分布列为 0 1 2 3 4 所以. 23．某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； (2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用超几何分布直接求解即可得出结果. （2）利用二项分布求出考生乙分布列，比较甲乙操作题数的均值和方差及至少正确完成题的概率即可得出结论. 【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为， 则的取值范围是． ，，， 所以的分布列为： ． （2）设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知， 所以，， ，． 所以的分布列为： ． 则，， ，，． 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 因此甲的实验操作能力较强． 24．为了解某校学生在学校的月消费情况，随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”． (1)求a的值； (2)现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记“高消费群”人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）根据频率分部直方图中，频率之和为1即可求解. （2）首先根据分层抽样，确定每层所抽取的人数，然后根据超几何分布求出随机变量对应的概率即可求解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由题意知，人数在和的比例为,所以从中抽取7人，从中抽取3人．高消费人X可以取0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ， （也可用超几何分布结论） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套陕西专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查了离散型随机变量及其分布、二项分布、正态分布等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望（    ） A． B． C． D． 3．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） X 3 4 5 9 P A． B． C． D． 4．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　) A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 600元 5．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白球”记为事件B，那么事件A与B，A与间的关系是（    ） A．A与B，A与均相互独立 B．A与B相互独立，A与互斥 C．A与B，A与均互斥 D．A与B互斥，A与相互独立 6．某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 7．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 8．假设，，且A与相互独立，则（    ） A．0.9 B．0.75 C．0.88 D．0.84 9．一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（    ） A． B． C． D． 10．在2002年美国安然公司（在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一）宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假．但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律——严重偏离．本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量是一个没有人为编造的首位非零数字，则， 则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据：，）（    ） A．0.046 B．0.051 C．0.058 D．0.067 11．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　) A．0.6和0.7 B．1.7和0.09 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 12．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 13．某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为，使用寿命不少于6年的概率为，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 14．某学校有2000人参加模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到120分（含90分和120分）之间的人数约为（    ）． A．400 B．600 C．800 D．1200 15．已知随机变量，若，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若随机变量，则 .（附：若随机变量，则，） 17．盒中有6个球，其中1个红球，2个绿球，3个黄球.从盒中随机取球，每次取3个，记取出的球颜色种数为，则 .若摸出的三个球颜色相同或各不相同设为中奖，记某人5次重复摸球（每次摸球后放回）中奖次数为，则 . 18．小张同学拿到一个随机变量的概率分布列如下表，然后要计算的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能判定这两个“？”处的数值相同.据此，小张给出了正确答案 ． 2 4 6 ？ ！ ？ 19．如果随机变量，且，，则等于 . 20．盒中有个球，其中个白球，个黑球，从中随机取球，若每次取一个，不放回，取到黑球停止，则第二次取到黑球的概率 ；若每次取一个，放回，取到黑球停止，且取球次数不超过次，设此过程取到白球的个数为，则 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且. (1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率； (2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值. 22．在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. (1)求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率； (2)若抽4次，抽到道代数题，求随机变量的分布列和期望. 0 1 2 3 4 23．某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； (2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 24．为了解某校学生在学校的月消费情况，随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”． (1)求a的值； (2)现采用分层抽样的方式从月消费金额落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记“高消费群”人数为，求的分布列与数学期望． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $