第八章 排列组合（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 下册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套陕西专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要考查了计数原理、排列与组合、二项式定理等常见考点。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．展开式的第7项的二项式的系数是（    ） A．56 B．70 C．28 D．8 2．用0，1，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．欧拉长方体，又称整数长方体或欧拉砖，指棱长和面对角线长都是整数的长方体．记E（a，b，c；d，e，f）为欧拉长方体，其中a，b，c为长方体的棱长，d，e，f为面对角线长．最小的欧拉长方体是．从，，，，，中任取两个欧拉砖，则恰有一个最短棱长小于100的欧拉砖的概率为（    ） A． B． C． D． 4．若二项式的展开式中的各项系数之和为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．的展开式中，的系数为（    ） A．10 B．20 C．30 D．60 6．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合    A．9 B． C． D． 7．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．6 C． D．4 8．一个不透明的口袋中有若干个红球和黑球，从中摸出一个，每个球被摸出的可能性是相同的．现从中摸出两个球，均是红球的概率为，已知袋中红球有3个，则袋中共有球的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．设，则（ ） A． B． C．1 D．2 10．在如图所示的表格中填写，，三个数字，要求每一行、每一列均有这个数字，则不同的填法种数为（    ）． A． B． C． D． 11．被除所得的余数是（    ） A． B． C． D． 12．从n个正整数1，2…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 13．凸八边形的对角线有（   ）条 A．20 B．28 C．48 D．56 14．学校食堂有2种荤菜、3种素菜、4种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则不同的搭配方案有（    ）种 A．12 B．24 C．9 D．21 15．从1，2，3，5，7这5个数字中，任取两个不同的数字作为直线的系数，则可以得到不同的直线有（    ） A．12条 B．20条 C．24条 D．30条 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 . 17．若，则 ． 18．在二项式的展开式中，常数项是 ． 19．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ． 20．由可组成 个没有重复数字的三位数 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？ 22．数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色．”，现有五种颜色供选择，涂色我国西部五省，要求每省涂一色，相邻各省不同色，有多少种涂色方法． 23．在100件产品中，有97件合格品，3件次品从这100件产品中任意抽出5件．（此题结果用式子作答即可） (1)抽出的5件中恰好有2件是次品的抽法有多少种； (2)抽出的5件中至少有2件是次品的抽法有多少种； (3)抽出的5件中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 24．现有男选手名，女选手名，其中男女队长各名.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示） （1）男选手名，女选手名； （2）至少有名男选手； （3）既要有队长，又要有男选手. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套陕西专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要考查了计数原理、排列与组合、二项式定理等常见考点。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．展开式的第7项的二项式的系数是（    ） A．56 B．70 C．28 D．8 【答案】C 【分析】由二项式定理展开公式直接求得结果 【详解】展开式的第7项的二项式的系数是， 故选：C 2．用0，1，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】分类讨论个位数是和不是的情况即可得解. 【详解】若个位数是，则有个； 若个位数不是，则有个， 则共有个， 故选：B． 3．欧拉长方体，又称整数长方体或欧拉砖，指棱长和面对角线长都是整数的长方体．记E（a，b，c；d，e，f）为欧拉长方体，其中a，b，c为长方体的棱长，d，e，f为面对角线长．最小的欧拉长方体是．从，，，，，中任取两个欧拉砖，则恰有一个最短棱长小于100的欧拉砖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察出最短棱长小于100的欧拉砖的个数有2个，利用组合知识得到概率. 【详解】最短棱长小于100的欧拉砖的个数有2个， 故任取两个欧拉砖，则恰有一个最短棱长小于100的欧拉砖的概率为. 故选：D 4．若二项式的展开式中的各项系数之和为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】赋值法解决即可. 【详解】令，得二项式的展开式中的各项系数之和为， 所以，解得， 故选：D 5．的展开式中，的系数为（    ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【分析】根据二项式定理求解系数即可. 【详解】因为二项式为， 所以的展开式中含的项为:， 而中含的项为. 所以的系数为. 故选:C. 6．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合    A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】分别考虑两组颜色相同和不相同两种情况，再由排列数计算即可. 【详解】已知编号1至5号的无人机颜色必须相同， 编号号的无人机颜色必须相同， 两组颜色相同时，从种颜色中，选出种颜色， 分别为号的颜色和1至5号与号的颜色，有种， 两组颜色不相同时，有种，共有种. 故选：B. 7．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】， 令，得， 故. 故选：B. 8．一个不透明的口袋中有若干个红球和黑球，从中摸出一个，每个球被摸出的可能性是相同的．现从中摸出两个球，均是红球的概率为，已知袋中红球有3个，则袋中共有球的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式和摸出红球的概率，列出方程求解即可求出所求． 【详解】设袋中共有的球数为，根据概率的公式列出方程：， 即 解得：． 故选：C． 9．设，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二项式系数和令和即可求解. 【详解】因为， 令，则， 令，则 所以. 故选：D. 10．在如图所示的表格中填写，，三个数字，要求每一行、每一列均有这个数字，则不同的填法种数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从第一行开始依次确定每行的填法数，由分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】先填第一行，有种填法；再填第二行，有种填法；最后填第三行，只有种填法； 不同的填法种数为种. 故选：C. 11．被除所得的余数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由利用二项式定理展开即可得出的二项展开式，进而得出结果. 【详解】因为 ， 所以， 所以被除所得的余数是. 故选：C 12．从n个正整数1，2…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【解析】利用古典概型概率计算公式列方程，解方程求得的值. 【详解】两数之和为有两种情况，故，故，解得. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题. 13．凸八边形的对角线有（   ）条 A．20 B．28 C．48 D．56 【答案】A 【分析】确定过每一个顶点的对角线条数后求解 【详解】凸八边形过每一个顶点有5条对角线，故共有条 故选：A 14．学校食堂有2种荤菜、3种素菜、4种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则不同的搭配方案有（    ）种 A．12 B．24 C．9 D．21 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】因为要配成一荤一素一汤的套餐， 所以第一步，先选择荤菜，方法数为2种， 第二步，选择素菜，方法数为3种， 第三步，选择汤，方法数为4种， 所以根据分步乘法计数原理，要配成一荤一素一汤的套餐，不同的方法数为. 故选:B. 15．从1，2，3，5，7这5个数字中，任取两个不同的数字作为直线的系数，则可以得到不同的直线有（    ） A．12条 B．20条 C．24条 D．30条 【答案】B 【分析】先确定系数，共有5种不同的方法；再确定系数，共有4种不同的方法，按分步计数原理可得结果. 【详解】分两步，第一步，确定系数，共有5种不同的方法；第二步，确定系数，共有4种不同的方法，所以可以得到不同的直线有：（条）. 故选：B 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 . 【答案】70 【分析】根据二项式性质求出的值，再利用二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】因为的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，所以，解得， 则的通项公式为， 当时，，所以常数项为， 故答案为：. 17．若，则 ． 【答案】3或5 【分析】由组合数公式计算即可 【详解】因为，所以或，解得或． 故答案为：或. 18．在二项式的展开式中，常数项是 ． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式列出通项，再使的指数等于0，即可解答. 【详解】已知二项式， 则，令， 得， 所以常数项是， 故答案为：. 19．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ． 【答案】 【分析】根据分步乘法计数原理和捆绑法再由排列数计算即可. 【详解】可分两步完成： 先将每家“绑在一起”，看成3个元素，共有种排法； 然后每家3口人，再各自进行全排列，则有种排法； ∴根据分步乘法计数原理，共有种方法. 故答案为：. 20．由可组成 个没有重复数字的三位数 【答案】 【分析】根据排列组合数的定义即可求解. 【详解】由题意可得， 由可组成的没有重复的三位数有 种. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？ 【答案】156 【分析】分两种情况（1）当个位数字为0时，（2）当个位数字不为0时，然后求和即可. 【详解】若个位是，共有：个； 若个位不是，共有：个， 由分类加法计数原理可得， 共有：个． 22．数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色．”，现有五种颜色供选择，涂色我国西部五省，要求每省涂一色，相邻各省不同色，有多少种涂色方法． 【答案】420种方法 【分析】先涂新疆,再涂青海,再涂西藏，然后涂四川：分与新疆颜色相同和与新疆颜色不相同两类，则甘肃从剩下的和与西藏的颜色中选，最后利用分步、分类计数原理求解. 【详解】对于新疆有5种涂色的方法， 对于青海有4种涂色方法， 对于西藏有3种涂色方法， 对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法； 若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法； 根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法． 23．在100件产品中，有97件合格品，3件次品从这100件产品中任意抽出5件．（此题结果用式子作答即可） (1)抽出的5件中恰好有2件是次品的抽法有多少种； (2)抽出的5件中至少有2件是次品的抽法有多少种； (3)抽出的5件中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【分析】（1）根据题意，抽出5件中恰好2件次品，即2件次品，3件合格品，分别求出次品和合格品的取法，由分步计数原理计算可得答案； （2）根据题意，分2种情况讨论，①抽出5件中2件次品， 3件合格品，②抽出5件中3件次品，2件合格品，由分类计数原理计算可得答案； （3）根据题意，分3种情况讨论，①抽出5件中2件次品， 3件合格品，②抽出5件中1件次品，4件合格品，③抽出5件都是合格品，由分类计数原理计算可得答案. 【详解】（1）根据题意，抽出5件中恰好2件次品，即2件次品，3件合格品， 次品取法有种，合格品的取法有种， 由分步计数原理可得，共有种抽法． （2）根据题意，分2种情况讨论， 抽出5件中2件次品， 3件合格品，取法有种； 抽出5件中3件次品，2件合格品，取法有种； 由分类计数原理可得，共有种抽法． （3）根据题意，分3种情况讨论， 抽出5件中2件次品， 3件合格品，取法有种； 抽出5件中1件次品，4件合格品，取法有种； 抽出5件都是合格品，取法有种， 由分类计数原理计算可得，共有种抽法． 24．现有男选手名，女选手名，其中男女队长各名.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示） （1）男选手名，女选手名； （2）至少有名男选手； （3）既要有队长，又要有男选手. 【答案】（1）30；（2）65；（3）51. 【分析】（1）先选两名男选手，再选两名女选手，乘法原理得到答案. （2）用总的选择方法减去全是女选手的方法得到答案. （3）分为有男队长和没有男队长两种情况，相加得到答案. 【详解】(1)第一步：选名男运动员，有种选法. 第二步：选名女运动员，有种选法. 共有 (种)选法. (2)至少有名男选手”的反面为“全是女选手”. 从人中任选人，有种选法，其中全是女选手的选法有种. 所以“至少有名男选手”的选法有 (种). (3)当有男队长时，其他人选法任意，共有种选法. 不选男队长时，必选女队长，共有种选法，其中不含男选手的选法有种， 所以不选男队长时，共有种选法.故既要有队长，又要有男选手的选法有 (种) . 【点睛】本题考查了排列组合问题的计算，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $