北京市十一学校2025～2026学年上学期10月月考九年级数学试卷

北京市十一学校2026届初三年级10月数学学习诊断 试卷满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，点A、B、C为上三点，，，弧的长是（　　） A. B. C. D. 7. 壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区，已知种植区的深度为，圆形框架的半径为，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，点满足，作射线，使得，作于点，则长的最大值是（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而减小：________． 10. 如果一元二次方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____． 11. 反比例函数的图象如图所示，点是该函数图象上一点，垂直于轴，垂足是点，如果，则的值为______． 12. 若点和在反比例函数图象上，则________（填“>”“<”或“=”）． 13. 如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为_____． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 15. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … 0 1 2 … … 1 1 6 … 则当时，的取值范围是________． 16. 某社区服务点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示： 志愿者 可参与服务时间段1 可参与服务时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻社区服务点同时最多需要2名志愿者服务，则该服务点这一天所有参与服务的志愿者的累计值守时间最短为________小时，最长为________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段全部值完） 三、解答题（共68分，17题6分，18题4分，19题5分，20~23题每题5分，24、25题每题6分，26~28题每题7分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，C是弦上一点． （1）根据提示完成尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点D，垂足为E； ②以点D为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点F(F，A两点不重合)，连接． （2）引理的结论为：． 证明：连接，，，． ∴为的垂直平分线， ∴， ∴． 又∵四边形为圆的内接四边形 ∴______．（ ）． 又∵， ∴． 又∵， ∴__________， ∴，（ ）． ∴， ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根都是正整数，求m的最小值. 21. 如图，在等边中，在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）若，，直接写出的周长：________． 22. 在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽． 23. 在坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，直接写出的取值范围． 24. 如图，是的直径，弦垂足为，半径上有两点和，，射线，射线分别交于点、，连接交于点，过点作的平行线． （1）证明：直线是的切线； （2）当时，若，，求的长． 25. 小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是________； （2）下表是与的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 1 … 表中的________； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数图象的性质________； （4）结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则的取值范围是________． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：过原点． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）将抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点． ①若，，则抛物线的解析式为________；的面积为________； ②已知在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置的使得的面积相同，求的取值范围． 27. 在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下规定：如果将点沿直线翻折后得到点，再将点沿直线翻折后得到点，点就是点关于点的“相关点”． （1）点关于点的“相关点”为________；关于点的“相关点”为________． （2）如果点，点满足， ①在点，，中，是点关于点的“相关点”的是________； ②点关于点的“相关点”与点的距离最小值为________． （3）如图，的半径和等边的边长均为1（与轴平行），点，点和点都在上，如果在的边上存在点关于点的“相关点”，直接写出的取值范围：________． 北京市十一学校2026届初三年级10月数学学习诊断 试卷满分：100分 时间：120分钟 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（共16分，每小题2分） 【9题答案】 【答案】（答案不唯一） 【10题答案】 【答案】a＜1 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. 5 ②. 14 三、解答题（共68分，17题6分，18题4分，19题5分，20~23题每题5分，24、25题每题6分，26~28题每题7分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】1 【19题答案】 【答案】（1） ①根据基本作图的基本步骤画图如下： 则即为所求． ②根据题意，画图如下： ． 则即为所求． （2），圆的内接四边形，对角互补；，同圆或等圆中，等弧所对圆周角相等； 【20题答案】 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）． 【21题答案】 【答案】（1） 补全图形如图： （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． ∵在和中， ， ∴， ∴． （3） 【22题答案】 【答案】金色纸边的宽为1分米． 【23题答案】 【答案】（1） （2）且 【24题答案】 【答案】（1） 证明：连接，设与交于点K， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∴ ∵是的半径， ∴直线l是的切线； （2） 【25题答案】 【答案】（1） （2）4 （3） 如图所示： 函数图象关于直线对称（答案不唯一，正确即可）； （4）或 【26题答案】 【答案】（1） （2）①；3；② 【27题答案】 【答案】（1） 证明：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 解：的大小为．证明如下： 如图，延长至点G，使得，连接、，． ∵是中点， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴， ∵，， ∴在四边形中，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 【28题答案】 【答案】（1）； （2）①，② （3）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $