第八讲 三垂直全等模型 课件 2026年中考数学一轮复习

该初中数学中考复习课件聚焦几何综合题核心考点，紧密对接中考说明，系统梳理三垂直全等模型及一线三等角变式等高频考点，分析其在中考中的权重占比，归纳全等证明、线段数量关系证明等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“模型解析+真题示例+一题多解”的复习模式，通过典型题例如等腰直角三角形中构造全等证明BH=√2AE，培养学生推理能力与几何直观，指导学生掌握辅助线添加等应试技巧。助力学生高效突破中考几何难点，为教师提供系统复习框架，提升复习教学效率。

第八讲 三垂直全等模型 初中几何综合复习 模型 三垂直全等模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论:Rt△BCD≌Rt△CAE。 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。 ② ① ③ ④ 模型变式:一线三等角模型 [条件]∠EDF=∠B=∠C，且DE =DF [结论]△BDE =△CFD 1、如图，在正方形ABCD 中，E是边AB上的一动点(不与点A、B 重合)，连接 DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG 的延长线于点H，连接 BH. (1)求证:GF=GC; (2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明. （1）证明： ∵点A关于直线DE的对称点为F ∴AD=DF=DC DF⊥EG DG=DG ∴△DGF≌△DGC ∴GF=GC （2）证明： ∵∠1=∠2 ∠3=∠4 ∴∠EDH=∠2+∠3=45º ∵EH⊥DE ∴EH=DE 在AD是截取AM=AE 连接ME AD=AB ∴MD=BE ∠ADE+∠AED=90º ∠BEH+∠AED=90º ∴∠AED=∠AED △MDE≌△BEH ∴BH=ME 在等腰RT△AME中 ME=√2AE ∴BH=√2AE 2、在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M. (1)若∠PAC=α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示). (2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明. （1）解： 等腰直角△ABC ∴∠BAC=45º ∵∠PAC=α ∴∠PAB=45º-α ∵∠AHM=90º ∴∠AMQ=90º-(45º-α)=45º+α （2）PQ=√2BM 证明： ∵∠ACB=90° CQ=CP AC=AC ∴△ACQ≌△ACP ∴∠QAC=PAC=α ∴QAM=45º+α 由（1）AMQ=45º+α ∴AQ=MQ 过M做MH⊥BC △BMH是等腰直角△ ∠BMH=45º ∴∠QMH=180º-(45º+α) -45º=90º-α ∵∠AQC=90º-α ∠ACQ=∠QHM=90º ∴△ACQ≌△QHM ∴HM=CQ=CP △BMH是等腰直角△ MB=√2HM ∴MB=√2CP ∴PQ=√2BM 3、已知AB=BC，∠ABC=90°，直线l是过点B的一条动直线(不与直线AB，BC重合)，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E. (1)如图1，当45°<∠ABD<90°时， ①求证:CE+DE=AD; ②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF//BC交DH的延长线于点F.依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明; (2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长. （1）① 证明： ∵AD⊥BE CE⊥BE ∠ABC=90º ∴∠A+∠ABD=90º ∠EBC+∠ABD=90º ∴∠A=∠EBC AB=BC ∴△ABD≌△BCE ∴AD=BE BD=CE ∵BE=BD+DE ∴BE=CE+DE ∴AD=CE+BD CE+BD=AD （1）② 证明： ∵AF∥BC ∴∠BAF=90º ∴∠BAD+∠DAF=90º ∵∠ADB=90º ∴∠BAD+∠ABD=90º ∴∠ABD=∠DAF ∵∠ADE=90º ∴∠DAE+∠AED=90º ∵∠AHD=90º ∴∠DAE+∠ADH=90º ∴∠AED=∠ADH 由①AD=BE ∴△ABE≌△FAD ∴AE=FD 过F做FH⊥BE交BE于H ∠DAE=∠FDH ∴△ADE≌△DHF ∴AD=DH=BE DE=HF ∵DF2 =DH2 +HF2 ∴DF2 =BE2 +DE2 （2）证明： △ABD≌△BCE ∴AD=BE BD=CE 设AD=BE=x BD=CE=y 在RT△ADB中 x2 +y2 =AB2 ∵(x-y)2 ≧0 ∴x2 +y2 ≧2xy ∴½(x2 +y2)≧xy ∴½(x2 +y2)+½(x2 +y2) ≧½(x2 +y2)+½(2xy) =½(x2 +y2) ∵x+y≦3 ∴AB2 ≦9/2 4、如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，AE，BF交于点G. (1)求∠AGF的度数; (2)在线段AG上截取MG=BG，连接DM，∠AGF的角平分线交DM于点N ①依题意补全图形; ② 用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明. （1）解： ∵AB=BC BE=CF ∠ABE=∠BCF=90º ∴△ABE≌△BCF ∴∠BAE=∠CBF ∵∠CBF+∠ABG=90º ∴∠BAE+∠ABG=90º ∴∠AGB=90º ∴∠AGF=90º （2）证明： 过点A做AH⊥AE， 交GN的延长线于H， 连接DH。 由（1）∠AGF=90º ∠AGN=FGN ∴∠AGN=45º ∴∠AHN=45º ∴AG=AH ∵∠BAD=∠EAH=90º ∴∠HAD=∠BAE AB=AD ∴△ADH≌△ABG ∴DH=BG=MG ∠AHD=∠AGB=90º ∴∠NHD=45º=∠NGM ∠HND=∠GNM ∴△HND≌△GNM ∴MN=ND 5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接CE交AD于点F.将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接 AG. (1)如图1，当CE是∠ACB的角平分线时， ①求证:AE=AF: ②直接写出∠CAG=________º. (2)依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明. （1）① 证明： ∵CE是∠ACB的角平分线 ∴∠ACE=∠BCE ∵∠CAB=90º ∴∠ACE+∠AEC=90º ∵∠ADC=90º ∴∠BCE+∠CFD=90º ∴∠AEC=∠CFD ∵∠AFE=∠CFD ∴∠AFE=∠AEC ∴AE=AF （1）② 证明： 过C点做CM⊥AC 交AD的延长线于M ∵∠BAC=90°， AB=AC， AD是BC边上的高 ∴∠CAD=45º ∴∠CMA=45º ∴AC=MC ∵∠GCF=∠ACM=90º ∴ACG=∠MCF CG=CF ∴△ACG≌△MCF ∴∠CAG=∠CMF=45º （2）证明： ∵△ACG≌△MCF ∴AG=MF ∵等腰直角三角形ACM ∴AM=√2AC AM=AF+MF=AF+AG ∴AF+AG=√2AC 6、在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D为射线CB上一动点(不与B，C重合)，连接AD，点E为AB延长线上一点，且DE=AD，作点E关于射线CB的对称点F，连接 BF，DF. (1)如图1，当点D在线段CB上时， ①依题意补全图形，求证:∠DAB=∠DFB; ②用等式表示线段BD，BF，BC之间的数量关系，并证明: (2)如图2，当点D在线段CB的延长线上时，请直接用等式表示线段BD，BF， BC之间的数量关系. （1）① 证明： ∵DE=AD ∴∠DAB=∠DEB ∵E、F关于CB对称 ∴∠DEB=∠DFB ∴∠DAB=∠DFB （1）② 证明： 连接EF，延长CB到G 则EF⊥BG ∠CAD=45º-∠DAB ∠GBF=∠GBE=∠ABC=45º ∴∠GDF=45º-∠DFB ∵∠DAB=∠DFB ∴∠CAD=∠GDF ∠ACD=∠DGF=90º AD=DE=DF ∴△ACD≌△DGF ∴AC=DG CD=GF ∵∠GBE=GBF=45º ∴GF=GB=CD ∴GB=√2/2BF BC=CD+BD=GB+BD ∴BC=√2/2BF+BD （1）② 证明： 连接EF，延长CB到H 则EF⊥BH ∴∠ACD=∠DHF=90º ∠DBF=∠DBE=∠ABC=45º ∴∠HDF=45º+∠DFB ∠CAD=45º+∠DAB ∵∠DAB=∠DFB ∴∠CAD=∠HDF AD=DF ∴△CAD≌△HDF ∴AC=DH=BC ∵E、F对称 ∴CH是EF垂直平分线 BF=BE ∠DBF=∠DBE=45º ∴∠EBF=90º ∴BF=√2BH BH=BD+DH=BD+BC ∴BF=√2(BD+BC) 一题多解 7、已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP. (1)如图1，点A,B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系: (2)将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上. ①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP: ②连接BD，交AE于点F.判断线段BF与DF的数量关系，并证明. （2）① 证明： △ADE和△ABC都是等腰直角三角形 ∴∠EAD=45º ∴∠BAE+∠DAC=45º ∵C，D，P在同一条直线上 ∴∠ADP=45º ∠ADP=∠ACP+∠DAC ∴∠BAE=∠ACP （2）② BF=DF 证明： 过B点做BG⊥AE, ∵C、D、P三点一线 AD=AE ∴CD⊥AE 由（1)∠BAE=∠ACP AB=AC ∴△ABD≌△ACP ∴AP=BG AP=DP ∴DP=BG ∠PFD=∠GFB ∠FPD=∠FGB=90º ∴△PFD≌△GFB ∴BF=DF 一题多解 8、在正方形 ABCD 中,将边AD绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)得到线段AE,AE延长线与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接 BE,交AD于H。 (1)如图1,求证:∠BGC=2∠AEB: (2)当45°<α<90°时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明。 （1）证明： ∵BG∥AF ∴∠AFD=∠BGC 在RT△ADF中 ∠AFD=∠BGC=90º-α 在等腰△ABE中 AB=AE ∠BAD=90º ∴∠AEB=(90º-α)÷2 ∴∠BGC=2∠AEB （2）证明： 在DC上截取DM=AH 连接AM AB=AD AH=DM ∠BAH=∠ADM=90º ∴△ABH≌△DAM ∴∠ABH=∠DAM ∵∠DAM+∠BAM=90º ∴∠ABH+∠BAM=90º ∴AN⊥BE ∵AB=AD=AE ∴∠1=∠2 ∵AB∥CD ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴AF=MF AB∥CD BG∥AF ∴ABGF是平行四边形 ∴GF=AB=AE EF=AF-AE GM=MF-GF ∴EF=GM=DG+DM ∵AH=DM ∴EF=DG+AH 9、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC.点D是BC延长线上一点，连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE.过点E作EF∥BD，交AB于点F. (1)①直接写出∠AFE的度数是 ; ②求证:∠DAC=∠E; (2)用等式表示线段AF与DC的数量关系，并证明. （1）① 证明： ∵EF∥BD ∴∠EFB=∠ABC=45º ∴∠AFE=135º （1）② 证明： ∵等腰直角△ABC ∴∠BAC=45º ∵∠DAE=90º ∴∠DAC+∠BAE=45º ∵∠AFE=135º ∴∠E+∠BAE=45º ∴∠DAC=∠E （2）证明： 在CA上截取CG=CD 连接DG ∵∠ACD=90º ∴∠DGC=45º ∴DG=√2DC ∴∠DGA=135º ∵∠AFE=135º ∴∠DGA=∠AFE 由（1）∠DAC=∠E AD=AE ∴△ADG≌△EAF ∴DG=AF ∵DG=√2DC ∴AF=√2DC 一题多解 10、△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为边AB 的中点，点E在线段CD上，连接 AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF,连接 CF. (1)如图1，当点E与点D重合时，求证:CF=AE; (2)当点E在线段CD上(与点C，D不重合)时，依题意补全图2;用等式表示线段CF，ED，AD之间的数量关系，并证明. （1）证明： ∵等腰直角△ABC ∴∠CAB=45º ∵∠DAF=90º ∴∠FAC=∠DAC=45º AF=AD AC=AC ∴△AFC≌△ADC ∴CF=CD ∵AE=AD=CD ∴CF=AE （2）证明： ∵过F点做FG⊥AB ∴∠AFG+∠FAG=90º ∵∠EAF=90º ∴∠EAD+∠FAG=90º ∴∠AFG=∠EAD AF=AE ∠FGA=∠ADE=90º ∴△FGA≌△ADE AG=ED FG=AD=CD ∵FG⊥AB CD⊥AB ∴CDGF是矩形 ∴CF=DG ∵DG=AD+AG ∴CF=AD+ED 一题多解 谢 谢 $