第十五章 轴对称 本章综合提升+综合与实践 最短路径问题-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

(2)由(1)知△BAD≌△CAE. .∠ACE=∠ABD=60° ∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°， 4.解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直 角三角形.理由： ,AB=AC=BC=6cm,点P运动的速度为1cm/s,点Q运 动的速度为2cm/s, .当点Q到达点C时，BP=3cm. ∴.此时点P为AB的中点..PQ⊥AB. (2)能.假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等 边三角形，∴.BP=PQ=BQ.∴.6一t=2t,解得t=2. ∴△BPQ能成为等边三角形，此时t的值为2. 阶段检测三（15.3) 1.A2.D3.A4.B5.10 6.157.105 8.30°或80°或52.5°或0° 9.解：AB=AC,∴.∠B=∠C.∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=合180-∠BAC)=30 又AE⊥AB,.∠BAE=90° .∠EAC=∠BAC-∠BAE=120°-90°=30°. ∴.∠C=∠EAC.∴.EC=AE=3cm. 在Rt△ABE中，∠B=30°， ∴.BE=2AE=6cm. '.BC=BE+EC=6+3=9(cm). 10.证明：(1).AB=AC,∠BAC=36°， ∴.∠ABC=∠ACB=72°. 又，BD是∠ABC的平分线， ∴.∠ABD=36°， ∴.∠BAD=∠ABD,.AD=BD 又，E是AB的中点，，DE⊥AB,即EF⊥AB. (2).FE⊥AB,AE=BE,.FE垂直平分AB, .AF=BF,,.∠BAF=∠ABF 又∠ABD=∠BAD,.∠FAD=∠FBD=36 又∠ACB=72°， .∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°， .∠CAF=∠AFC=36°， .AC=CF,即△ACF为等腰三角形， 11.证明：(1).△ABC和△CDE都是等边三角形， .BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°. '.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中， (BC=AC, ∠BCE=∠ACD, CE=CD, .△BCE≌△ACD(SAS). (2)由(1)知△BCE≌△ACD,则∠CBF=∠CAH.又，'△ABC 和△CDE都是等边三角形，且点B,C,D在同一条直线上， .∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF. 在△BCF和△ACH中， ∠CBF=∠CAH, 3BC=AC, ∠BCF=∠ACH, .△BCF≌△ACH(ASA).∴.CF=CH. 又，∠FCH=60°， △CHF为等边三角形 .∠FHC=∠HCD=60°..FH∥BD 12.解：(1)△BPQ是等边三角形，理由如下： 如图所示，根据题意，得AP=tcm,BQ=2tcm, 当t=2时，AP=2cm,BQ=4cm. :△ABC是边长为6cm的等边三 角形， .AB=6cm,∠B=60°， ∴.BP=4cm, ..BP=BQ, ∴.△BPQ是等边三角形. (2)在△PBQ中，BP=(6一t)cm,BQ=tcm, 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90° ①当∠BQP=90°时，∠B=60°， .∠BPQ=30°， ∴BQ=号BP,即4=2(6-0 1 解得t=2; ②当∠BPQ=90时，同理得BP=BQ, 1 即6-t=2,解得t=4. 综上所述，当t=2或t=4时，△PBQ是直角三角形. 特色素养专题（一）传统文化专题 1.A2.C3.D4.C 5.A或C 6.由 7.24 数学活动 1.B2.D3.A4.C e 6.45° 7.A8.D 本章综合提升 【本章知识归纳】 线段两个端点线段两个端点(x,一y)(一x,y) 等边对等角等角对等边 【思想方法归纳】 【例】解：当底边长为5时，腰长为6，此时能构成三角形，它的周 长为5+6+6=17； 当底边长为6时，腰长为5，此时能构成三角形，它的周长为 6+5+5=16. 因此等腰三角形的周长为17或16. 【变式训练1】50或65或80 【变式训练2】解：当底角为70时，顶角为180°-70°-70°=40°； 7 当顶角为70时，底角为180°70° =55°. 因此等腰三角形的顶角的度数为40°或70° 【通模拟】 1.B2.D3.A4.A5.B6.6 7.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求 (2)4 8.证明：，EG垂直平分BD, ..BE=DE, .∠BEG=∠DEG: .∠ACB=90°， .EG∥AC, ∴.∠BEG=∠BAC,∠DEG=∠AFE, ∴.∠EAF=∠AFE ..AE=EF, .点E在AF的垂直平分线上 9.解：(1)证明：AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD .EG∥AD, ∴.∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG, .∠G=∠AFG,.AF=AG, ∴.△AFG是等腰三角形. (2).CE=EF,.∠CFE=∠C. .∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD .∠C=∠CAD. :∠BAC=80°，AD平分∠BAC, .∠C=∠CAD=40°， .∠B=180°-∠BAC-∠C=60° 【通中考】 10.C11.B12.A13.214.3 15.解：.ABCD, ∴.∠MFD=∠1=122° .GE=GF,.∠GFE=∠GEF=180°-∠MFD=18 122°=58°， ./2=180°-58°-58°=64°. 综合与实践最短路径问题 1.C 2.A 3.解：沿AC-CD一DB路线走是最短的路线，如图所示 O小R 河 证明：作点A关于ON的对称点E,作点B关于OM的 点F,在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接 FR,BR,RT,ET,AT. A,E关于ON对称， ∴.AC=EC, 同理BD=FD,FR=BR,AT=ET, ..AC+CD+DB=EC+CD +FD=EF,AT+TR+BR= ET+TR +FR. .ET+TR+FR>EF, ..AC+CD+DB<AT+TR+BR, 即沿AC一CD一DB路线走是最短的路线， 4.解：如图所示，过点B作BC垂直于 国道，且使BC等于国道宽a,连接 AC交国道边缘于点M,作MN∥ BC,MN即为所求的立交桥的位置. 理论依据：两点之间，线段最短. 5.解：如图所示. B 将点A向下平移至点F,使AF的长等于河宽，将点B向右 平移至点G,使BG的长等于河宽；连接GF,与河岸相交于点 E',D':过点D'作DD'⊥CD于点D,过点E作E'E⊥CE于 点E,连接AD,BE,则DD',EE即为两桥的位置. 第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 1.B2.B3.(1)a3m+4(2)(a十b)m+4.A 5.解：a3=m,a5=n,∴.2a8十a1=2a3+5+a3+3+5=2Xa3. a5+a3·a3·a5=2m·n十m·m·n=2mn十m2n. 6.07.D8.C9.A 10.解：(1)a￥b=2×2, ∴.2*3=22×23=4X8=32. (2)2*(x+1)=16,22X2x+1=2 则2+x+1=4,解得x=1. 11.解：(1)4 (2)证明：设L(3,5)=x,L(3,8)=y, 由规定，得3=5,3=8， .40=5×8=3×3'=3x+y, ∴.L(3,40)=x+y,∴.L(3,40)=L(3,5)+L(3,8). (3),L(a,m)=x-2,L(a,n)=3x-6,L(a,mn)= 2x+2, .a2-2=m,ax-6=n,a2a+2=mn, mn=a2x+2=a-2·a3z-6=a4虹-8， ∴.2x十2=4x-8,解得x=5. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 1.C2.B3.(1)-86(2)-am(3)m12(4)a5-2m 4.D 5.<解析：234=(23)°=8,324=(32)=9， 且8<9，a为正整数，.23a<34. 6.x87.D8.5x2 对称9.解：(1)原式=(-3)a3(b2)3c3=-27ab°c3. 18本章综合提升（答案P17) 111111/ 本章知识归纳· /11/11/ 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴 图形的 线段的垂 线段垂直平分线上的点与这条 的距离相等 轴对称 直平分线 与 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连 线段的垂直平分线 画法：找点、画轴、连线 画轴对称 的图形 一点（x,y)关于轴对称的点坐标为 用坐标表示轴对称 点(x,y)关于)轴对称的点坐标为 轴对称 一定义：有两条边相等的三角形，叫作等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等（简写成“ ”) 等腰三角形 性质 等腰三角形底边上的中线、高及角平分线重合（简写成“三线合一”） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“ ”) 性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60° 等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 最短路径问题 转化为轴对称问题 思想方法归纳 I1I11111/111/11110 【变式训练1】如图所示，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=130°，△AED和△ABD关于直线 分类讨论思想 AD对称，∠EAC的平分线交BC于点F,连接 Q链接本章 EF,当△DEF为等腰三角形时，∠EDF的度数 如果等腰三角形的腰与底，或顶角与底 为 角不明确，那么需要分类讨论。 【例】等腰三角形两边的长分别是5和6， 求它的周长 【变式训练2】若等腰三角形的一个角为70°， 求顶角的度数 68 优十学案·课时通 通模拟 1/1111I111/11I/11/1/l1111/I/1/10 AB于点E,交BC于点F,若BF=2,则BC 的长为 1.(黄风冈模拟)点(3，一2)关于x轴的对称点 是() A.(-3,-2) B.(3,2) C.(-3,2) D.(3,-2) 7.（咸阳秦都区一模)如图所示，在平面直角坐标 2.(济宁任城区期末)在△ABC中，AB=AC, 系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2), ∠B=40°，D是BC边上的动点（不与B,C重 B(4,3),C(3,0),将△ABC关于y轴对称得 合)，连接AD,若△ACD为等腰三角形，则 到△A1B1C1 ∠ADB的度数为( ) (1)请在平面直角坐标系中画出△A1B1C1: A.80° B.110° (2)计算△A1B1C1的面积为 C.80°或120° D.80°或110° 3.(泰安泰山区期末)如图所示，△ABC是等边 三角形，D为AC的中点，DE⊥AB,垂足为 E.若AE=3,则△ABC的边长为() 4 A.12 B.10 C.8 D.6 8.(上海青浦区期末)如图所示，在△ABC中， B4 ∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是 第3题图 第4题图 AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上， 4.(重庆大足区期末)如图所示，在△ABC中，点 DE交AC于点F,求证：点E在AF的垂直平 O是边AB和AC的垂直平分线OD,OE的交 分线上. 点，若∠BOC=130°，则∠GOF的度数为( A.115° B.130° C.140° D.150° 5.(烟台牟平区期末)如图所示，在△ABC中， G ∠C=40°，将△ABC沿着直线L折叠，点C落 在点D的位置，则∠1一∠2的度数是() A.40° B.80° C.90° D.140° 6.(枣庄市中区期末)如图所示，在△ABC中， AB=AC,∠BAC=120°，AB的垂直平分线交 △八年级·上册·数学.RJ 69 9.(保定高碑店月考)如图所示，在△ABC中，12.（河北中考）如图所示，AD与BC交于点O, AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作 △ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A, EG∥AD,交AC于点F,交BA的延长线于 B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确 点G 的是() (1)求证：△AFG是等腰三角形， (2)若CE=EF,∠BAC=80°，求∠B的度数. A.AD⊥BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDOD.AC/∥BD 13.(重庆中考)如图所示，在△ABC中，AB= AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点 D.若BC=2,则AD的长度为 第13题图 第14题图 14.（镇江中考)如图所示，△ABC的边AB的垂 直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8, CD=5,则BD= 15.(益阳中考)如图所示，AB∥CD,直线MN与 AB,CD分别交于点E,F,CD上有一点G且 GE=GF,∠1=122°，求∠2的度数. 通中考u 10.跨学科·化学（衡阳中考）下面四种化学仪器 的示意图是轴对称图形的是( B 11.(兰州中考)如图所示，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB= () A.100°B.115°C.130° D.145 70 优十学案·课时通△ 综合与实践 最短路径问题（答案P18) 活动一》牧民饮马问题 活动三)造桥选址问题 1.如图所示，点A,B在直线 。B 4.应用意识如图所示，A,B两城市之间有一条 A。 1同侧，在直线1上取一点 国道，国道的宽为a,现要在国道上修建一座垂 P,使得PA+PB最小，对点P的位置叙述正 直于国道的立交桥，使通过A,B两城市的路 确的是() 程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论 A.作线段AB的垂直平分线与直线L的交点， 依据. 即为点P B.过点A作直线l的垂线，垂足即为点P C.作点B关于直线L的对称点B',连接AB', B AB'与直线L的交点，即为点P D.延长BA与直线l的交点，即为点P 活动二》牧民饮马问题的拓展 2.数学文化唐诗《古从军行》中“白日登山望烽 火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学 问题—“将军怎样走才能使总路程最短”？ 如图所示，在平面直角坐标系中，将军从A(4, 5.如图所示，某条护城河在CC'处直角转弯，河 0)出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到 宽相同，从A处到达B处，须经过两座桥（桥 河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m 宽不计，桥与河垂直)，设护城河以及两座桥都 与n的夹角为30°，则将军所走的最短总路程 是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A到B 为() 的路程最短，请确定两座桥的位置， A A.4 B.6 C.8 D.12 R 3.如图所示，在某一地方有条小河和一片草地， 一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一匹 马到草地边某一处牧马，再到小河边饮马，你 能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任 意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马，保 留作图痕迹，需要证明) 0小 草 B 地 △八年级·上册·数学.RJi 71