18.1 分式及其基本性质-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

第十八章分式 /1/11/1/ 大单元建构· /11//1 类比分 类比分 列式 数性质 实 分式 分式基本性质 数运算 分式的运算 题 列方程 去分母 分式方程 整式方程 目标 目标 解方程 解整式方程 实际 检验 分式方程的解 整式方程的解 问题 的解 /11/11/ 本章核心素养· ///1//I 学科核心素养 具体内容 价值 感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用， 结合分数的基本性质抽象出分式的基本性质，结 抽象能力 感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形 合分数的运算法则得出分式的运算法则 成数学想象力，提高学习数学的兴趣 借助分式的基本性质和分式的运算法则进行相应 运算能力有助于形成规范化思考问题的品 运算能力 的计算 质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度 通过列分式方程解决现实情境中有意义的数学问 题，获得数学活动经验，感悟数学的价值，形成批 创新意识有助于形成独立思考、敢于质疑的 创新意识 判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，增强创 科学态度与理性精神 新意识 利用分式方程解决实际问题时，会对一些现象提 模型观念有助于开展跨学科主题学习，感悟 模型观念 出问题、分析问题并解决问题，培养模型观念 数学应用的普遍性 通过与分数类比，提出猜想，获得分式基本性质和 推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑 推理能力 运算法则的过程，发展数学思考和合情推理的 的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理 能力 性精神 应用意识有助于用学过的知识和方法解决简 借助分式方程解决相关的问题，列分式方程解决 应用意识 单的实际问题，养成理论联系实际的习惯，发 实际问题 展实践能力 110 优+学案·课时通 18.1分式及其基本性质 18.1.1 从分数到分式（答案P26) 通基础 /1111/1/lI11H/1/1/1/1I/1/0 通能力 BK1K11111 知识点1分式的概念 7.(济南历下区期末)无论a取何值，下列分式总 1.抽象能力在式子工十1,2,1 有意义的是( 2 3’y’元’3a十1 1 1 Aa3-1 B.a-2 x-1 (x+1)21,中，分式共有( ) Ca21 a-1 D.2a2+1 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 8推理能力观察下面一列分式：二。，一4 2.若李老师骑自行车用了m小时到达距离家n千 8 16 …根据你的发现，它的第8项 米的学校，则李老师的平均速度是千米/时； 若乘公共汽车可少用0.2小时，则公共汽车的平 是 均速度是 千米/时. 9.下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ 知识点2分式有意义、无意义的条件 b-3x242 2b 2a 2m,2x-'56+。,7,3x2-130,, 3.(深圳宝安区期末)若分式，十3有意义，则y满 2b,-6. 足的条件是() A.y=3 B.y=-3C.y≠3D.y≠-3 4.教材P140练习T3变式x取什么值时，下列分 式有意义？ 2x (1)-x+2 (2)23 x2-91 10.（九江柴桑区月考)为了促进旅游业的发展， 某度假村计划修一条1000m的时光隧道，让 甲工程队单独做需要x天完成，让乙工程队 单独做需要y天完成.(0<x<y) 知识点3分式的值为0的条件 求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效 率之差 5若分式3的值为0，则x的值是0 A.2 B.-2 C.3 D.-3 ☆易错点当分式的值为0时，忽视分母不能为0 的条件 a2-9 6.若分式aDd-的值为0，则a的值为 A.3 B.3或-3C.-3D.0 △八年级·上册·数学.RJi 111 18.1.2分式的基本性质 第1课时分式的基本性质（答案P26)》 。通基础恤 之通能力u 知识点分式的基本性质 5.(烟台芝采区期中)下列等式成立的是( ) 1.若x,y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式 A.111 B.x+y=-1 “aba-b x+y 的值保持不变的是() 2+x A. B 2y C.x-y=-1 D.x+1- y一x y+1 y x-y C.2 2y2 6.(秦皇岛山海关区一模)若P=”,则下列各式 3x2 D.(a-y) 17m. 2.轴象能力下列各式从左到右的变形正确的 的值与P的值一定相等的是() 是() A.2 B.n+2 m-2 m+2 C.2n ·2m D 2 m 1 x-2y 2x-y 7.(菏泽牡丹区期末)”，1,1 m'm+n’n 都有意义，下列 22+y x+2y B.0.3a+b_3a+b 等式①”=n 22②@11山1 、mnmT—;3)三 m 2m “a+0.3ba+3b C.-x+2=x-2 ④7=十2中，一定不成立的是( ) x一yx一y A.②④ B.①④ D.a十ba-b a-b a+b C.①②③④ D.② 3.在括号内填入适当的式子，使下列等式成立： 8.(杭州德清期末)小德不小心将墨汁滴到了作 2() x3-xy2x(） xy 2ax'y?i (x-y)2 x-y 业纸上，导致分式，中有部分代数式被型 4.(宜春丰城月考)不改变分式的值，把下列各分 汁污染，小清告诉小德，当x和y都扩大为原 式的分子和分母中各项系数化为整数， 来的2倍时，分式的值也扩大为原来的2倍， (1)0.02-0.2zx 则■的内容可能是( 0.3x-0.03 A.2 B.x 11 2x-3y C.x2 D.4 (2) 21· 9.(九江柴桑区月考)利用分式的基本性质变形 3x-2y 可得1 A 一1=(-x十D,则整式A- 10如果号-名那么- a2-2ab 的结果是 112 i 优+学案·课时通△ 11.(河源二模)已知a>0,b>0,且4a+b 想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度 不变. a十46，求证：a=b. (2)请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一 样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知 a+6c+de十f=x,其中a,b,c,d,e,f e a+cte 均为正数，求证。十b十c十d十e十fx, 【拓展延伸】 (3)小明在做数学作业时遇到了这样一道题： ÷通素养 已知a+b-C_a-b+c=-a+6+c,其中 b 12.【问题背景】 a,b,c均不为0且a+b十c≠0，求 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一 (a+b)(a十c)(6+c)的值.请类比上面解决 瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三 abc 位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探 问题的方法，帮小明解答这个问题， 究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变.（溶液 溶质质量 浓度= 溶剂质量十溶质质量×100%) 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液 后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的 质量（单位：g),并填入实验数据表格 同学 氯化钠（溶质）/g水（溶剂）/g溶液浓度 甲 b 2 乙 c d 丙 【解决问题】 (1)若同学甲记录数据：a=1,b=3, ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度 x= ； ②若同学乙、同学丙想配制的溶液与同学甲 配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质 量d=4.5g,同学丙准备氯化钠的质量e= 2g,请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲、乙、丙的氯化钠溶 液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜 △八年级·上册·数学.RJii 113 第2课时分式的约分与通分（答案P26) 7.下列各选项所求的最简公分母错误 之通基础 iii1111111111111111114 的是() 知识点1约分 1将分式的分，其结果为( 1女与品的最简公分母是6： 4 3a23的最简公分母是3ab0 C. a 2a D.2a 、1 2.化简少的结果为( C. z少与(y-的最简公分母是 x2+xy ab(x-y)(y-x) A.- B.-y D.1与1的最简公分母是m一n x m+n'm-n C.+y D.2y 知识点4通分 ℃ 8.教材P144练习T2变式通分： 3.教材P144练习T1变式约分： (1)-12xy23 (2)a2-4a+4 0z26号：②。8g 3 6y2 a2-4 知识点2最简分式 通能力ww 4.下列四个分式是最简分式的是( 4m-m2m(4-m) 9.(济南月考)化简 …① A.Q+6 B.+2x+1 m2-8m+16(4-m)2 atb x+1 n …② c D.Q26 4-m a-b 其中步骤①②的运算依据分别属于() 5.在分式3a0-0m+n’ 36 a2462 m2-n2 x2+xy A.①是整式乘法；②是通分 2x B.①是分解因式；②是通分 a十b-S中，最简分式有 C.①是分解因式；②是约分 c-a-b 个 D.①是整式乘法；②是约分 知识点3最简公分母 10.下列约分正确的是() 11 1 6.分式2x'2y2’5xy 的最简公分母为( B.+1 x+10 A.2xy2 B.5xy C.x+2x+1 C.10xy2 D.10x2y2 x+1 x+1D,a2+6 atb =a+b 114 优+学案·课时通△ 1.E十a+a+通分后，名 a 16.(济南月考)先化简分式6x。6 x2-2x十1 再讨论：当 分式的分子之和为() 整数x取何值时，能使分式的值是正整数？ A.2a2+7a+11 B.a2+8a+10 C.2a2+4a+4 D.4a2+11a+13 2x2 12.约分：10xy 13.已知6 。=26年e=8af。=1.则 bc abc ab+bc+ac 14.运算能力约分： (1)2a(a-1) 6a2b(1-a) ←通素养Mw 2x2-4x+2 17.运算能方使分式x-1)的值为整数的 整数x的值有多少个？ 请你先阅读解题过程，然后回答有关问题： 因为2如-4红+2_2x2-2x+D_2c-1) (x-1)3 (x-1)3 (x-1)3 (2) -12xy2-4x3y3 又因为分式的值及x的值均为整数 27x°y6-3x3y8 所以2能被x一1整除，所以x一1可取的值 为士2，士1，相应的x的值为3，一1,2,0.故满 足条件的x的值共有4个. (1)本题的解题思路是 (2)请运用这种解题思路，求出使分式 2883的值为整数的整数x的值的 个数. 15.已知1a到十6+4=6，求号的的值 △八年级·上册.数学.RJi 115第十八章分式 18.1分式及其基本性质 18.1.1从分数到分式 1.B2.2 nm-0.23.D 4.解：(1)x为全体实数.(2)x≠±3. 5A 6C 1.D 9解：整式有x,号-1，号6，-6 x242b 分式有：2x-1'5b+c'3a1 10,解：由题意得，甲工程队的工作效率为1000m/天，乙工程队 x 的工作效率为00m/天，“甲工程队的工作效率与乙工程 y 队的工作效率之卷为(120-1902)1 ym/天. 18.1.2分式的基本性质 第1课时分式的基本性质 1.D 2.A 3.4azy x+y 4解：0原式-828×0时-” /11 (2x-3y)×6 (2)原式 3x-2y (号)×6 2 4x-3y 5.C6.C7.D8.B9.x+110.4 11.证明：因为4a+6a+4b' a 等式的两边都乘(4a+b)(a+4b),得a(a+4b)=b(4a十 b), a2+4ab=4ab+b2, a2+4ab-4ab-b2=0, a2-b2=0, (a+b)(a-b)=0, .a>0,b>0, .a+b≠0， ∴.a-b=0, 即a=b. 12.解：(1)①25% “当d=4.5时。十4.54’ c 1 解得c=1.5; 1 21 当e=2时2+了4’ 解得f=6. (2)证明：： a+b=c+a=e+行=x,a,b,c,d,e,f均为 正数， ..a=(a+b)x,c=(c+d)x,e=(e+f)x, 2 ..a+c+e=(a+b)x+(c+d)x+(e+f)x, a十c+e a+b+c+d+e+可 _(a+b)z+(c+d)x+(e+f)x a+6+c+d+e+f =x, a十c+e 即。+b+c+d+e+f-. (3)设a+b-c=a-b+c=二a+6+c=, b .a+b-c=kc,a-b+c=kb,-a+b+c=ka, :.(a+b-c)+(a-6+c)+(-a+6+c)=ka+kb+kc, ..a+b+c=k(a+b+c). :a,b,c均不为0且a十b十c≠0， .k=1, :.a+b-c=kc=c,a-b+c=kb=b,-a+b+c=ka=a, ..a+b=2c,a+c=2b,b+c=2a, :(a+b)(a十c)(b+c) abc _2c·26·20 abc =8. 第2课时分式的约分与通分 1.B2.D 3.解：(1)原式=-2xy2. (a-2)2 a-2 (2)原式=(a+2)(a-2)a+2 4.A5.16.C7.C 8.解：(1)。a a(a-3) 2a+62(a+3)(a-3)9 a-12a-2 a2-92(a+3)(a-3) (2 2a2a(a-3) a2-9(a-3)2(a+3)3 3 3(a+3) a2-6a+9(a-3)2(a+3) 9.c10.CA2号18普 14.解：(1)原式=一3ab 1 (2)原式= -4x3y2(3x+y) 3.x3y3(9x2-y2) -4×x3y2(3x+y) 3y(3.x-y)Xx3y2(3x+y) -4 9xy4-3y5 4 3y5-9xy4 15.解：，|a-4+b2+4=4b, .1a-4+b2-4b+4=0, .1a-4|+(b-2)2=0, 则a-4=0,b-2=0, 解得a=4,b=2. a3-aba(a-b） a ·a2-b2=(a+b)(a-b)-a+b' 当a=4,b=2时，原式= 31 16爆马 ·分式的值是正整数， ∴，当x=2时，原式=6， 当x=3时，原式=3， 当x=4时，原式=2， 当x=7时，原式=1， ∴.当整数x取2,3,4,7时，能使分式的值是正整数. 17.解：(1)先化简，再分类讨论 16-8.x_8(2-x)_4(2-x） 2)2x-8x+820-4z+0--27-2-2因为 4 2一的值为整数，且云为整数，所以2-x的值可以是士1， 士2，士4，相应的x的值是1,3,0,4，一2,6，故使分式的值为 整数的整数x的值的个数是6个. 18.2分式的乘法与除法 第1课时分式的乘除 1.D2.D3.D 4.解：(1)原式=x+名.《x+2)(x-2)-x+2 x-2x(x十2) （2)原式=xx-D.c+1)x-D=x x+1 (x-1)2 5.B 6.解：1)原式=一x(红-y）·y=-xy. x一y (2)原式=x(-2z十0.x-2 (x-2)2 x2-2x+4x-2 7若8B9D10.B 11.A解析：“x十y ,(x+y)(x一y) x x+y x *(x一y》,且运算的结果为整式， .“￥”中的式子可能是2x. 13.1 14解：(1)原式=x(x-1).x-1 x =(x-1)2 =x2-2x+1. (2)原式=a+b. a'b ab (a+b)(a-b) 15解：①A=-·(红-”)=红十y x-y (2)x2-6xy十9y2=0,.(x-3y)2=0,则x-3y=0, 故=3则A--影- 900÷ 600 900 16.解：由题意可得。-4÷a-2=a+2)(a-2)· (a-2)2_3a-6 600=2a+4' ∴.甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时 间的岩十俗。 17.解：A=xy-x2=x(y-x),B=-2xy+y_x-y）2 xy xy C-z-y A÷B=CXD, “x(y-x)÷x-y)2=x XD, xy x-y xy D=x(y-x)·2·2之=一y, 第2课时分式的乘方及混合运算 1.D 3 a 3a 2.解：1)原式-4a+a(a-1)·a二-a十 （2)原式=c+2yx-20·2平2‘2y-7=- 3C4.A5.4a6 9e6.B 7.(1)1 1 xy (2) b-ab2 8.C9.B10.A11.D12.6e 13.解：原式三b·a6 1 8a3b6 abP·4a-b-a+b· (a+b)2(a-b)2 1 2a a2b 4(a-b)2a+6 1 2 当a=-2b=3时， 2x(- 原式= =-6. 12 -2+3 14.解：(1)被手遮住部分的代数式为： 当品() (x-1)27 (x+1)(x-1) x =一x十1 (2)原代数式的值不能等于一1， 理由：+1一1， x-1 x+1=-(x-1), x+1=-x+1, x+x=1-1, 2x=0, x=0, 要使代数式弄·()小产有意义x+ 1≠0且x≠0且x一1≠0， 即x不能为1，-1,0， 所以原代数式的值不能等于一1. 15.解：由题意得，(a十b)2=49,(a-b)2=1,a>0,b>0,a>b, .(a+b)2-(a-b)2=48,a+b=7, .a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=48,