5.3实际问题与一元一次方程讲义 2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

5.3实际问题与一元一次方程 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】配套与调配问题 4 【题型2】工效问题 4 【题型3】消费与盈亏问题 5 【题型4】比赛积分与考试得分问题 6 【题型5】行程问题 6 【题型6】方案选择问题 7 【题型7】与几何图形有关的问题 8 【题型8】与日历表中数字或其他数字有关的问题 9 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 知识图谱 【知识点1】由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 1.（2025春•锡山区期中）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（　　） A． B． C．7x+6=8（x-1） D．7x-6=8x-1 【知识点2】一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=×100%）；（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）； （5）行程问题（路程=速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 1.（2024秋•庐阳区期末）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若AB=14，则图中阴影部分的面积S为：（　　） A．S=104 B．S=120 C．S=224 D．S=344 【题型1】配套与调配问题 【典型例题】汽车队运送一批货物，若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4.5吨，恰好装完，求这个车队有多少辆车？设这个车队有x辆车，可列方程为(　　) A.4x-8=4.5x B.4x+8=4.5x C.4(x-8)=4.5x D.4(x+8)=4.5x 【举一反三1】几个人共同种一批树苗，如果每人种5棵，则剩下3棵树苗未种；如果每人种6棵，则缺4棵树苗.若设参与种树的人数为x人，则下面所列方程中正确的是(　　) A.5x+3=6x-4 B.5x+3=6x+4 C.5x-3=6x-4 D.5x-3=6x+4 【举一反三2】在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处总人数为在乙处总人数的2倍，则应调到甲处            人. 【举一反三3】某工厂安排60名工人加工一批桌子，每张桌子由一张桌面和四条腿组成．每个工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿（每人只加工桌面或桌腿），为了使每天加工的桌面和桌腿恰好配套，每天应该安排 　 　人生产桌面． 【举一反三4】为了庆祝中国足球队首次进入世界杯赛，曙光体育器材厂赠送一批足球给希望中学足球队.若足球队每人领一个则少6个球，每两人领一个则余6个球，问这批足球共多少个？小明领到足球后十分高兴，就仔细地研究起足球上的黑白球(如图)，结果发现，黑块呈五边形，白色呈六边形，黑白相间在球体上，黑块共12块，问白块有多少块？ 【题型2】工效问题 【典型例题】整理一批数据，由一人做需要40小时完成．现在计划先由一些人做2小时，再增加3人做4小时，完成这项工作的，则先安排（    ）人工作． A.4 B.3 C.2 D.6 【举一反三1】一项工程，甲单独完成需要40天，每天需要支付工费160元；乙单独完成需要60天，每天需要支付工费100元．若由甲、乙共同参与，在不超过45天的时间内完成该工程，则需要支付的总工费最少是（　　） A.6000元 B.6100元 C.6240元 D.6400元 【举一反三2】某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个.设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为            . 【举一反三3】甲乙丙三队要完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多四分之一，甲乙丙三队单独完成A工程所需时间分别是20天，24天，30天．为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙，丙两队共同做B工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么丙队与甲队合做了多少天？ 【举一反三4】甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要15天；如果由乙队单独完成，需要30天．现在由甲队单独做了3天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 【题型3】消费与盈亏问题 【典型例题】一件球服进价为300元，商店将进价提升x%后标价，再按标价的七五折销售，仍可获利20%，x的值是（　　） A.60 B.50 C.40 D.30 【举一反三1】某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，如果要使得利润率为5%，那么销售时应该打(　　) A.6折 B.7折 C.8折 D.9折 【举一反三2】某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润，若该商品标价为28元，则商品的进价为(　　) A.21元 B.19.8元 C.22.4元 D.25.2元 【举一反三3】小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用306元.其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折，上衣的标价为300元，则裤子的标价为________元. 【举一反三4】随着天气越来越炎热，风扇的销量逐渐增加，某商场以240元/件的价格购进A品牌的空气循环扇，销售过程中发现，按原售价销售1件该商品与按原售价打8折销售2件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价． 【题型4】比赛积分与考试得分问题 【典型例题】一张试卷上有25道选择题：对一道题得4分，错一道得-1分，不做得-1分，某同学做完全部25题得70分，那么它做对题数为(　　) A.17 B.18 C.19 D.20 【举一反三1】小刚上学期期末考试语文、数学两门课的平均成绩是87分，数学、英语两门课的平均成绩是93分，他的英语比语文多考了（　　）分． A.7 B.8 C.12 D.16 【举一反三2】某学校8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制(参加比赛的队，每两队之间进行一场比赛)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班级共胜________场比赛. 【举一反三3】学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了5名参赛同学的得分情况. （1）同学F得76分，他答对了几道题？ （2）同学G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【举一反三4】我市中学组篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 【题型5】行程问题 【典型例题】安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米．现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒．则这列动车长为（　　） A.400米 B.300米 C.200米 D.100米 【举一反三1】甲、乙两站相距275千米，一辆慢车以50千米/时的速度从甲站出发开往乙站．若1小时后，一辆快车以75千米/时的速度从乙站开往甲站，则快车开出后与慢车相遇需要的时间是（　　） A.1.8小时 B.1.7小时 C.1.6小时 D.1.5小时 【举一反三2】在风速为20千米/小时的条件下，有一架飞机从A机场顺风飞行到B机场所需用的时间是2.8小时，它逆风飞行同样的航线要用3小时，则无风时这架飞机在这一航线的平均航速是_________千米/小时. 【举一反三3】一艘轮船从A地到B地顺流而行，用了3个小时；从B地返回A地逆流而行，用了4小时；已知水流的速度是5km/h，求： (1)这艘轮船在静水中的平均速度； (2)AB两地之间的距离. 【举一反三4】一辆快车和一辆慢车，同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后快车继续按相同的速度行驶3小时到达乙地．已知慢车每小时行驶45千米，甲、乙两地相距多少千米？ 【题型6】方案选择问题 【典型例题】某同学花了30元钱购买图书馆会员证，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张4元，要想使得办会员证比不办会员证合算，该同学去图书馆阅览应超过(　　) A.8次 B.9次 C.10次 D.11次 【举一反三1】文具店销售某种笔，每支1.8元，小华去购买这种笔，买好后结账时，同去的小寒对他说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在还便宜3.6元”，小华说：“那就多买一个吧.”根据两人的对话可知，小华结账时实际付了(　　) A.54元 B.52.2元 C.48.6元 D.46.9元 【举一反三2】小王一家四口人和两个姑姑及其一家人一起到某景点旅游，此景点收费标准如下：不超过5人按每人50元收门票，若超过5人，超过的每人门票将打六折，结果比单独去每人少花10元钱，那么两个姑姑家一共去的人数是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【举一反三3】某地有甲、乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案：甲超市购物全场8.8折.乙超市购物①不超过200元，不给予优惠；②超过200元而不超过600元，打9折；③超过600元，其中的600元仍打9折，超过600元的部分打8折.假设两家超市相同商品的标价都一样，当标价总额是________元时，甲、乙两家超市实付款一样. 【举一反三4】现有一项工程，甲单独做需要10天能完成，乙单独做需要15天能完成，甲做一天需要的报酬比乙做一天需要的报酬多100元，甲、乙合作完成此项工程需要5400元报酬． （1）问甲、乙合作多少天能完成此项工程？ （2）求甲做一天需要的报酬； （3）为了节省开支，应在甲单独完成、乙单独完成、甲乙合作完成这三种方案中选择哪种方案？请通过计算说明． 【题型7】与几何图形有关的问题 【典型例题】把一块长方体钢坯熔铸成一个底面直径为12dm的圆锥形钢件，这个钢件的高是（　　）dm． A.2 B.6 C.1.5 【举一反三1】如图所示，一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少4cm，宽增加3cm，就可以围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（　　） A.8，7 B.9，6 C.10，5 D.11，4 【举一反三2】如图，将一张正方形纸板的四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体盒子，若折成的长方体盒子的底面边长为30cm，体积为9000cm3，则原正方形纸面的边长为 　     　cm． 【举一反三3】如图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的表面积为 　   　． 【举一反三4】已知一个长方形的周长为60cm. (1)若它的长比宽多6cm，这个长方形的宽是多少cm？ (2)若它的长与宽的比是2：1，这个长方形的长是多少cm？ 【题型8】与日历表中数字或其他数字有关的问题 【典型例题】下表填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律的值是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在2024年1月的日历表中用图形框出10，18，19，24四个数，它们的和为71．若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是（　　） A.35 B.63 C.99 D.119 【举一反三2】小华在某月的日历上圈出相邻的四个数，算出这四个数字的和为36，那么这四个数在日历上位置的形式是(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，是2024年1月的日历表，方框内①、②、③、④中的日期之和为64，则框①中日期的数字为 　     　． 【举一反三4】下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设温度的变化是均匀的. （1）实验进行21min时的温度是多少？ （2）实验进行多长时间的温度是34℃？ 【举一反三5】如图是2024年2月份的月历，其中“n型”和“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“n型”和“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“n型”覆盖的五个数字左上角的数为a，数字之和为S1，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为b，数字之和为S2． （1）分别用a，b的代数式表示S1和S2； （2）结合月历，若S1﹣S2＝19，则S1+S2的最大值为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3实际问题与一元一次方程 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】配套与调配问题 5 【题型2】工效问题 6 【题型3】消费与盈亏问题 7 【题型4】比赛积分与考试得分问题 9 【题型5】行程问题 10 【题型6】方案选择问题 12 【题型7】与几何图形有关的问题 14 【题型8】与日历表中数字或其他数字有关的问题 16 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 知识图谱 【知识点1】由实际问题抽象出一元一次方程 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 1.（2025春•锡山区期中）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（　　） A． B． C．7x+6=8（x-1） D．7x-6=8x-1 【答案】C 【分析】根据“如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房”，结合客人人数不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：7x+6=8（x-1）． 故选：C． 【知识点2】一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=×100%）；（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）； （5）行程问题（路程=速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 1.（2024秋•庐阳区期末）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若AB=14，则图中阴影部分的面积S为：（　　） A．S=104 B．S=120 C．S=224 D．S=344 【答案】A 【分析】设小长方形的宽为x,则小长方形的长为（14-2x），根据大长方形的周长为60，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再利用图中阴影部分的面积S=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论． 【解答】解：设小长方形的宽为x,则小长方形的长为（14-2x）， 根据题意得：2[（14-2x）+3x+14]=60， 解得：x=2， ∴S=14×-6（14-2x）•x=14×-6×（14-2×2）×2=104． 故选：A． 【题型1】配套与调配问题 【典型例题】汽车队运送一批货物，若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4.5吨，恰好装完，求这个车队有多少辆车？设这个车队有x辆车，可列方程为(　　) A.4x-8=4.5x B.4x+8=4.5x C.4(x-8)=4.5x D.4(x+8)=4.5x 【答案】B 【解析】设这个车队有x辆车，由题意，得4x+8=4.5x. 故选：B. 【举一反三1】几个人共同种一批树苗，如果每人种5棵，则剩下3棵树苗未种；如果每人种6棵，则缺4棵树苗.若设参与种树的人数为x人，则下面所列方程中正确的是(　　) A.5x+3=6x-4 B.5x+3=6x+4 C.5x-3=6x-4 D.5x-3=6x+4 【答案】A 【解析】设有x人参加种树，5x+3=6x-4. 故选：A. 【举一反三2】在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处总人数为在乙处总人数的2倍，则应调到甲处            人. 【答案】17 【解析】设调到甲处x人，则调到乙处(20-x)人，根据已知得：27+x=2×(19+20-x)，解得：x=17. 【举一反三3】某工厂安排60名工人加工一批桌子，每张桌子由一张桌面和四条腿组成．每个工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿（每人只加工桌面或桌腿），为了使每天加工的桌面和桌腿恰好配套，每天应该安排 　 　人生产桌面． 【答案】20 【解析】设每天应该安排x人生产桌面，则安排（60﹣x）人生产桌腿， 根据题意得：4（60﹣x）＝4×2x，解得：x＝20， ∴每天应该安排20人生产桌面． 【举一反三4】为了庆祝中国足球队首次进入世界杯赛，曙光体育器材厂赠送一批足球给希望中学足球队.若足球队每人领一个则少6个球，每两人领一个则余6个球，问这批足球共多少个？小明领到足球后十分高兴，就仔细地研究起足球上的黑白球(如图)，结果发现，黑块呈五边形，白色呈六边形，黑白相间在球体上，黑块共12块，问白块有多少块？ 【答案】解：①设这批足球共有x个，则列方程得：x+6=2(x-6)，解得：x=18. ②设白块有y块，则：3y=5×12，解得：y=20. 答：足球有18个，白块有20块. 【题型2】工效问题 【典型例题】整理一批数据，由一人做需要40小时完成．现在计划先由一些人做2小时，再增加3人做4小时，完成这项工作的，则先安排（    ）人工作． A.4 B.3 C.2 D.6 【答案】B 【解析】设应先安排x人工作， 根据题意得：， 解得：， ∴应先安排3人工作， 故选：B． 【举一反三1】一项工程，甲单独完成需要40天，每天需要支付工费160元；乙单独完成需要60天，每天需要支付工费100元．若由甲、乙共同参与，在不超过45天的时间内完成该工程，则需要支付的总工费最少是（　　） A.6000元 B.6100元 C.6240元 D.6400元 【答案】B 【解析】设乙做45天，余下的甲做x天完成，则：x+×45＝1，解得：x＝10， 合做需要工费：100×45+160×10＝6100（元）. 故选：B． 【举一反三2】某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个.设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为            . 【答案】20x=15(x+4)-10 【解析】设原计划每天生产x个，则实际每天生产(x+4)个，由题意得，20x=15(x+4)-10. 【举一反三3】甲乙丙三队要完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多四分之一，甲乙丙三队单独完成A工程所需时间分别是20天，24天，30天．为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙，丙两队共同做B工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么丙队与甲队合做了多少天？ 【答案】解：设甲乙丙三队完成A、B两项工程用了x天， 根据题意得x+x+x＝1+1+，解得x＝18， 设丙队与甲队合做了y天， 根据题意得x+×18＝1，解得y＝3， 答：丙队与甲队合做了3天． 【举一反三4】甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要15天；如果由乙队单独完成，需要30天．现在由甲队单独做了3天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？ 【答案】解：设甲、乙两队合作完成还需要的天数是x天，根据题意可得：×3+（+）x＝1． 解得：x＝8． 答：甲、乙两队后续需要合作8天才能修完这座桥． 【题型3】消费与盈亏问题 【典型例题】一件球服进价为300元，商店将进价提升x%后标价，再按标价的七五折销售，仍可获利20%，x的值是（　　） A.60 B.50 C.40 D.30 【答案】A 【解析】由题意得：300（1+x%）×0.75﹣300＝300×20%，解得：x＝60. 故选：A． 【举一反三1】某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，如果要使得利润率为5%，那么销售时应该打(　　) A.6折 B.7折 C.8折 D.9折 【答案】B 【解析】设销售时应该打x折，由题意得：1200×0.1x-800=800×5%，解得：x=7. 故选：B. 【举一反三2】某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润，若该商品标价为28元，则商品的进价为(　　) A.21元 B.19.8元 C.22.4元 D.25.2元 【答案】A 【解析】设商品进价为x元，由题意得：90%×28=x+20%x，解得x=21. 故选：A. 【举一反三3】小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用306元.其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折，上衣的标价为300元，则裤子的标价为________元. 【答案】120 【解析】设裤子的标价为x元， 则有300×0.7＋0.8x＝306， 解得x＝120. 故裤子的标价为120元. 【举一反三4】随着天气越来越炎热，风扇的销量逐渐增加，某商场以240元/件的价格购进A品牌的空气循环扇，销售过程中发现，按原售价销售1件该商品与按原售价打8折销售2件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价． 【答案】解：设该商品的原售价为m元/件，根据题意得：m﹣240＝2（0.8m﹣240）， ∴m﹣240＝1.6m﹣480，解得：m＝400． 答：该商品的原售价为400元/件． 【题型4】比赛积分与考试得分问题 【典型例题】一张试卷上有25道选择题：对一道题得4分，错一道得-1分，不做得-1分，某同学做完全部25题得70分，那么它做对题数为(　　) A.17 B.18 C.19 D.20 【答案】C 【解析】设该同学做对了x题，根据题意列方程得：4x-(25-x)×1=70，解得x=19. 故选：C. 【举一反三1】小刚上学期期末考试语文、数学两门课的平均成绩是87分，数学、英语两门课的平均成绩是93分，他的英语比语文多考了（　　）分． A.7 B.8 C.12 D.16 【答案】C 【解析】设他的英语比语文多考了x分，根据题意得，87×2+x＝93×2，解得x＝12. 故选：C． 【举一反三2】某学校8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制(参加比赛的队，每两队之间进行一场比赛)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班级共胜________场比赛. 【答案】4 【解析】8个班级进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余7个班级比赛，则总比赛场数为7， 设赢了x场，则平了(7－x)场， 3x＋(7－x)＝15， 解得x＝4. 则该班级共胜4场比赛. 【举一反三3】学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了5名参赛同学的得分情况. （1）同学F得76分，他答对了几道题？ （2）同学G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】解：由A的得分100÷20=5（分）可知，答对一题得5分； 由B的得分可知94-5×19=-1（分），答错一题得-1分. （3）设同学F答对x道题，依题意，得：6x-20=76，解得：x=16． 答：参赛者F答对了16道题． （4）不可能，理由如下： 依题意，得：6x-20=80，解得：x=， ∵不为整数，∴参赛者G不可能得80分． 【举一反三4】我市中学组篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 【答案】解：设胜了x场，那么负了(22-x)场，根据题意得：2x+1•(22-x)=40x=1822-18=4(场). 那么这个队的胜负场数应分别是18场和4场. 【题型5】行程问题 【典型例题】安庆长江铁路大桥，是安徽省境内连接池州市与安庆市的过江通道，位于长江水道之上，是宁安高速铁路与阜景铁路重要构成部分之一，大桥全长约3000米．现有一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列动车完全在桥上的时间是70秒．则这列动车长为（　　） A.400米 B.300米 C.200米 D.100米 【答案】C 【解析】设这列动车长为x米，根据题意得：＝，解得x＝200， ∴这列动车长为200米. 故选：C． 【举一反三1】甲、乙两站相距275千米，一辆慢车以50千米/时的速度从甲站出发开往乙站．若1小时后，一辆快车以75千米/时的速度从乙站开往甲站，则快车开出后与慢车相遇需要的时间是（　　） A.1.8小时 B.1.7小时 C.1.6小时 D.1.5小时 【答案】A 【解析】设快车开出x小时后与慢车相遇，由题意可得：50（1+x）+75x＝275，解得：x＝1.8. 故选：A． 【举一反三2】在风速为20千米/小时的条件下，有一架飞机从A机场顺风飞行到B机场所需用的时间是2.8小时，它逆风飞行同样的航线要用3小时，则无风时这架飞机在这一航线的平均航速是_________千米/小时. 【答案】580 【解析】设无风时飞机的航速是x千米/时，依题意得：2.8(x+20)=3(x-20)，解得：x=580. 【举一反三3】一艘轮船从A地到B地顺流而行，用了3个小时；从B地返回A地逆流而行，用了4小时；已知水流的速度是5km/h，求： (1)这艘轮船在静水中的平均速度； (2)AB两地之间的距离. 【答案】解：(1)设这艘轮船在静水中的平均速度是xkm/h，则顺水速度是(x+5)km/h，逆水速度是(x-5)km/h，根据题意得：3(x+5)=4(x-5)，解得：x=35. 答：这艘轮船在静水中的平均速度是35km/h. (2)3(x+5)=120. 答：AB两地之间的距离是120千米. 【举一反三4】一辆快车和一辆慢车，同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后快车继续按相同的速度行驶3小时到达乙地．已知慢车每小时行驶45千米，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】解：设快车每小时行驶x千米， 根据题意，得3x＝45×6．解得x＝90． 则：（6+3）×90＝810（千米）． 答：甲、乙两地相距810千米． 【题型6】方案选择问题 【典型例题】某同学花了30元钱购买图书馆会员证，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张4元，要想使得办会员证比不办会员证合算，该同学去图书馆阅览应超过(　　) A.8次 B.9次 C.10次 D.11次 【答案】C 【解析】设该同学去图书馆阅览次数为x时，办会员证与不办会员证花费相同， 则30＋1·x＝4x，解得x＝10. 所以去的次数超过10时，办会员证合算. 【举一反三1】文具店销售某种笔，每支1.8元，小华去购买这种笔，买好后结账时，同去的小寒对他说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在还便宜3.6元”，小华说：“那就多买一个吧.”根据两人的对话可知，小华结账时实际付了(　　) A.54元 B.52.2元 C.48.6元 D.46.9元 【答案】C 【解析】依题意得：1.8(x﹣1)﹣1.8×0.9x＝36，解得：x＝30，则1.8×0.9x＝1.8×0.9×30＝48.6. 故选：C. 【举一反三2】小王一家四口人和两个姑姑及其一家人一起到某景点旅游，此景点收费标准如下：不超过5人按每人50元收门票，若超过5人，超过的每人门票将打六折，结果比单独去每人少花10元钱，那么两个姑姑家一共去的人数是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】设两个姑姑家一共去的人数是x，根据题意得50(x＋4)－50×5－50(x＋4－5)×60%＝10(x＋4)， 解得x＝6. 即两个姑姑家一共去了6人. 【举一反三3】某地有甲、乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案：甲超市购物全场8.8折.乙超市购物①不超过200元，不给予优惠；②超过200元而不超过600元，打9折；③超过600元，其中的600元仍打9折，超过600元的部分打8折.假设两家超市相同商品的标价都一样，当标价总额是________元时，甲、乙两家超市实付款一样. 【答案】750 【解析】设当标价总额是x元时，甲、乙两家超市实付款一样. 当一次性购物标价总额恰好是600元时， 甲超市实付款为600×0.88＝528(元)， 乙超市实付款为600×0.9＝540(元). 因为528＜540，所以x＞600. 根据题意得0.88x＝600×0.9＋0.8(x－600)，解得x＝750. 所以当标价总额是750元时，甲、乙两家超市实付款一样. 【举一反三4】现有一项工程，甲单独做需要10天能完成，乙单独做需要15天能完成，甲做一天需要的报酬比乙做一天需要的报酬多100元，甲、乙合作完成此项工程需要5400元报酬． （1）问甲、乙合作多少天能完成此项工程？ （2）求甲做一天需要的报酬； （3）为了节省开支，应在甲单独完成、乙单独完成、甲乙合作完成这三种方案中选择哪种方案？请通过计算说明． 【答案】解：（1）设甲合作x天能完成此项工程，依题意得：（）x＝1， 解得：x＝6， 答：甲、乙合作6天能完成此项工程. （2）设甲做一天需要y元的报酬，则乙做一天需要（y﹣100）元的报酬， 依题意得：（y+y﹣100）×6＝5400，解得：y＝500， 答：甲做一天需要的报酬500元. （3）甲单独完成所需的报酬为：500×10＝5000（元）； 乙单独完成所需的报酬为：（500﹣100）×15＝6000（元）； 5000＜5400＜6000，则为了节省开支，可选甲单独完成． 答：由甲单独完成可节省开支． 【题型7】与几何图形有关的问题 【典型例题】把一块长方体钢坯熔铸成一个底面直径为12dm的圆锥形钢件，这个钢件的高是（　　）dm． A.2 B.6 C.1.5 【答案】B 【解析】设这个钢件的高是x dm，依题意有： ×3.14×（12÷2）2x＝18.84×3×4，解得x＝6． 故选：B． 【举一反三1】如图所示，一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少4cm，宽增加3cm，就可以围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（　　） A.8，7 B.9，6 C.10，5 D.11，4 【答案】D 【解析】设长方形的长为x cm，则长方形的宽为（15﹣x）cm， 根据题意，得x﹣4＝（15﹣x）+3，解得x＝11， ∴15﹣x＝4. 故选：D． 【举一反三2】如图，将一张正方形纸板的四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体盒子，若折成的长方体盒子的底面边长为30cm，体积为9000cm3，则原正方形纸面的边长为 　     　cm． 【答案】50 【解析】设原正方形纸片的边长x cm， 由题意，得302×＝9000，解得x＝50， 故原正方形纸片的边长为50cm． 【举一反三3】如图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的表面积为 　   　． 【答案】88 【解析】设长方体箱子的正方形底面的边长为x，高为y， 根据题意得4x＝8，解得x＝2， ∴2+2+y＝14，解得y＝10， 22×2+10×2×4＝88， ∴长方体箱子的表面积是88. 【举一反三4】已知一个长方形的周长为60cm. (1)若它的长比宽多6cm，这个长方形的宽是多少cm？ (2)若它的长与宽的比是2：1，这个长方形的长是多少cm？ 【答案】解：(1)设长方形的宽为xcm，则长为(x+6)cm，由题意得2[x+(x+6)]=60，解得：x=12. 答：这个长方形的宽是12cm. (2)设长方形的宽为acm，则长为2acm，由题意得2(2a+a)=60，解得：a=10，2a=20. 答：这个长方形的长是20cm. 【题型8】与日历表中数字或其他数字有关的问题 【典型例题】下表填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意知，，，， ∴可知左下和右上的积等于左上和右下的和，且左上、左下、右上三个数是相邻的偶数． ∴如图， ∴， 解得，， 故选：D． 【举一反三1】如图，在2024年1月的日历表中用图形框出10，18，19，24四个数，它们的和为71．若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是（　　） A.35 B.63 C.99 D.119 【答案】D 【解析】设最上边的那个数是x，则剩下的那个数为x+8，x+9，x+14， ∴这四个数的和是x+x+8+x+9+x+14＝4x+31， 当4x+31＝35时，解得x＝1，则这四个数分别1，9，10，15，符合日历特点； 当4x+31＝63时，解得x＝8，则这四个数分别8，1617，22，符合日历特点； 当4x+31＝99时，解得x＝17，则这四个数分别17，25，26，31，符合日历特点； 当4x+31＝119时，解得x＝22，则这四个数分别22，30，31，36，不符合日历特点； ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 【举一反三2】小华在某月的日历上圈出相邻的四个数，算出这四个数字的和为36，那么这四个数在日历上位置的形式是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设第一个数为x，根据已知： A、由题意得x+x+6+x+7+x+8=36，则x=6.25不是整数，故本选项不可能； B、由题意得x+x+1+x+2+x+8=36，则x=6.25不是整数，故本选项不可能； C、由题意得x+x+1+x+8+x+9=36，则x=4.5不是整数，故本选项不可能； D、由题意得x+x+1+x+7+x+8=36，则x=5，为正整数符合题意. 故选：D. 【举一反三3】如图，是2024年1月的日历表，方框内①、②、③、④中的日期之和为64，则框①中日期的数字为 　     　． 【答案】15 【解析】由日历的特点，设中间的数字为x，则①中的数字为x﹣1，②中的数字为x+1，③中的数字为（x﹣7），④中的数字为（x+7）， 由题意得，（x﹣1）+（x+1）+（x﹣7）+（x+7）＝64， 解得x＝16， 则①中的数字为16﹣1＝15． 【举一反三4】下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设温度的变化是均匀的. （1）实验进行21min时的温度是多少？ （2）实验进行多长时间的温度是34℃？ 【答案】解：（1）由题意和表格中的数据可知， 每分钟升高（25-10）÷（5-0）=3（℃）， 21min时的温度是70+（21-20）×3=73（℃）. （2）设当x分钟时温度是34℃， 根据题意，得10+3x=34，解得x=8， 答：8min时温度是34℃． 【举一反三5】如图是2024年2月份的月历，其中“n型”和“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“n型”和“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“n型”覆盖的五个数字左上角的数为a，数字之和为S1，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为b，数字之和为S2． （1）分别用a，b的代数式表示S1和S2； （2）结合月历，若S1﹣S2＝19，则S1+S2的最大值为多少？ 【答案】解：（1）S1＝a+a+1+a+2+a+7+a+9＝5a+19， S2＝b+b﹣1+b+1+b﹣7+b+7＝5b． （2）由（1）知，S1+S2＝5a+19+5b，S1﹣S2＝5a+19﹣5b＝19， ∴5a﹣5b＝0， ∴a＝b， ∴S1+S2＝5a+19+5b＝10a+19， ∴当a最大时S1+S2也取得最大值， 由月历图知，a的最大值为20， 所以S1+S2的最大值为219． 学科网（北京）股份有限公司 $