专题13 分式及分式的基本性质的八类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13分式及分式的基本性质的八类综合题型 月录 典例详解 类型一、分式有无意义的条件 类型二、分式的值为零 类型三、利用分式的基本性质判断分式是否正确 类型四、分式与最简分式的判断 类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数 类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数 类型七、求使分式值为整数时未知数的整数值 类型八、与分式有关的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、分式有无意义的条件 1.无意义：分母等于0时，分式无意义。解题时只需让分母等于0，解出未知数的值。 2.有意义：分母不等于0时，分式有意义。解题时让分母不等于0，解出未知数的取值范围。 3.注意：计算时千万不要把分子算进去。分子的取值不影响分式是否有意义。 例1.若分式5 2有意义，则的取值范围是 【变式1】老代数式有意义，则实数的取位范固记 【变式12】若分式3无盛义，则的值为一 【变式1】当一时，分式有义，当一时，分式 3x-1 无意义。 类型二、分式的值为零 分子等于0：这是让整个分式值为零的前提。 分母不等于0：这是保证分式有意义的底线。 解题步骤： 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.先让分子等于0，解出可能的x值 2.把这些x值代入分母，检查分母是否为0 3.排除使分母为0的x值，剩下的就是答案 例2.若分式- 2x+3 的值为0，则x的值为 【变式2-1】若分式-2025的值为0，则x的值为 【变式22】分式-4的值为0，则的值为】 x-2 【变式23】若分式4的值为0，则x的值为 x-4 类型三、利用分式的基本性质判断分式是否正确 1看变形方式：分子和分母是不是同时进行了"乘以同一个数"或"除以同一个数"的操作。 2看乘除的数：这个用来乘或除的整式，必须是一个不为零的整式。 3看是否有遗漏：特别要注意符号和系数，确保变形是作用在整个分子和整个分母上，而不是只作用在某 项上。 例3.下列分式变形正确的是() 4.=g B.-2-x C.-1+y=-1+y D.I+y_x+x y2 y y-2 y 3 3 xy xv 【变式3-1】若a≠b,则下列分式化简正确的是() 4.0*29 b+2b B.a-e=a C. 2a a 2b b D. b-c b 【变式32】若把分式+少中和y的值都大2倍，那么分式的值() y A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.不变 D.缩小4倍 【变式3-3】把分式奶的分于分母到的a小都扩大为原来的2信.测分式的位《) A.不变 B.缩小为原来的2倍 C.扩大为原来的)倍 D.扩大为原来的2倍 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、分式与最简分式的判 1.先分解，后观察：把分子和分母分别进行因式分解。 比如提取公因式、用平方差公式等 分解后更容易看清它们的结构 2.找”亲戚”：检查分解后的分子和分母是否有相同的因式。 这些相同的因式就是它们的”公因式” 只要存在公因式，分式就不是最简的 3.看特例：如果分子或分母本身就是一个不能再分解的质数或因式，那就不用再考虑了。 例4。下列各式申：+y,3动，1，+少，3+少分式的个数为《) 2， a’x+y' 2， π A.5 B.4 C.3 D.2 【变式4-1】下列分式为最简分式的是() A. 3x 1-x C.x2+2 2xy B. D.1-x2 x2-x x+y x+1 【安式42】代数式“生空，六行分式有《冫 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式43】分式a、+、a+b、y+口中，最简分式有（) 3a、x2-y、a-b A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数 1.先判断，后变号：检查分子或分母的最高次项系数是否为负数。 如果是负数，就在整个分子或分母前面乘以-1 这相当于改变了整个分子或分母的符号 2.要变号，同变化：根据分式的基本性质，分子和分母要同时变化。 如果只改变分子的符号，那么分式本身的符号也要改变 同理，只改变分母的符号，分式本身的符号也要改变 记住：只变一处，分式变号；两处都变，符号不变 3.化最简，再检查：处理完符号后，记得看看分子和分母是否还有公因式。 如果有，需要进行约分，得到最简分式 例5.不改变分式的值，使分式3二3y 。的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为() 2x-1 2x-1 2x+1 2x+1 A. B. C. D. x2+3x-3 x2-3x+3 x2+3x-3 x2+3x+3 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式5-1】不改变分式 二3x+1，的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是 x2+7x-2 () A. 3x+1 3x+1 B. x2-7x+2 x2+7x+2 C. 3x-1 3x-1 x2-7x+2 D. x2-7x-2 【变式52】不收变分式兰的值，使分不、分每放高次项的系数为正数，正境的是0 3x2+x+2 3x2-x+2 A. 5x3+2x-3 B. c. 3x2+x-2 D. 3x2-x-2 5x3+2x-3 5x3-2x+3 5x3-2x+3 【变式53】不改变分式的值，使一1-2”，的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为 -x2+3x-3 () 2x-1 2x+1 2x+1 2x-1 A. B. c. D. x2+3x-3 x2+3x+3 x2-3x+3 x2-3x+3 类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数 1.找出分母：先看分子和分母中所有分数系数的分母。 例如，系数是1/2、23和5/6，它们的分母就是2、3和6。 2.计算最小公倍数：求出这些分母的最小公倍数(LC0。 在上例中，2、3、6的最小公倍数是6。 这个最小公倍数就是我们要找的"放大倍数"。 3同乘倍数：用这个最小公倍数同时乘以分子和分母。 这样就能把所有分数系数都变成整数。 同时，分式的值保持不变。 例6.不改变分式的值，把0.02x-3 的分子、分母中含x项的系数化为整数为() 0.3x+5 2x-3 -2x-3 A. B. 3x+5 30x+5 2x-300 C. D. 2x+300 30x+500 -30x+500 【发式6】不成变分式的值，将分式02Q中分子、分母的系数都化为整数，其结果为《) 20x+500y 20x+500y B.100x+4y 2x+50y 2x+5y A. 1000x+4y C. D. 1000x+4y x+4y 【变式62】不改变分式02-的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为() 0.4x+3 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-5 2x-1 C. 2x-1 A. B. D. 2x-10 2x+15 4x+3 4x+30 4x+30 【变式63】不改变分式的值，将分式-0.02x中各项系数均化为整数，结果为() 0.2a+3b A. x-2x2 50x-x2 50x-2x2 D. x-2x2 2a+3b 10a+150b 10a+3b 10a+150b 类型七、求使分式值为整数时未知数的整数值 1.先化简：如果分式比较复杂，先进行因式分解和约分。 把它变成最简形式，这样更容易分析。 2.再变形：用"分离常数法"把分式拆开。 例如，把c+3)/(x-1)变形为1+4/(c-1)。 这样，只要4/(x-1)是整数，整个分式的值就是整数。 3.列方程：确定分母的取值。 分母必须是分子的约数。 在上例中，x-1必须是4的约数，即±1，±2，土4。 然后解出x的值，并确保分母不为零。 例7.若x取整数，则使分式6r-3 的值为整数的x的值有」 2x+1 【变式7-1】若分式，名的值为整数，则非负整数的值为 【变式7-2】若3如+2 正整数，且a也为正整数，则a的值为 a-1 【变式7-3】使得-3x+8为整数的白然数的个数为 个 x+1 类型八、与分式有关的新定义型问题 1.读懂定义：这是最重要的一步。仔细阅读题目给出的新规则，比如"新运算"或"新符号"的含义。 用笔把规则里的关键条件划出来 确保完全理解后再动手 2.套用规则：把题目中的具体数字或字母，代入到新定义的规则里。 这一步就像做翻译，把新的语言翻译成我们熟悉的数学表达式 ·通常是一个分式 3.化简求解：得到熟悉的表达式后，就可以用我们学过的分式知识来解题了。 可以是化简、求值，也可以是解方程 用我们已经掌握的方法来解决问题 5/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例8.(2425八年级下·江西鹰潭阶段练习)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式 的和的形式，则称这个分式为和谐分式”.如： x+1-x-1+2-=+2=1+2 x-1x-1x-1x-11tx-1 a2-2a+3(a-1+2 2 -=a-1+ a-1 a-1 a-1 则+↓和-2+3都是和谐分式 x-1 a-1 (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： (填序号)： ；③+2 ②-4 ①+2 +1:④+1 ②将“和谐分式-6x-2化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： x-3 ③)当x取什么整数时，“和谐分式口-6x-2的值为整数？ x-3 【变式8-1】(2025七年级下·全国·专题练习)（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个 分式为巧分式”，约分后的整式称为这个分式的巧整式，例如：4r-8-4xx-2》-4r,则称分式 x-2 x-2 4r-8x是巧分式”，4x为它的巧整式”.根据上述定义，解决下列问题： x-2 (1)下列分式中是“巧分式”的有 (填序号)； ，X12x3)三2>3三②之之 (x-1)x+2) x+y ②若分式2r+2x的巧整式”为1-x,请判断2r+4r+2x是否是巧分式，并说明理由。 A A 【变式8-2】(23-24八年级上广西南宁阶段练习)我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这 个分式为巧分式，约分后的整式称为这个分式的巧整式.例如：4r-8x_4x-2=4r,则称分式 x-2x-2 4x-8x是巧分式，4x为它的巧整式”.根据上述定义，解决下列问题。 x-2 (1)下列分式中是“巧分式”的有 (填序号)； 0x-2x-3r+2,②2x+5, (x-1)(x+2) t*3:③2 x+y 2)若分式-4x+m(m为常数)是一个“巧分式”，它的巧整式”为x-7,求m的值： x+3 ③)若分式2r+2x的巧整式为1-x. A ①求整式A. 6/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②2x+4r+2x是巧分式吗？ y 【变式8-3】(24-25八年级下·河南南阳阶段练习)通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分 数”，而假分数都可化为带分数，如： 62-2号2号我们定义：在分式中，对于只含有个字得的 3=3 分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我 们称之为“真分式”. 如-、。这样的分式就是假分式：3、一这样的分式就是真分式。类似地，假分式也可以化为带分 x+1x-1 x+1x2+1 式（即：整式与真分式的和的形式）. 如=1-x+-2=1-2:-x-+(x-+1x x+1x+1 x+1'x-1 x-1 x+1+1 x-1 解决下列问题： (0)分式2025 分式（填“真”或“假”)： x+1 2将假分式-3化为带分式， x-2 ③)若分式-4r+6的值为整数，x为整数，求分式的值。 x-2 压轴专练 一、单选题 1.（25-26八年级上山东淄博阶段练习)下列各式：2,4托，广，上+x,5 a’元-3’2 ,其中分式共有() x+1 个. A.2 B.3 C.4 D.5 2.25.26七年级下全国单元试》)分式，±书，云-人，中最简分式的个数是() a-b’x-y A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2536七年级下-全国单元测试)如果把分式32”2，中的和？的值都对大为原来的2倍，那么分式的 值() 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.扩大为原来的2倍 B.扩大为原来的4倍 C.缩小为原来的) D.不变 42025山东淄思中考真题D若分式女*有意义，则的取值范围是 A.x≠-1且x≠2 B.x≠-1且x≠3 C.x≠2且x≠3 D.x≠-1且x≠2且x≠3 -y:(2)6-0=a+6 5.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)式子：少=1 c-aa+c:(3) -x+y_x-y .其中正确的是() -x-y x+y A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.(2425九年级浙江自主招生)若是整数，分式6+7x-20的值也是整数，则满足条件的x的个数是 2x-1 () A.3个 B.4个 C.5个 D.8个 二、填空题 7.25-26八年级上山东淄博阶段练习)当一时，分式25有意义，当 时，分式 -5的值为0. x2-4x-5 32425九年级下江苏南通阶段练习》若分式2的值为负，则x的范围是 9.(25-26八年级上山东淄博阶段练习)分式3x+4的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 x-1 10.(25-26八年级上，全国课后作业)不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数. 0.5x-0.7y (1) 0.2x+0.6y a+b (2) 41二 11.(25-26八年级上·全国·课后作业)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中x的最高次项的系数为 正数。 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1) -3x+x2 -2x2+x (2)-x2-1 -x+y (3)-r2-x2 -x2+x 12.(25-26八年级上·全国·课后作业)利用分式的基本性质填空： (1) 3c 15ac 2ab 【),括号内应填入 (2)a+b=) 括号内应填入 ab a'b (3) ()'括号内应填入 x2+xy x+y x2 (4) x3-y2_x() ,括号内应填入 (r-y)2 x-y 三、解答题 13.(25-26八年级上·全国·课前预习)当x为何值时，下列分式的值为0？ (0)*2 x-1 2过7 x-7 6)33 x-1 14.(24-25八年级下·全国·课后作业)不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数， 且分子与分母的首项系数都不含“-”号： ①02x-y -0.5x 、1 +y (2)11。 5x-3y 15.(25-26八年级上·全国·课后作业)不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数. 0.3x+0.5y (①00.2x-0.01y 1 0.2m- 2 (2)120 4m-3n 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.(24-25七年级下安微滁州阶段练习)已知y=-2 4 (①)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值. 17.(24-25七年级上·上海杨浦·期末)阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分 母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”.类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母 的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时， 我们称之为“真分式”.例如： -1、￡这样的分式就是假分式，如：3、2x这样的分式就是真分 x+1x-1 x+1、x2+1 式，假分数乙可以化成1+3 (即1三)带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式 4 相加) 如：x-1x+1-2,2x2x)三之+，=x+1+1 x+1 x+1 x+1'x-1x-1 x-1 x-1 根据上面材料回答下列问题： 1分式3是 ；(填“真分式”或“假分式”) (②假分式+6可化为带分式形式；如果分式+6的值为整数，则满足条件的整数x是 x+4 x+4 3)将假分式-6x+4化为带分式。 x-3 18.(25-26八年级上全国·单元测试)阅读下面例题解法： 例已如宁有求分式的值 i子行y=2x0.5号得：=@，0和②代入原式，得 解：方法一：由=上 x+2x 原式 -2x2r+3332 22 方法：设后子=，则=2水y=,:=3北，把它代入原式，有 2k+4k=6k=2. 原式=2k-2×4k+3×3k3k 根据以上解题方法解答下题： 已知x:y=2:3,y:z=1:2,试求分式2+3w+5y的值。 x2-2xz+22 10/11 专题13 分式及分式的基本性质的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式有无意义的条件 类型二、分式的值为零 类型三、利用分式的基本性质判断分式是否正确 类型四、分式与最简分式的判断 类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数 类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数 类型七、求使分式值为整数时未知数的整数值 类型八、与分式有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、分式有无意义的条件 1.无意义：分母等于0时，分式无意义。解题时只需让分母等于0，解出未知数的值。 2.有意义：分母不等于0时，分式有意义。解题时让分母不等于0，解出未知数的取值范围。 3.注意：计算时千万不要把分子算进去。分子的取值不影响分式是否有意义。 例1．若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件． 根据分母不为零即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式1-1】若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；据此得，即可求解． 【详解】解：由于代数式有意义，则， 得：； 故答案为：． 【变式1-2】若分式无意义，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义； 当，即时，分式无意义； 故答案为：，． 类型二、分式的值为零 - 分子等于0：这是让整个分式值为零的前提。 - 分母不等于0：这是保证分式有意义的底线。 解题步骤： 1.先让分子等于0，解出可能的x值 2.把这些x值代入分母，检查分母是否为0 3.排除使分母为0的x值，剩下的就是答案 例2．若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据题意可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为： 【变式2-1】若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，根据分式值为零的条件即可得到答案， 掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：依题意， ∴ 故答案为：． 【变式2-2】分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，准确理解题意是正确解答此题的关键． 根据分式的意义和性质，由分式值为0的条件知，分式，当时的值为0，若分式的值为0，需要且即可求解． 【详解】解：若分式的值为0，得且， 故， 故答案为：． 【变式2-3】若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得， 故答案为：． 类型三、利用分式的基本性质判断分式是否正确 1.看变形方式：分子和分母是不是同时进行了"乘以同一个数"或"除以同一个数"的操作。 2.看乘除的数：这个用来乘或除的整式，必须是一个不为零的整式。 3.看是否有遗漏：特别要注意符号和系数，确保变形是作用在整个分子和整个分母上，而不是只作用在某一项上。 例3．下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选D． 【变式3-1】若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握性质的本质是解题的关键．根据分式的基本性质“分式的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分式的值不变”求解即可． 【详解】解：A. ，分子、分母同时加2，分式值不一定不变，本选项不符合题意； B. ，分子、分母同时加，分式值不一定不变，本选项不符合题意； C. ，分子、分母同时除以2，分式值不变，本选项符合题意； D. ，分子、分母同时开方，分式值不一定不变，本选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-2】若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的分别用替换，再约分化简即可得到答案． 【详解】解：把分式中和的值都扩大2倍后变形为， ∴分式的值不变， 故选：C． 【变式3-3】把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质；把分式中的分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可判断． 【详解】解：， 即分式的值扩大为原来的 2 倍； 故选：D． 类型四、分式与最简分式的判断 1.先分解，后观察：把分子和分母分别进行因式分解。 - 比如提取公因式、用平方差公式等 - 分解后更容易看清它们的结构 2.找"亲戚"：检查分解后的分子和分母是否有相同的因式。 - 这些相同的因式就是它们的"公因式" - 只要存在公因式，分式就不是最简的 3.看特例：如果分子或分母本身就是一个不能再分解的质数或因式，那就不用再考虑了。 例4．下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：和是分式，共2个， 故选：D． 【变式4-1】下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项不是最简分式，不符合题意； B、，故此选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故此选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】代数式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的识别，若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：代数式，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 【变式4-3】分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可． 【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意； ，是最简分式，符合题意； 故选C． 类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数 1.先判断，后变号：检查分子或分母的最高次项系数是否为负数。 - 如果是负数，就在整个分子或分母前面乘以-1 - 这相当于改变了整个分子或分母的符号 2.要变号，同变化：根据分式的基本性质，分子和分母要同时变化。 - 如果只改变分子的符号，那么分式本身的符号也要改变 - 同理，只改变分母的符号，分式本身的符号也要改变 - 记住：只变一处，分式变号；两处都变，符号不变 3.化最简，再检查：处理完符号后，记得看看分子和分母是否还有公因式。 - 如果有，需要进行约分，得到最简分式 例5．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【变式5-1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【变式5-2】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 【变式5-3】不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故选D. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数 1. 找出分母：先看分子和分母中所有分数系数的分母。 - 例如，系数是 1/2、2/3 和 5/6，它们的分母就是 2、3 和 6。 2. 计算最小公倍数：求出这些分母的最小公倍数(LCM)。 - 在上例中，2、3、6 的最小公倍数是 6。 - 这个最小公倍数就是我们要找的"放大倍数"。 3. 同乘倍数：用这个最小公倍数同时乘以分子和分母。 - 这样就能把所有分数系数都变成整数。 - 同时，分式的值保持不变。 例6．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 【变式6-1】不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式6-2】不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式6-3】不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 类型七、求使分式值为整数时未知数的整数值 1. 先化简：如果分式比较复杂，先进行因式分解和约分。 - 把它变成最简形式，这样更容易分析。 2. 再变形：用"分离常数法"把分式拆开。 - 例如，把  (x + 3) / (x - 1)  变形为  1 + 4 / (x - 1) 。 - 这样，只要  4 / (x - 1)  是整数，整个分式的值就是整数。 3. 列方程：确定分母的取值。 - 分母必须是分子的约数。 - 在上例中， x - 1  必须是 4 的约数，即  ±1, ±2, ±4 。 - 然后解出  x  的值，并确保分母不为零。 例7．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 【变式7-1】若分式的值为整数，则非负整数的值为 ． 【答案】或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的求值问题，由分式的值为整数，可得可以为、、、，据此可以得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴可以为、、、， ∴可以为、、、， ∴非负整数的值为或或． 故答案为：或或． 【变式7-2】若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】或/6或2 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，将分式化简为，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可． 【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且， ∴当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 【变式7-3】使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 类型八、与分式有关的新定义型问题 1. 读懂定义：这是最重要的一步。仔细阅读题目给出的新规则，比如"新运算"或"新符号"的含义。 - 用笔把规则里的关键条件划出来 - 确保完全理解后再动手 2. 套用规则：把题目中的具体数字或字母，代入到新定义的规则里。 - 这一步就像做翻译，把新的语言翻译成我们熟悉的数学表达式 - 通常是一个分式 3. 化简求解：得到熟悉的表达式后，就可以用我们学过的分式知识来解题了。 - 可以是化简、求值，也可以是解方程 - 用我们已经掌握的方法来解决问题 例8．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 【变式8-1】（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 【变式8-2】（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②是“巧分式” 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ②， 又是整式， 是“巧分式”． 【变式8-3】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，对题中出现的各式逐一分析，统计出分式的个数即可． 【详解】解：对于，分母是a，a是字母，所以是分式； 对于，分母是，是一个常数，也是常数，不含有字母，所以不是分式； 对于，分母是2，2是常数，不含字母，所以不是分式； 对于，的分母是x，x是字母，所以是分式； 对于，分母是，x是字母，所以是分式． 综上所述，其中分式有：，，，共3个． 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是分式的约分，最简分式，因式分解，解题关键是熟练掌握最简分式的定义． 将每个选项的分子和分母分别进行因式分解，然后进行约分化简，如果无法继续进行化简则选项是最简分式，如果可以继续化简，则选项不是最简分式． 【详解】解：的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； ，即不是最简分式； ，即不是最简分式； 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式． 综上，最简分式的个数是个． 故选：． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如果把分式中的和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是分式的基本性质、解题关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据，判断作答即可． 【详解】解：把分式中的和的值都扩大为原来的倍， 则分式变为， 分式的值扩大为原来的倍． 故选：． 4．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 5．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变是解题的关键．分别对三个式子进行分式变形的分析，判断其正确性． 【详解】解：（1）．故（1）错误； （2）．故（2）错误； （3）分子、分母同时乘以，分式的值不变，即．故（3）正确． 综上所述，正确的变形有1个． 故选：B． 6．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）当x 时，分式有意义．当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件．对于第一个空，根据分式有意义的条件，令分母不为零，求解x的取值范围；对于第二个空，根据分式值为零的条件，先令分子为零，再检验分母是否不为零，从而确定x的值． 【详解】解：（1）依题意得：， 解得． （2）依题意得：，且， ∴，且， 解得． 故答案为：，． 8．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若分式的值为负，则的范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 9．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入 ；            （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ；         （4），括号内应填入 ． 【答案】 x 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式的基本性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·课前预习）当为何值时，下列分式的值为0？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)没有使分式的值为0的值 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件； （1）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可； （2）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可； （3）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵的值为， ∴且， 解得：． （2）解：∵的值为， ∴且， 解得：． （3）解：∵的值为， ∴且， ∴没有使分式的值为0的值． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 17．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可． 【详解】解：方法一：∵， ∴，， ∴ ； 方法二：∵， ∴， 设，则， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $