第09讲 工程问题（二）：周期工程、水管问题 （知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

· 六年级奥数培优讲义：第09讲 工程问题（二）：周期工程、水管问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 基本概念 工程问题三要素：工作总量（通常设为“1”）、工作效率（单位时间内完成的工作量，如“8”表示5天完成）、工作时间（完成工作所需时间）。 周期工程：多个主体按固定顺序轮流工作（如甲、乙交替工作），需计算“周期工作量”“周期数”及“剩余工作量”。 水管问题：类比工程问题，进水管相当于“正效率”（增加水量），出水管相当于“负效率”（减少水量），总效率=进水管效率和-出水管效率和。 核心公式 基本公式： 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间（总量设为1时，效率=） 工作时间=工作总量÷工作效率 周期工程公式： 周期工作量=各主体在一个周期内的工作量之和 周期数=（总工作量-剩余工作量）÷周期工作量（结果取整数，有余数时需单独计算剩余工作量） 水管问题公式： 实际进水效率=进水管效率和-出水管效率和 注满/排空时间=总水量÷实际进水效率（总水量通常设为“1”，或具体容积） 二、核心题型与技巧 题型1：周期工程（单周期轮流工作） 特征：两个或多个主体按固定顺序轮流工作（如甲1天、乙1天交替），求完成总工作量的时间。 技巧：①计算一个周期的工作量（如甲效率+乙效率）；②确定完整周期数：用总工作量除以周期工作量，取商为完整周期数，余数为剩余工作量；③分配剩余工作量：按轮流顺序，判断剩余工作量由谁完成，计算额外时间；④总时间=完整周期数×周期长度+剩余工作量所需时间。 示例：甲单独做需10天，乙单独做需15天，甲乙轮流做（甲先），求完成时间。 周期工作量=0，周期长度=2天。总工作量1÷个周期，总时间=6×2=12天。 题型2：周期工程（多周期或交替周期） 特征：轮流顺序变化（如甲1天、乙2天、甲1天、乙2天），或周期内主体数量变化。 技巧：①明确每个完整周期的组成（如“甲1天+乙2天”为一个周期，周期长度=3天）；②计算周期工作量和周期数，剩余工作量按新顺序分配。 题型3：水管问题（基本进出水） 特征：单开进水管、单开出水管，或同时开进、出水管，求注满或排空时间。 技巧：①进水管效率=（正数），出水管效率=（负数）；②总效率=进水管效率之和-出水管效率之和；③时间=总水量÷总效率（总水量设为1，若结果为负，说明无法注满或排空）。 示例：水箱单开进水管4小时注满，单开出水管6小时排空，两管齐开，注满时间=1÷（）=12小时。 题型4：水管问题（周期性开关） 特征：进、出水管按周期开关（如开3小时、关1小时交替），求注满时间。 技巧：①计算一个周期内的净进水量（如开3小时进水量-关1小时排水量）；②确定完整周期数（注意：若剩余水量在“开”的过程中可注满，无需完整周期）；③总时间=完整周期数×周期长度+剩余水量所需进水时间。 三、常见错误提醒 周期数计算错误：忽略剩余工作量，直接用“总工作量÷周期工作量”取整，导致少算剩余时间（如周期工作量0.2，总工作量1，5个周期完成，但实际可能4个周期后剩余0.2，需第5个周期）。 剩余工作量分配错误：轮流顺序颠倒（如甲先乙后，剩余工作量误按乙先甲后计算）。 水管效率正负混淆：将出水管效率算作正数，导致总效率偏大（如误将“出水管效率”当作“+”，实际应为“-”）。 周期性水管忽略提前完成：如周期内“开3小时注满”，但计算时仍按完整周期（开3+关1）计算，多算关的时间。 例题讲解 一、周期工程（单周期轮流） 例题1：一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需18天，若甲、乙轮流做（甲先做1天，乙做1天，循环），完成这项工程共需多少天？ 答案：14天 解析：①设工作总量为1，甲效率=，乙效率=。②周期工作量=0，周期长度=2天。③总周期数：1÷（个），取7个完整周期，工作量=7×，剩余工作量=1-。④剩余工作量由甲完成，时间=天，总时间=7×2+天，向上取整为14天。 跟踪练习1：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，乙、甲轮流做（乙先），完成工程需多少天？ 答案：12天 解析：周期工作量=，周期数=6个，总时间=6×2=12天（恰好完成）。 二、周期工程（多周期） 例题2：一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天，按“甲做2天，乙做3天”的周期循环，完成工程共需多少天？ 答案：25天 解析：①周期组成：甲2天+乙3天，周期长度=5天，周期工作量=2×+3×。②总周期数=1÷个，总工作量=5×0，总时间=5×5=25天。 跟踪练习2：按“甲1天，乙2天，丙1天”周期循环，甲效率，乙效率，丙效率，完成工程需多少天？ 答案：14天 解析：周期工作量=，3个周期工作量=3×，剩余工作量=1-。甲1天完成，剩余，乙需天，总时间=3×4+1+0天，向上取整为14天。 三、水管问题（基本进出水） 例题3：一个水池，单开进水管5小时注满，单开出水管8小时排空。若两管同时打开，注满水池需多少小时？ 答案：小时（≈13.33小时） 解析：①进水管效率=，出水管效率=-，总效率=。②时间=1÷小时。 跟踪练习3：水池单开进水管3小时注满，单开两个出水管，每个出水管6小时排空，若开进水管同时开两个出水管，多少小时排空满池水？ 答案：无法排空（总效率为0） 解析：总效率=2×，无法排空。 四、水管问题（周期性开关） 例题4：水池单开进水管4小时注满，单开出水管6小时排空。若按“开3小时进水管，关1小时出水管”的周期循环，注满水池需多少小时？ 答案：小时（≈5.67小时） 解析：①周期组成：开3小时+关1小时，周期长度=4小时，周期净进水量=3×-1×。②1个周期后水量=0，剩余水量=1-，由进水管完成，时间=小时。③总时间=4×1+小时。 跟踪练习4：一个水池，单开进水管6小时注满，单开出水管8小时排空。若按“开4小时进水管，关2小时出水管”的周期循环，注满水池需多少小时？ 答案：13小时 解析：进水管效率，出水管效率。 周期组成：开4小时+关2小时，周期长度=6小时。 周期净进水量：开4小时进水量0，关2小时排水量，净进水量。 2个周期后总水量，剩余水量。 剩余水量由进水管完成，时间小时。 总时间小时。 提升练习 1. 一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，按“甲1天、乙1天”轮流工作（甲先），完成工程需多少天？ 答案：12天 解析：周期工作量，周期数（个），总时间天（恰好完成）。 2. 一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需20天，按“甲1天、乙1天”轮流工作（甲先），完成工程需多少天？ 答案：14天 解析：甲效率，乙效率，周期工作量。 7个周期工作量，剩余，甲需天，总时间天，向上取整为14天。 3. 一项工程，甲单独做需8天，乙单独做需12天，按“乙1天、甲1天”轮流工作（乙先），完成工程需多少天？ 答案：10天 解析：周期工作量，4个周期工作量，剩余，乙1天完成，剩余，甲需天，总时间天，向上取整为10天。 4. 一项工程，甲单独做需15天，乙需20天，丙需30天，按“甲1天、乙1天、丙1天”轮流工作（甲先），完成工程需多少天？ 答案：19天 解析：周期工作量，6个周期工作量，剩余，甲1天完成，剩余，乙需天，总时间天，向上取整为19天。 5. 一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天，按“甲2天、乙3天”循环工作，完成工程需多少天？ 答案：25天 解析：周期工作量，周期数个，总时间天（恰好完成）。 6. 一项工程，甲效率，乙效率，按“甲1天、乙2天”循环工作，完成工程需多少个完整周期？ 答案：4个周期（12天） 解析：周期工作量，3个周期工作量，剩余；4个周期工作量，剩余，需继续计算，总时间天（含部分剩余）。 7. 一项工程，甲单独做需14天，乙单独做需21天，甲先做1天，乙做1天轮流，剩余工作量不足1个周期时由乙完成，总时间是多少？ 答案：17天 解析：周期工作量，8个周期工作量，剩余，乙需天，总时间天。 8. 一项工程，甲单独做需10天，乙单独做前3天效率，之后效率变为，按“甲1天、乙1天”轮流（甲先），完成工程需多少天？ 答案：11天 解析：前3个周期乙效率，周期工作量，3个周期后工作量；第4周期起乙效率，周期工作量，剩余需2个周期（），总时间天，剩余，甲1天完成，总时间11天。 9. 一项工程，甲单独做需8天，乙单独做需12天，按“甲乙1周期（2天）、乙甲1周期（2天）”交替，完成工程需多少天？ 答案：10天 解析：“甲乙”周期工作量，“乙甲”周期工作量相同，4天总工作量，2个双周期（8天）工作量，剩余，甲1天完成，剩余，乙需天，总时间天，向上取整为10天。 10. 一项工程，甲单独做需5天，乙单独做需10天，若甲、乙、甲、乙…无限轮流（甲先），第几天完成工作量？ 答案：6天 解析：周期工作量，2个周期（4天）工作量，剩余，甲1天完成，需天，总时间天，向上取整为5天？（修正：，甲第5天完成，答案5天） 11. 水池单开进水管6小时注满，单开出水管8小时排空，两管齐开，注满需多少小时？ 答案：24小时 解析：总效率，时间小时。 12. 水池满水，单开进水管4小时注满，单开出水管3小时排空，两管齐开，排空需多少小时？ 答案：12小时 解析：总效率，排空时间小时（取绝对值）。 13. 水池单开进水管A需5小时，进水管B需6小时，单开出水管C需10小时，三管齐开，注满需多少小时？ 答案：小时（3.75小时） 解析：总效率，时间小时。 14. 水池满水，进水管A（效率），出水管B（效率）、C（效率），三管齐开，排空需多少小时？ 答案：4小时 解析：总效率，排空时间小时？（修正：出水管效率为负，总效率，排空时间8小时） 15. 水池单开进水管5小时注满，单开出水管10小时排空，按“开3小时、关1小时”循环，注满需多少小时？ 答案：小时（≈7.67小时） 解析：周期净进水量，1个周期后水量，剩余需小时，总时间小时？（修正：周期净水量，2个周期后，总时间小时？不，1个周期后，剩余需小时，总时间小时） 16. 水池单开进水管6小时注满，单开出水管8小时排空，按“开4小时、关2小时”循环，注满需多少小时？ 答案：13小时 学科网（北京）股份有限公司 $ · 六年级奥数培优讲义：第09讲 工程问题（二）：周期工程、水管问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 基本概念 工程问题三要素：工作总量（通常设为“1”）、工作效率（单位时间内完成的工作量，如“8”表示5天完成）、工作时间（完成工作所需时间）。 周期工程：多个主体按固定顺序轮流工作（如甲、乙交替工作），需计算“周期工作量”“周期数”及“剩余工作量”。 水管问题：类比工程问题，进水管相当于“正效率”（增加水量），出水管相当于“负效率”（减少水量），总效率=进水管效率和-出水管效率和。 核心公式 基本公式： 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间（总量设为1时，效率=） 工作时间=工作总量÷工作效率 周期工程公式： 周期工作量=各主体在一个周期内的工作量之和 周期数=（总工作量-剩余工作量）÷周期工作量（结果取整数，有余数时需单独计算剩余工作量） 水管问题公式： 实际进水效率=进水管效率和-出水管效率和 注满/排空时间=总水量÷实际进水效率（总水量通常设为“1”，或具体容积） 二、核心题型与技巧 题型1：周期工程（单周期轮流工作） 特征：两个或多个主体按固定顺序轮流工作（如甲1天、乙1天交替），求完成总工作量的时间。 技巧：①计算一个周期的工作量（如甲效率+乙效率）；②确定完整周期数：用总工作量除以周期工作量，取商为完整周期数，余数为剩余工作量；③分配剩余工作量：按轮流顺序，判断剩余工作量由谁完成，计算额外时间；④总时间=完整周期数×周期长度+剩余工作量所需时间。 示例：甲单独做需10天，乙单独做需15天，甲乙轮流做（甲先），求完成时间。 周期工作量=0，周期长度=2天。总工作量1÷个周期，总时间=6×2=12天。 题型2：周期工程（多周期或交替周期） 特征：轮流顺序变化（如甲1天、乙2天、甲1天、乙2天），或周期内主体数量变化。 技巧：①明确每个完整周期的组成（如“甲1天+乙2天”为一个周期，周期长度=3天）；②计算周期工作量和周期数，剩余工作量按新顺序分配。 题型3：水管问题（基本进出水） 特征：单开进水管、单开出水管，或同时开进、出水管，求注满或排空时间。 技巧：①进水管效率=（正数），出水管效率=（负数）；②总效率=进水管效率之和-出水管效率之和；③时间=总水量÷总效率（总水量设为1，若结果为负，说明无法注满或排空）。 示例：水箱单开进水管4小时注满，单开出水管6小时排空，两管齐开，注满时间=1÷（）=12小时。 题型4：水管问题（周期性开关） 特征：进、出水管按周期开关（如开3小时、关1小时交替），求注满时间。 技巧：①计算一个周期内的净进水量（如开3小时进水量-关1小时排水量）；②确定完整周期数（注意：若剩余水量在“开”的过程中可注满，无需完整周期）；③总时间=完整周期数×周期长度+剩余水量所需进水时间。 三、常见错误提醒 周期数计算错误：忽略剩余工作量，直接用“总工作量÷周期工作量”取整，导致少算剩余时间（如周期工作量0.2，总工作量1，5个周期完成，但实际可能4个周期后剩余0.2，需第5个周期）。 剩余工作量分配错误：轮流顺序颠倒（如甲先乙后，剩余工作量误按乙先甲后计算）。 水管效率正负混淆：将出水管效率算作正数，导致总效率偏大（如误将“出水管效率”当作“+”，实际应为“-”）。 周期性水管忽略提前完成：如周期内“开3小时注满”，但计算时仍按完整周期（开3+关1）计算，多算关的时间。 例题讲解 一、周期工程（单周期轮流） 例题1：一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需18天，若甲、乙轮流做（甲先做1天，乙做1天，循环），完成这项工程共需多少天？ 跟踪练习1：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，乙、甲轮流做（乙先），完成工程需多少天？ 二、周期工程（多周期） 例题2：一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天，按“甲做2天，乙做3天”的周期循环，完成工程共需多少天？ 跟踪练习2：按“甲1天，乙2天，丙1天”周期循环，甲效率，乙效率，丙效率，完成工程需多少天？ 三、水管问题（基本进出水） 例题3：一个水池，单开进水管5小时注满，单开出水管8小时排空。若两管同时打开，注满水池需多少小时？ 跟踪练习3：水池单开进水管3小时注满，单开两个出水管，每个出水管6小时排空，若开进水管同时开两个出水管，多少小时排空满池水？ 四、水管问题（周期性开关） 例题4：水池单开进水管4小时注满，单开出水管6小时排空。若按“开3小时进水管，关1小时出水管”的周期循环，注满水池需多少小时？ 跟踪练习4：一个水池，单开进水管6小时注满，单开出水管8小时排空。若按“开4小时进水管，关2小时出水管”的周期循环，注满水池需多少小时？ 提升练习 1. 一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，按“甲1天、乙1天”轮流工作（甲先），完成工程需多少天？ 2. 一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需20天，按“甲1天、乙1天”轮流工作（甲先），完成工程需多少天？ 3. 一项工程，甲单独做需8天，乙单独做需12天，按“乙1天、甲1天”轮流工作（乙先），完成工程需多少天？ 4. 一项工程，甲单独做需15天，乙需20天，丙需30天，按“甲1天、乙1天、丙1天”轮流工作（甲先），完成工程需多少天？ 5. 一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天，按“甲2天、乙3天”循环工作，完成工程需多少天？ 6. 一项工程，甲效率，乙效率，按“甲1天、乙2天”循环工作，完成工程需多少个完整周期？ 7. 一项工程，甲单独做需14天，乙单独做需21天，甲先做1天，乙做1天轮流，剩余工作量不足1个周期时由乙完成，总时间是多少？ 8. 一项工程，甲单独做需10天，乙单独做前3天效率，之后效率变为，按“甲1天、乙1天”轮流（甲先），完成工程需多少天？ 9. 一项工程，甲单独做需8天，乙单独做需12天，按“甲乙1周期（2天）、乙甲1周期（2天）”交替，完成工程需多少天？ 10. 一项工程，甲单独做需5天，乙单独做需10天，若甲、乙、甲、乙…无限轮流（甲先），第几天完成工作量？ 11. 水池单开进水管6小时注满，单开出水管8小时排空，两管齐开，注满需多少小时？ 12. 水池满水，单开进水管4小时注满，单开出水管3小时排空，两管齐开，排空需多少小时？ 13. 水池单开进水管A需5小时，进水管B需6小时，单开出水管C需10小时，三管齐开，注满需多少小时？ 14. 水池满水，进水管A（效率），出水管B（效率）、C（效率），三管齐开，排空需多少小时？ 15. 水池单开进水管5小时注满，单开出水管10小时排空，按“开3小时、关1小时”循环，注满需多少小时？ 16. 水池单开进水管6小时注满，单开出水管8小时排空，按“开4小时、关2小时”循环，注满需多少小时？ 学科网（北京）股份有限公司 $