精品解析：辽宁省锦州市某校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

2025－2026学年第一学期第一次月考 高二数学 命题教师：高一备课组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果. 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 2. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行得出，从而即可求解 【详解】若，则，从而， 即，解之得：. 故选：A 3. 已知直线与直线互相垂直,则实数a的值为 A. -1或2 B. -1或-2 C. 1或2 D. 1或-2 【答案】B 【解析】 【详解】由题得 经检验, 都满足题意,故选B. 4. 已知点，到直线的距离相等，则（ ） A. 3 B. 或5 C. 3或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式列出方程，求出或. 【详解】有题意得，解得或. 故选：C 5. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，利用向量相等，列方程组求实数的值. 【详解】若共面，则， 即， 所以，解得：. 故选：B 【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型. 6. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 7. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点， 则， 又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为. 故选：A. 8. 在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、、，利用空间向量法求出和的值，然后利用空间向量数量积的运算可求得结果. 【详解】在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等， 不妨设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、， 设点，其中、、，设平面的法向量为， ，，则， 取，可得， 因为点在平面内，且，则， 可得， 设直线与平面所成的角为，则， 且，所以，， 所以， . 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ） A. 1 B. C. ﹣2 D. ﹣1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可. 【详解】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：. 当时，直线与横轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形； 当时，直线的斜率为：. 当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形； 当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形； 当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有， 故选：BCD 【点睛】本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力. 10. 已知四面体满足，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影为 D. 四面体的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】构造长方体，由长方体的特征可判定A项，建立空间直角坐标系，借助空间向量可判定B、C项，利用割补法计算体积可判定D项. 【详解】 如图，构造长方体，因， 则可得，此时四面体符合题目条件. 建立空间直角坐标系，则， 对于A，由长方体的特征可知，又底面为正方形，即， 所以，故A正确； 对于B，易知， 设平面和平面的法向量分别为， 则故可取； 则，故可取. 设锐二面角的平面角为，则，故B错误； 对于C，易知， 则在上的投影为，故C错误； 对于D，由图易知四面体的体积等于长方体的体积减去四个大小相同的小三棱锥的体积， 即，故D正确. 故选：AD 11. 如图，在平行六面体中， 且 ，M为与的交点，设 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可判断选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断选项. 【详解】对于，，故正确； 对于， ，故错误； 对于，， ，， ， 故正确； 对于，，故正确. 故选：. 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用直线相互平行的充要条件即可得出. 【详解】解： 故答案为：3. 13. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为______． 【答案】或13 【解析】 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 14. 如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合题目条件，得到，由四点共面得到方程，求出答案. 【详解】设， 其中，为的中点，， 故, 所以，， 因为四点共面，所以，解得 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点，点O是坐标原点． （1）若直线与直线垂直，求直线方程 （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线方程 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系求解即可； （2）根据截距是否为进行分类讨论求解答案即可. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直，直线即，斜率为， 所以直线斜率为， 又因为直线过点，所以直线方程为，即 【小问2详解】 因为直线在两坐标轴上的截距相等，且直线过点 所以当截距为时，直线方程为， 当截距不为时，设直线方程为， 代入点，得，得，所以直线方程为，即， 所以直线方程为或 16. 如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面．如图建系（若用几何法可不建系，若建系写清建系过程） （1）证明：． （2）已知，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理得出，即可； （2）以A为原点建系，分别计算平面、平面的法向量，计算，再利用同角关系求出正弦值. 【小问1详解】 因为平面平面，平面，平面，所以． 因为平面平面，平面，平面，所以， 所以； 【小问2详解】 以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为 则，即，可取， 设平面的法向量为 则，即，可取， 则， 所以二面角的正弦值为． 【点睛】 17. 已知圆过点，． （1）求圆心所在直线的方程； （2）求圆心在直线上的圆的标准方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线的方程即可； （2）联立方程组求出圆心坐标，再利用两点间距离公式求出半径. 【小问1详解】 由题意可知线段的中点坐标是， ∵直线AB的斜率，且圆心在线段的垂直平分线上， ∴圆心所在直线的方程为，即； 【小问2详解】 由（1）可知，圆心所在直线的方程为， 又圆心也在直线上，则圆心是这两条直线的交点， 联立，得，即圆心的坐标是， ∴半径， ∴所求圆的标准方程是． 18. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、的中点，平面． （1）求证：； （2）求点B到平面的距离； （3）在线段上是否存在点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）存在点满足题意， 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再证明，即可得证； （2）求点到平面的距离即求点到平面的距离，利用三棱锥等体积法求解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以，又底面是正方形，则， 且与是平面内两条相交直线， 所以平面，平面，所以， 又分别是的中点，所以， 所以. 【小问2详解】 因为分别是的中点， 所以， 所以平面即是平面， 由（1）知平面，则平面，平面， ，则， 设点到平面的距离为，由， 得，即， 解得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且， ，， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， ， ，整理得， 解得或（舍）， ，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点． （1）若F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC； （2）若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得平面AEF，说明理由； （3）若F为线段DC的中点，，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥与的体积之比． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面平面PBC； （2）连接AC，BD交于点O，得到O为BD的中点，证得，利用线面平行的判定定理，证得平面ACE，进而得到点F与点C重合时，直线平面AEF，得到结论； （3）连接EF，则四棱锥可分为和两个三棱锥，利用锥体的体积公式，求得四棱锥的体积，再由点G为PC的靠近C的三等分点，分别求得和，根据，求得即可得到答案． 【小问1详解】 证明：在中，因为，且E为线段PB的中点，所以， 又因为底面ABCD，底面ABCD， 所以， 因为，，且AB，平面PAB， 所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以， 因为，且PB，平面PBC， 所以平面PBC，因为平面AEF， 所以平面平面PBC； 【小问2详解】 存在，理由如下： 如图所示，连接AC，BD交于点O，可得O为BD的中点， 因为E为PB的中点，所以， 又因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE， 当点F与点C重合时，此时平面AEF， 即在BC上存在点F，使得平面AEF． 【小问3详解】 如图所示，连接EF，则四棱锥可分为和两个三棱锥， 因为，且底面ABCD， 所以四棱锥的体积为， 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则，，，， 设，其中， 则， 因为A，E，G，F共面， 则存在实数x，y使得， 即， 可得， 解得， 即， 所以G为PC的靠近C的三等分点， 因为F为线段DC的中点，可得， 即， 又因设E到平面PCD的距离为d，B到平面PCD的距离为d1， 则， 所以， 又因为F为线段DC的中点，且平面PAB， 因为，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 所以F到平面PAB的距离等于C到平面PAB的距离，此时距离为， 则， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期第一次月考 高二数学 命题教师：高一备课组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线互相垂直,则实数a的值为 A. -1或2 B. -1或-2 C. 1或2 D. 1或-2 4. 已知点，到直线的距离相等，则（ ） A. 3 B. 或5 C. 3或 D. 或 5. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ） A. 1 B. C. ﹣2 D. ﹣1 10. 已知四面体满足，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影为 D. 四面体的体积为 11. 如图，在平行六面体中， 且 ，M为与的交点，设 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则实数______. 13. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为______． 14. 如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点，点O是坐标原点． （1）若直线与直线垂直，求直线方程 （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线方程 16. 如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面．如图建系（若用几何法可不建系，若建系写清建系过程） （1）证明：． （2）已知，，求二面角的正弦值． 17. 已知圆过点，． （1）求圆心所在直线的方程； （2）求圆心在直线上的圆的标准方程； 18. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、的中点，平面． （1）求证：； （2）求点B到平面的距离； （3）在线段上是否存在点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点． （1）若F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC； （2）若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得平面AEF，说明理由； （3）若F为线段DC的中点，，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥与的体积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $