期中复习讲义（充要条件）（高教版）-2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块上册》（高教版）教材1、2、3章内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括3份复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本专题是2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》（高教版）的期中复习讲义第一部分《充要条件》。 2025-2026学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义—充要条件 核心考点 复习目标 考情规律 命题 理解命题的概念，能判断出所给命题的真假 基础考点，一般出现在选择题中，单纯考查较少 充分必要条件 理解必要条件与充分条件的概念，能判断所给命题之间的关系 高频考点，一般出现在选择题中，基本每年对口高考中均有考查 第一章 充要条件 知识点1 命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 知识点2 充分必要条件 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 一、单选题 1．（23-24高二上·山西晋中·期末）下列语句不是命题的是（   ） A．15是3的倍数 B．15能被3整除吗？ C．3是15的约数 D．3和5是15的约数 2．（23-24高二上·广东·阶段练习）下列命题中的真命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A． B．任意的 C．是有理数 D．任意实数的零次幂都等于1 4．（25-26高二上·广东·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二下·江苏苏州·期末）已知命题：，命题：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高二上·河北·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高二上·湖南·职教高考）已知，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高二上·四川·对口/高职单招）已知且，“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（21-22高一上·新疆喀什·阶段练习）“”是“直线 与直线 平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 1．B 【分析】根据命题的概念判断即可. 【详解】可以判断真假的陈述句叫做命题. 15是3的倍数，是陈述句，且为真，是命题； 15能被3整除吗？不是陈述句，不是命题； 3是15的约数，是陈述句，且为真，是命题； 3和5是15的约数，是陈述句，且为真，是命题. 故选：B. 2．A 【分析】根据不等式的性质和赋值法判断即可. 【详解】A：如果，则说明，所以可得，是真命题； B：如果，当时，则有，是假命题； C：如果，当时，则有，是假命题； D：如果，满足，但，是假命题. 故选：A. 3．B 【分析】根据真假命题的概念对选项逐项分析即可求解. 【详解】对A：因为空集不含有任何元素，所以，故A为假命题； 对B：对于任意，都有，故B为真命题； 对C：因为是无理数，故C为假命题； 对D：除零以外任意实数的零次幂都等于1，故D为假命题. 故选：B. 4．A 【分析】根据含绝对值不等式的解法，和充分必要性的概念，即可解得. 【详解】可化为或，解得或， 所以当时，一定有，即充分性成立， 但当时，不一定有，即必要不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．A 【分析】根据在时特殊角的正弦和余弦值即可判断充分性和必要性． 【详解】∵，∴当时，，∴，充分性成立； ∵，∴当时，或，∴，必要性不成立． ∴当角时，“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 6．A 【分析】根据指数函数单调性求得命题中不等式解集，然后根据充分条件、必要条件判断即可. 【详解】由在上单调递减，所以， 所以能推出，不能推出，所以是的充分不必要条件. 故选：A 7．B 【分析】结合充分条件和必要条件的定义以及指数幂与对数性质求解即可. 【详解】， ， “”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 8．A 【分析】根据题意，结合不等式的性质，及充分性和必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，又，那么一定成立，即充分性成立； 若，又恒成立，所以，即必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 9．C 【分析】由题意求出的范围，再由充要条件的定义即可判断. 【详解】由“指数函数为增函数”可得； 由“一次函数为减函数”可得，即； 所以由“指数函数为增函数”可推得“一次函数为减函数”, 由“一次函数为减函数”可推得“指数函数为增函数”, 即“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的充要条件. 故选：C. 10．D 【分析】由直线平行的条件以及充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】当时，两直线方程分别为和， 此时两直线重合，充分性不成立； 若直线与直线平行， 则当时，两直线方程分别为或，此时两直线不平行， 当时，若两直线平行，则，即且， 解得，即必要性不成立， 故“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 题型一 命题 【典例1】（24-25高二上·江苏·期中）下列语句中，能构成命题的是（   ） A．请帮我解一下这道数学题 B．明天会下雨吗？ C．方程有实数根 D．求证：方程没有实数根 【答案】C 【分析】依据命题的定义，逐个判断选项即可求解. 【详解】在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. C选项是可以判断真假的陈述句，是命题. A、B、D选项均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·河北石家庄·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．正方形是平行四边形 B．2是无理数 C．如果，那么 D． 【答案】B 【分析】根据假命题的概念对选项逐个分析即可. 【详解】正方形是平行四边形，故A为真命题， 2是有理数，故B为假命题， 如果，那么，故C为真命题， ，故D为真命题， 故选：B. 【典例3】（22-23高三·山东·模拟预测）给出下列五个命题：①圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形；②圆柱的所有轴截面是全等的矩形；③矩形绕它的一条对角线旋转一周所得的旋转体是圆柱；④一个棱柱至少有五个面，一个棱锥至少有四个面；⑤经过球面上不同的两点只能作一个大圆．其中正确命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用圆锥、圆柱、棱柱、棱锥、球的结构特征可判断. 【详解】①圆锥的所有轴截面垂直于底面且过圆心则底相等、高相等、两边母线相等，故为全等的等腰三角形，①正确； ②圆柱的所有轴截面垂直于上下两面，且上下边长皆为直径，故为全等的矩形，②正确； ③矩形绕它的一条对角线旋转则左右两边为三角形，三角形旋转得到的圆锥，则矩形绕它的一条对角线旋转一周所得的旋转体是两个底挨着的圆锥，③错误； ④面数最少的棱柱为三棱柱有个面，面数最少的棱锥为三棱柱有个面，④正确； ⑤若这两个点恰好是直径的两个端点，则能做无数个大圆，⑤错误； 综上有个命题正确； 故选：C. 解｜题｜技｜巧 四步解题流程 1.审题与翻译 明确条件(P)与结论(Q)：用笔圈出来。 符号化/数学化：将文字语言翻译成精准的数学语言或符号。例如，“至少有一个”翻译为“∃”，“对所有”翻译为“∀”，“整数”要考虑正负零等。 2.分析逻辑关系 这是一个什么类型的命题？是涉及集合、函数、不等式、几何？ 结论Q是条件P的必要、充分，还是充要条件？这能帮助你理清思路。 3.尝试证明或举反例 首选思路：尝试证明。顺着条件P，运用定义、定理、公式进行推导，看是否能必然得到Q。如果你能严谨地证明出来，命题自然为真。 受阻时：寻找反例。如果在证明过程中发现推不下去，或者需要附加条件才能成立，就要警惕命题可能为假。此时，你的核心任务就是构造一个反例。 反例的关键：它必须满足所有条件P，但明确违反结论Q。 反例要尽可能简单、典型。 4.做出判断并书写 真命题：写出完整的、逻辑清晰的证明过程。 假命题：清晰地展示你的反例，并简要说明它为何满足条件但违背结论 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列语句是命题的是（    ） A． B． C．你们期末考试了吗 D．这是一棵大树 【变式2】（24-25高二上·河北石家庄·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．0是空集的元素 B．0是自然数集N的元素 C．对于任意集合A，都有 D． 【变式3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列说法正确的命题是（    ） A．非常大的全体实数能构成集合 B．空集是任何一个集合的真子集 C．集合用列举法表示为 D．集合中只有一个元素 答案 1、【答案】B 【分析】命题是能判断真假的语句，由命题概念来对四个选项分别进行判断. 【详解】A项：，无法判断真假，所以A不是命题； B项： ，可以判断不正确，所以B是命题； C项：“你们期末考试了吗”是疑问句，命题不能是疑问句，所以C不是命题； D项：“这是一棵大树”无法判断真假，所以D不是命题. 故选：B. 2、【答案】A 【分析】根据空集、自然数集的概念，以及集合交集、并集的概念和性质，结合题意，即可判断求解． 【详解】对于A，空集中没有元素，所以0不是空集的元素，是假命题，故选项A符合题意； 对于B，因为0是自然数，所以0是自然数集N的元素，是真命题，故选项B不符合题意； 对于C，因为空集是任何集合的子集，所以对于任意集合A，都有，是真命题，故选项C不符合题意； 对于D，根据交集的性质，可得，是真命题，故选项D不符合题意； 故选：A． 3、【答案】D 【分析】根据集合的概念判定即可解得. 【详解】选项A：“非常大的全体实数能构成集合”中描述对象不确定，错误. 选项B：空集是任何一个集合的真子集，但空集不是本身的真子集，错误. 选项C：集合用列举法表示为，错误. 选项D：集合中只有一个元素，正确. 故选：D. 题型二 与集合有关的充分必要条件 【典例1】（24-25高二下·广东·期末）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合集合间的包含关系判断. 【详解】若，则，所以有； 反之，若，则或，即或. 因此可以推出，但不一定能推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）设是三个集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由交集的性质结合充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】若， 则，但， 所以由，不一定有，所以充分性不成立， 反之，由，一定可得，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 解｜题｜技｜巧 集合包含关系法（最直观、最常用） 这是解决集合问题的最强大工具。将条件转化为集合，然后通过维恩图或集合运算来判断包含关系。 解题步骤： 将命题转化为集合：明确命题P和Q分别对应哪些元素的集合。 画出集合关系图：用维恩图表示出集合P和Q。 判断包含关系： 如果 P ⊆ Q，则P是Q的充分不必要条件。 如果 Q ⊆ P，则P是Q的必要不充分条件。 如果 P = Q，则P是Q的充要条件。 如果 P ⊈ Q 且 Q ⊈ P（即P与Q有交集但不互相包含），则P是Q的既不充分也不必要条件。 【变式1】（2024高三·广东·专题练习）设集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）对于结论“”成立的充分条件，以下说法错误的是（   ） A． B．集合N中的元素都是集合M的元素 C．集合M中的元素是集合N的元素 D． 答案 1、【答案】A 【分析】判断与的关系确定充分条件或必要条件即可. 【详解】集合，， 若则，则可推出， 若则或，不能推出， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2、【答案】B 【分析】根据子集及充分条件的概念判断即可. 【详解】对于A，若，则，故是的充分条件； 对于B，若集合N中的元素都是集合M的元素，则， 如，此时不能推出， 故“集合N中的元素都是集合M的元素”不是的充分条件； 对于C，若集合M中的元素是集合N的元素，则， 故“集合M中的元素是集合N的元素”是的充分条件； 对于D，若，则， 故是的充分条件. 故选：B. 题型三 与不等式有关的充分必要条件 【典例1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知条件甲：，条件乙：，那么甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的解法，结合充分不必要条件的概念即可求解. 【详解】由题意得，条件乙：等价于． 因为，，所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A． 【典例2】（2025高三下·全国·专题练习）的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出不等式的解集，再根据充分不必要条件的判断方法求解. 【详解】，解得或， 设集合或， 所以的一个充分不必要条件为集合的真子集， 所以是的一个充分不必要条件， 而，，不满足题意. 故选：A. 【典例3】（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知，且，则“”是“”成立的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质结合充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，成立，故充分性成立； 当成立时，因为，所以，但不一定成立， 例如当时，满足，但此时， 故“”是“”成立的充分不必要条件， 故选：. 解｜题｜技｜巧 1．解集比较法（最常用） 核心思路： 分别求出P和Q的解集，然后在数轴上比较 2．直接推导法（逻辑证明） 核心思路： 尝试从P推导Q，再从Q推导P，看推导是否成立 3. 特殊值检验法（快速证伪） 核心思路： 当怀疑某个条件不成立时，用具体数值验证 【变式1】（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）“”是“”的（    ）条件． A．充分 B．必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式2】（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）“”是“”的（       ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件. 答案 1、【答案】A 【分析】根据充分条件及必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，一定成立，故充分性成立； 当时，不一定成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分条件， 故选：. 2、【答案】A 【分析】根据含绝对值不等式的解法和充分必要条件的概念即可求解. 【详解】若则，故充分性成立； 若解得，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型四 与三角函数有关的充分必要条件 【典例1】（24-25高三下·山东·职教高考）已知，则“”是“”的什么条件（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角形函数的诱导公式进行化简，再根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】根据诱导公式，. 所以，“”可以推出“”. “”也可以推出“”. 故已知，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 【典例2】（24-25高三下·江西·二模）“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】要判断“”是“是直角三角形”的何种条件，需分两步：先判断充分性（由sin能否推出是直角三角形），再判断必要性（由是直角三角形能否推出，最后根据充分性和必要性的结果确定条件类型．在判断充分性时，利用三角函数的诱导公式和三角函数的性质，在判断必要性时，因为三角形直角顶点未知，可直接采用特值法即可判断． 【详解】已知，则， 故，或， ∴，或， “”不能推出“为直角三角形”； 反之，比如，显然不成立，故后者推不出前者， ∴“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 解｜题｜技｜巧 解决三角函数充分必要条件问题的关键是： 1、始终牢记定义域 2、写出完整通解（不要漏解） 3、善用数轴和图象直观判断 4、巧用特殊值快速验证 【变式1】（24-25高二下·浙江温州·期末）在中，是的什么条件（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，“”是“”的什么条件（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案 1、【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】在中，若，则，充分性成立， 在中，，若，则，必要性成立， 所以在中，是的充要条件， 故选：A. 2、【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】在中，若，则，故充分性成立， 在中，若，则，故必要性成立， 所以在中，“”是“”的充要条件. 故选：A. 题型五 与直线、圆有关的充分必要条件 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）“”是“实系数一元二次方程没有实根”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由实系数一元二次方程没有实根求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为实系数一元二次方程没有实根， 所以，解得， 所以“”是“实系数一元二次方程没有实根”的充要条件. 故选：C. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）“”是“直线与互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线垂直解得的取值范围，再判断“”与“两直线垂直”的关系. 【详解】由题意得：的充要条件是， 即，解得， 因为，， 故“”是“直线：与：互相垂直”的充分不必要条件． 故选：A. 解｜题｜技｜巧 1.明确几何条件 准确理解P和Q的几何含义 画出草图帮助理解 2.转化为代数条件 将几何关系用距离、方程、坐标等表示 注意定义域和约束条件 3.分析集合关系 确定满足P的点的集合 确定满足Q的点的集合 比较两者的包含关系 4.应用核心法则 根据"小充分，大必要"判断 注意边界情况 5.验证特殊情况 检查相切、重合、平行等特殊情况 验证参数取极端值的情况 【变式1】（24-25高三下·浙江·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二下·四川南充·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 1、【答案】A 【分析】根据方程表示圆得出，再由充分条件与必要条件的概念运算即可. 【详解】由“方程表示圆”， 得，解得， 因为由“”可推出“”， 但“”无法推出“”， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A. 2、【答案】C 【分析】根据直线平行的条件，充要条件的概念即可求解. 【详解】由题意得，当时，直线，则平行， 当“直线与直线平行”，则， 解得或，当时，重合，舍去，即. 所以“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C. 题型六 与函数有关的充分必要条件 【典例1】（24-25高三下·四川自贡·三模）已知，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据对数函数和指数函数的性质求解不等式，再根据充分必要条件的概念即可求解. 【详解】由得到，即， 将两边立方，可得，即， 即，， 故是的充分不必要条件， 故选：A. 【典例2】（24-25高二上·江西宜春·期末）“”是“方程有实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】若方程有实根，则，解得， 则当，则方程有实根，故充分性成立； 当方程有实根时，不一定成立，故必要性不成立， 所以“”是“方程有实根”的充分不必要条件， 故选：. 【典例3】（2025高三·广东·专题练习）“且”是“经过第一、二、四象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由一次函数的图像与斜率、截距的关系，分别判断充分条件和必要条件. 【详解】且斜率小于且截距大于，经过第一、二、四象限， 由一次函数图像可知，经过第一、二、四象限且， ∴“且”是“经过第一、二、四象限”的充要条件， 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1.明确条件P和Q：准确理解题目中P和Q的含义，特别是涉及函数性质时。 2.转化为集合或定义：将条件转化为集合关系或利用定义进行推导。 3.尝试证明P⇒Q和Q⇒P：从两个方向进行推理，看是否成立。 4.寻找反例：如果某个方向不成立，构造反例。 5.注意定义域和值域：函数问题中，定义域和值域的限制往往很重要。 6.考虑特殊情况：如常数函数、分段函数、不可导点等。 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二下·福建·模拟预测）已知函数，条件该函数的图象过点，结论，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 1、【答案】A 【分析】根据充分性与必要性的定义结合对数的定义及单调性即可得解. 【详解】因为函数，，所以在上为增函数， 则当时，成立，故充分性成立； 当，对数无意义，故必要性不成立； 故“”是“”充分而不必要条件， 故选：. 2、【答案】C 【分析】通过给定的函数条件和点的坐标，判断两个条件之间的逻辑关系即可判断. 【详解】因为： 函数的图象过点，将点代入函数中， 可得，即， 所以是的充分条件， 又： ，对于函数，当时，， 因为，所以，这表明函数的图象过点， 即，所以是的必要条件， 综上所述，是的充要条件. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $