第2章 函数（知识清单）数学北师大版2019必修第一册

第2章 函数 知识点一、函数的概念 1.函数的概念 (1)函数的定义： 一般地，设是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应；那么就称为从集合到集合的一个函数．记作，. (2)函数的定义域、值域： 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． （3）函数的四个特征： ⅰ）非空性：函数定义中的集合必须是两个非空集合并且是数集.如，就不是函数（定义域为空集）； ⅱ）任意性：中任意一个数都要考虑到，即中每一个元素都有函数值； ⅲ）唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应； ⅳ）方向性：函数是从一个定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应关系就不一定是函数. 2.函数的三要素 由函数的概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域. （1）定义域：函数的定义域就是自变量的取值范围.有时函数的定义域可以省略不写，如果没有特殊说明，函数的定义域是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数的集合. （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或“方法”，按照这一“程序”,从定义域中任取一个，可在值域中找到唯一的与之对应，同一“”可以“操作”不同形式的变量. （3）值域：对于定义域内函数，其值域就是指集合. 知识点二、函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）如果是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的集合的公共部分. （5）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （6）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 知识点三、函数的表示方法 1.函数有三种表示方法:解析式、列表法、图像法： 2.函数的三种表示方法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 3.求函数解析式的四种常用方法 ①待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． ②换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令t＝g(x)，反解出，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). 注：配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． ③方程组法(或消元法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数, 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).特别地，当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． ④赋值法：赋值法求函数的解析式：当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式，具体取什么特殊值，要根据题目特征而定. 知识点四、函数的值域 1.值域的概念： 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． 2.常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. ③反比例函数的定义域为，值域为 3.求函数值域常见的方法： ①观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； ②配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； ③分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； ④换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． ⑤基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； ⑥判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 知识点五、分段函数概念 1.定义： 一般地，在定义域不同的部分，有不同的解析式，像这样的函数叫作分段函数. 2.理解： ⅰ）分段函数是一个函数，而不是几个函数 ⅱ）写分段函数的定义域时，区间的端点位置要不重不漏 ⅲ）处理分段函数问题时，先要确定自变量的取值属于哪一段，然后选取相应的对应关系. ⅳ)分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集；分段函数的最大（小）值则是分别在每段上求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大（小）值. 3.分段函数的图象 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段定义区间和表达式依次画图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，将每段图像组合到一起就得到整个分段函数的图象. 知识点六、函数的图像 1.作函数图象时分以下三个步骤： ①列表．先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来． ②描点．把第(1)步表格中的点一一在坐标平面上描出来． ③连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． 2.函数图象变换 （1）函数图象的平移变换（左“+”右“-”只对x而言；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ （2）函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； （3）函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 知识点七、函数的单调性概念 1.函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 特别说明：（1）概念中的注意点：定义中的x1，x2有以下3个特征 ①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； ②有大小，通常规定x1<x2； ③属于同一个单调区间． （2）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数. （3）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. （4）当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． 2.常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在R上单调递增； 时，在R上单调递减. 反比例函数 时，单调递减区间是和； 时，单调递增区间是和. 二次函数 时，单调递减区间是，单调增区间是 时，单调递减区间是，单调增区间是. 的增区间是和，减区间是和. 的增区间是和，减区间是和. 3.函数单调性的性质和函数单调性运算性质 （1）函数单调性的几种等价形式 ①若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，如函数y＝. ②对增函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对减函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. （2）若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质. ①与（C为常数）具有相同的单调性. ②若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性. ③若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. ④若，则与具有相同的单调性. ⑤在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当都是增（减）函数，若两者都恒大于零，则也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则是减（增）函数. 知识点八、函数奇偶性的概念 1.奇偶性的定义 定义 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征和图像特征 定义域特征：定义域必须是关于原点对称的区间 图像特征：偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称 等价形式 设函数的定义域为，则有是偶函数，都有，且；是奇函数如果，都有，且.特别地，若，还可以判断是否成立. 2.函数奇偶性的基本性质 （1）若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质： ① 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）； ③图像关于y轴对称； ④偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性 （2）奇函数的性质 若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质： ①定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）； ③图像关于原点（0,0） 对称； ④若在处有意义，则f（0）=0; ⑤奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。 ⑥奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。 知识点九、幂函数的概念 1.幂函数的定义 形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  2.幂函数的特征： 幂函数要同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.幂函数图像与性质 （1） 幂函数图像 （2）幂函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4.幂函数的特性 ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 【易错点】01 错求抽象函数的定义域 辨析： 定义域不是指的范围，而是指的范围. 【典例1】函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【解析】根据抽象函数求定义域的基本原则可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域.函数定义域为，对于函数，有， 解得且 因此函数的定义域为. 故答案为：. 【典例2】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是，故选：C. 【易错点】02 忽略二次型式子中最高项的系数为0 辨析：在二次型函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。 【典例1】已知函数的定义域为，则实数k的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，恒成立， 当时，即，很显然不满足， 当时，有，解得. 综上可得，.故选：B 【典例2】函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由函数的定义域为，得对恒成立． 当时，恒成立； 当时，，解得． 综上所述的取值范围为．故选：C． 【易错点】03 判断函数奇偶性时忽视定义域 辨析：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数。 【典例1】下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项：令，则， 不具有奇偶性，所以不符合题意； B选项：令，则，， 所以函数为奇函数，但在定义域内不具有单调性，所以不符合题意； C选项：令，因为定义域不关于坐标原点对称， 所以不具有奇偶性，所以不符合题意； D选项：令，， 即，所以函数为奇函数，又， 所以时，单调递减，时，单调递减，满足题意.故选：D 【典例2】判断下列函数的奇偶性． （1）f（x）＝（x＋1）； （2）f（x） （3）f（x）＝. 【答案】（1）f（x）不具有奇偶性;（2）f（x）为奇函数;（3）f（x）是奇函数 【解析】（1）由题知≥0，所以－1＜x≤1，所以f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）不具有奇偶性. （2）（解法1：定义法）当x＞0时，f（x）＝－x2＋2x＋1， －x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2（－x）－1＝x2－2x－1＝－f（x）； 当x＜0时，f（x）＝x2＋2x－1，－x＞0，f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＋1＝－x2－2x＋1＝－f（x）. 所以f（x）为奇函数. （解法2：图象法）作出函数f（x）的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f（x）为奇函数. （3）由得－2≤x≤2且x≠0. 所以f（x）的定义域为[－2，0）∪（0，2]，关于原点对称， 所以f（x）＝＝，f（－x）＝＝－f（x），所以f（x）是奇函数. 【易错点】04 解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论 辨析：在二次函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线．在解決此类问题时，应注意项的系数是否为0，若不能确定，应该分类讨论． 【典例1】对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 当，即时，，恒成立； 时，，解得， 故选 【典例2】已知对任意恒成立，则__________． 【答案】  【解析】 令，解得，故，即，所以，所以对任意恒成立，所以即解得， 同理对任意恒成立可得a的取值范围，综上得，  重难点01 函数概念的理解 理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 1．（25-26高一·北京·阶段练习）下列图形可以表示函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数概念一个只能对应一个，逐项判断即可. 【详解】由图象可知C符合，ABD都出现一个对应多个的情况， 所以C对，ABD错误. 故选：C 2．【多选】（25-26高三·山西长治·开学考试）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 3．（25-26高三·广东·阶段练习）设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义一一判定选项即可. 【详解】集合到集合的函数即集合中的任意元素，在对应关系作用下，集合中都有唯一元素与之对应， 对于A，由图象可知符合函数的定义，即A正确； 对于B，显然定义域没有取尽集合中的元素，不符合函数定义，即B错误； 对于C，显然对于中的元素，中与之对应的元素并不唯一， 如时，对应值有2个，即C错误； 对于D，由图象，显然时，或，也不符函数定义，即D错误. 故选：A 重难点02 函数求值或求参数 函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4．（25-26高三·黑龙江·开学考试）已知函数满足，则 【答案】2 【分析】令，代入计算即可． 【详解】令，所以． 故答案为：2 5．（25-26高三·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】通过赋值法先求出，继而求得. 【详解】由得， 令，则，得； 令，则，得； 令，则，得. 故选：A. 6．（25-26高三·山东·阶段练习）《再别康桥》是中国现代诗人徐志摩的诗作，是新月派诗歌的代表作，诗中写道： 轻轻的我走了， 正如我轻轻的来； 我轻轻的招手， 作别西天的云彩； 那河畔的金柳， 是夕阳中的新娘； 波光里的艳影， 在我的心头荡漾. …… 若定义该诗的第行的字数（标点符号不计入字数）为，则 ． 【答案】6 【分析】根据函数定义求函数值即可． 【详解】因为该诗的第2行有7个字，第7行有6个字，所以． 故答案为：6． 7．（2025高一·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 8．（2025高一·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从外到内逐步求值． 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 重难点03 求函数的定义域 求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 9．（25-26高一·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件列不等式组求函数定义域. 【详解】要使函数有意义，则且. 所以所求函数的定义域为. 故选：C 10．（25-26高一·广东广州·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据根式的性质以及分母不为0，得到关于x的不等式组，解出即可. 【详解】根据题意，可得且， 所以函数定义域为. 故答案为： 11．（25-26高三·河南·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数有意义可得，进而求解不等式即可. 【详解】由，得，即，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：D. 12．（25-26高一·浙江·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解. 【详解】由函数的定义域为，所以， 所以的定义域为，所以， 则的定义域为，故A正确. 故选：A. 13．（25-26高三·重庆渝北·阶段练习）已知函数的定义域为则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域的求法结合偶次根式有意义的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】由于函数的定义域为所以，则, 所以的定义域满足,解得：, 所以的定义域为：； 故选：B 重难点04 根据函数的定义域求参 已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数方程或不等式，然后求解． 14．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 15．（2025高二·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 16．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 重难点05 相同函数 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 17．（25-26高一·河北唐山·阶段练习）下列函数中与函数是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对AB从函数定义域出发即可判断，对C，从对应法则即可判断，对D化简即可判断. 【详解】对A，的定义域为，而原函数的定义域为，故两者不是同一个函数，故A错误； 对B，的定义域为，而原函数的定义域为，故两者不是同一个函数，故B错误； 对C，，两者对应法则不同，故两者不是同一个函数，故C错误； 对D，与是同一函数，故D正确. 故选：D. 18．（2025高一·浙江嘉兴·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】判断定义域及对应关系是否相同即可得. 【详解】对A：定义域为，定义域为，故A错误； 对B：令，解得，所以定义域为 令，解得或，则定义域为，故B错误； 对C：定义域为，定义域为，故C错误； 对D：，，故D正确. 故选：D. 19．（25-26高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．， 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 20．（2025高一·吉林四平·阶段练习）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（   ） A．， B．与 C．与 D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件结合同一函数的意义逐一分析即可判断各选项． 【详解】对于A，函数定义域是，定义域是，故A错误； 对于B，函数定义域是，定义域是，故B错误； 对于C，函数定义域，定义域是，与的对应法则相同，故C正确； 对于D，由，解得，则函数定义域是， 又，解得或，则定义域是，故D错误． 故选：C． 重难点06 求函数的值域 （1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． （5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 21．（25-26高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 22．（25-26高一·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 23．（2025高一·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 24．（2025高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 25．（2025高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 26．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，再根据二次函数相关性质即可求得结果； （2）先求得函数定义域，再求出二次函数最值即可求得其值域. 【详解】（1）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （2）由题意得：，即， 所以函数定义域为， ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 重难点07 已知函数的值域求参数或取值范围 值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决. 27．【多选】（2025高一·广东深圳·期中）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先作出函数图象；再利用数形结合思想，注意区间端点，即可得出答案. 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 28．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则 ， ． 【答案】 3 【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果. 【详解】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   29．（2025高二·黑龙江·期末）已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为 【答案】 【分析】利用二次函数的定义域即为满足条件的解集，即可判断开口方向和二次函数的零点，从而得到参数的两个关系式，再利用值域中的最大值，即为二次函数的最大值开方，则再得到一个相等关系，从而利用消元法，即可解得参数. 【详解】由于的值域为，所以， 的定义域为，则方程的两根为， 所以， 则抛物线的对称轴为 ， 故答案为：. 30．（2025高一·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 31．（2025高一·全国·课后作业）若函数在区间内的值域为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分情况讨论，结合单调性即可求. 【详解】当时，， 所以在区间内单调递增，值域为， 所以，解得， 所以； 当时，， 所以在区间内单调递减，值域为， 则，，解得， 所以； 当时，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 故值域为或， 若,则； 若,则， 综上，的取值范围为． 故答案为： 重难点08 求函数的解析式 (1)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． (2)换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. (3)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， (4)方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 32．（25-26高一·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得， 因此，解得，所以． 故选：A 33．（2025高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 34．（25-26高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求出，进而求出. 【详解】令，则，， 所以. 故选：C 35．（25-26高三·内蒙古·开学考试）设定义在上的函数满足，则的最小值是（    ） A．16 B．25 C．20 D．36 【答案】B 【分析】应用换元法求解析式，再结合基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】对于，以代替，得， 则， 得，则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是25． 故选：B. 36．（25-26高一·全国·课后作业）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3），求； （4）已知函数求． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）令，表示出，代入化简，最后对应即可得到答案 （2）分别将与代入解析式，解出与即可得到答案 （3）方法一：配凑法，，代入原式，再用代替即可得到答案 方法二：换元法：令，，得，化简得到答案 （4）讨论，的的取值范围，得到对应表达式，代入即可得到答案 【详解】解（1）令，又， 所以， 所以，故． （2）由题可得，与联立，所以，则，故． （3）方法一：配凑法．因为， 所以． 方法二：换元法．令，，则，则，所以． （4）①当时，，此时， ②当时，，此时， ③当时，，， 综上所述， 重难点09 分段函数求值或求参数 1.分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 37．（2025高一·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案. 【详解】，所以， 故选：D. 38．（2025·江西上饶·模拟预测）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况解方程即可求解. 【详解】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 39．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式结合已知条件，求得参数，再求函数值即可. 【详解】由，是减函数，可知当时，， 所以，则， 由，得，解得， 所以. 故选：B. 重难点10 分段函数解不等式 分类求出各子区间上的解，再将它们合并在一起，但要检验所求是否符合相应各段自变量的取值范围。 40．（2025高二·黑龙江大庆·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数解析式分两段得到不等式，分别解两个不等式取并集即可. 【详解】根据题意，由于函数， 那么可知当，则，解得； 当，则，即，解得或， 综上，不等式的解集是. 故选：A. 41．（25-26高一·河南南阳·阶段练习）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式． 【详解】因为， 当时，，不合题意； 当时，， 不等式可得，解得，所以； 当时，， 所以不等式等价于，即得解得， 所以. 综上可得. 故选：A 42．（2025高一·浙江绍兴·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 43．（2025·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】因为 ，所以，， 则，即， 的函数图象如图所示：    由函数图象可知当时，且在上单调递减， 所以等价于，即， 解得，即. 故选：A. 重难点11 分段函数的图像 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 44．（2025高一·河南平顶山·期末）定义运算，则函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据运算得到函数解析式作图判断. 【详解】， 其图象如图所示： 故选：B 45．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 46．（2025高一·广东广州·期中）定义，若函数，若在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求的解析式并作出图象，结合图象求出的最大值，即可得解. 【详解】令，则有： 当时，则，即当不成立； 当时，则，解得； ∴，如图所示： 令，解得或（舍去）， 令，解得或（舍去）， 令，解得或， ∵在区间上的值域为，则或， 又∵， 故区间长度的最大值为. 故选：B. 重难点12 定义法判断或证明函数的单调性 利用定义判断或证明函数单调性的步骤 47．（2025高二·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 48．（25-26高一·全国·课后作业）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【详解】（1）任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 49．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 50．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴，∴是上的增函数； （2）任意的，都有， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为． 51．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证； （2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证； （3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又， 所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 重难点13 求函数的单调区间 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．　 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 52．（25-26高一·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 53．（2025高一·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 54．（2025高一·江苏·阶段练习）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将写成分段函数判断即可. 【详解】，故单调增区间是. 故选：C 55．（25-26高二·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 56．（2025高三·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 重难点14 已知单调性求参数的范围 由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 注：已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　 57．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 58．（2025高二·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】函数在上为增函数， 等价于，即， 所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 59．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 60．（2025高一·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 61．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 重难点15 函数奇偶性求值或解析式 1.用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 2.利用奇偶性求值的常见类型 求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 62．（2025高一·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. 63．（2025高一·北京·期中）已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】令，，即可判断、的奇偶性，再根据奇偶性求出. 【详解】令，，， 则，， 所以为奇函数，为偶函数， 又，且，， 所以，， 又， 所以. 故答案为： 64．（2025高一·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 65．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 重难点16 函数奇偶性求参数 求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． 66．（25-26高一·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 67．（25-26高三·吉林长春·阶段练习）已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由函数为奇函数，求得，即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以，可得：， 所以，. 故选：C 68．（2025·全国·模拟预测）已知为奇函数，则（    ） A．－4 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据函数是奇函数应用定义列式计算求参. 【详解】因为为奇函数，定义域为， 则， 所以，则， 此时， 则，满足题意 故. 故选：B. 69．（2025高三·全国·专题练习）函数且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，，然后由定义域讨论与0的大小可得答案. 【详解】由题可得为奇函数，. 当时，函数有意义，则， 所以定义域为：. 此时，则为奇函数满足题意， 此时，当且仅当取等号； 当时，函数有意义，则， 定义域为：. 由为奇函数，而，不满足题意. 综上，. 故选：A 重难点17 函数单调和奇偶性解不等式 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 70．（2025高一·四川广安·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出函数的图像的示意图，不等式等价于或，结合图像求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图像的示意图如图所示，    由图像知当或时，；当时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 71．（25-26高三·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 72．（25-26高三·福建福州·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当且时，都有成立， 不妨设，则， 则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 重难点18 幂函数的定义及应用 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 73．（25-26高一·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 74．（2025高一·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合可求得的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】设，则，所以，故， 因此. 故选：A. 75．（2025高二·广西南宁·期末）“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】求得为幂函数时的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，为幂函数，故充分性满足； 当为幂函数时，， 即，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 重难点19 幂函数的图象 解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 76．（2025高一·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论. 【详解】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 77．（25-26高一·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 78．（2025高一·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 79．（2025高一·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D. 【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 80．（2025高三·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 重难点20 幂函数的性质 1、比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 2、利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．　 3、解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 81．（2025高一·江苏南京·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，不是奇函数，A不是； 对于B，函数是R上的偶函数，B不是； 对于C，幂函数在上单调递减，C不是； 对于D，幂函数是奇函数，且在上单调递增，D是. 故选：D 82．（2025高一·云南昭通·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 83．（25-26高一·全国·单元测试）已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数的概念求出或，再根据幂函数在上的单调性进行选择. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或． 因为且都有成立， 所以在上单调递减，所以． 故选：D 84．（2025高二·广东深圳·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性求解不等式. 【详解】已知幂函数在上单调递减，则 解不等式得：，所以 此时幂函数为，其图像关于轴对称，满足条件，所以 将代入不等式，得： 因为幂函数在上单调递增，所以由 可得： 解不等式，得： 满足不等式的的取值范围是 故选：D. 85．（2025高二·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则 . 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性得到，再利用奇函数和偶函数的定义逐个检验即可. 【详解】因为是幂函数且在区间上单调递增，所以， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是偶函数，符合题意， 当时，，定义域为，与题意不符，故排除， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是奇函数，不符合题意，故排除. 故答案为：. 86．（2025高一·福建福州·期中）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可. 【详解】因为幂函数是偶函数， 所以且为偶数， 所以或， 又因为幂函数在上是减函数， 所以，即，所以. 故答案为：. 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 函数 知识点一、函数的概念 1.函数的概念 (1)函数的定义： 一般地，设是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应；那么就称为从集合到集合的一个函数．记作，. (2)函数的定义域、值域： 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的 ；与的值相对应的值叫做 ，函数值的集合叫做函数的 ．显然，值域是集合的子集． （3）函数的四个特征： ⅰ）非空性：函数定义中的集合必须是两个非空集合并且是数集.如，就不是函数（定义域为空集）； ⅱ）任意性：中任意一个数都要考虑到，即中每一个元素都有函数值； ⅲ）唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应； ⅳ）方向性：函数是从一个定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应关系就不一定是函数. 2.函数的三要素 由函数的概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域. （1）定义域：函数的定义域就是自变量的取值范围.有时函数的定义域可以省略不写，如果没有特殊说明，函数的定义域是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数的集合. （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或“方法”，按照这一“程序”,从定义域中任取一个，可在值域中找到唯一的与之对应，同一“”可以“操作”不同形式的变量. （3）值域：对于定义域内函数，其值域就是指集合. 知识点二、函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）如果是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的集合的公共部分. （5）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （6）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 知识点三、函数的表示方法 1.函数有三种表示方法:解析式、列表法、图像法： 2.函数的三种表示方法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 3.求函数解析式的四种常用方法 ①待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． ②换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令t＝g(x)，反解出，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x). 注：配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． ③方程组法(或消元法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数, 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).特别地，当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． ④赋值法：赋值法求函数的解析式：当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式，具体取什么特殊值，要根据题目特征而定. 知识点四、函数的值域 1.值域的概念： 在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． 2.常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是 . ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是 ， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. ③反比例函数的定义域为，值域为 3.求函数值域常见的方法： ①观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； ②配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； ③分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； ④换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． ⑤基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； ⑥判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 知识点五、分段函数概念 1.定义： 一般地，在定义域不同的部分，有不同的解析式，像这样的函数叫作 . 2.理解： ⅰ）分段函数是一个函数，而不是几个函数 ⅱ）写分段函数的定义域时，区间的端点位置要不重不漏 ⅲ）处理分段函数问题时，先要确定自变量的取值属于哪一段，然后选取相应的对应关系. ⅳ)分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集；分段函数的最大（小）值则是分别在每段上求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大（小）值. 3.分段函数的图象 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段定义区间和表达式依次画图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，将每段图像组合到一起就得到整个分段函数的图象. 知识点六、函数的图像 1.作函数图象时分以下三个步骤： ①列表．先找出一些有代表性的自变量的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格的形式表示出来． ②描点．把第(1)步表格中的点一一在坐标平面上描出来． ③连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． 2.函数图象变换 （1）函数图象的平移变换（左“+”右“-”只对x而言；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ （2）函数图象的对称变换 ①的图象 的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； （3）函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象 的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 知识点七、函数的单调性概念 1.函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 特别说明：（1）概念中的注意点：定义中的x1，x2有以下3个特征 ①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； ②有大小，通常规定x1<x2； ③属于同一个单调区间． （2）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数. （3）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. （4）当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． 2.常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在R上单调递增； 时，在R上单调递减. 反比例函数 时，单调递减区间是和； 时，单调递增区间是和. 二次函数 时，单调递减区间是，单调增区间是 时，单调递减区间是，单调增区间是. 的增区间是和，减区间是和. 的增区间是和，减区间是和. 3.函数单调性的性质和函数单调性运算性质 （1）函数单调性的几种等价形式 ①若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，如函数y＝. ②对增函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代： 或 对减函数的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代： 或 （2）若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质. ①与（C为常数）具有相同的单调性. ②若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性. ③若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. ④若，则与具有相同的单调性. ⑤在的公共单调区间上，有如下结论： 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当都是增（减）函数，若两者都恒大于零，则也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则是减（增）函数. 知识点八、函数奇偶性的概念 1.奇偶性的定义 定义 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 ，那么函数叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 ，那么函数叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征和图像特征 定义域特征：定义域必须是关于原点对称的区间 图像特征：偶函数图象关于 对称；奇函数图象关于 对称 等价形式 设函数的定义域为，则有是偶函数，都有，且；是奇函数如果，都有，且.特别地，若，还可以判断是否成立. 2.函数奇偶性的基本性质 （1）若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质： ① 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）； ③图像关于y轴对称； ④偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性 （2）奇函数的性质 若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质： ①定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; ②对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）； ③图像关于原点（0,0） 对称； ④若在处有意义，则f（0）=0; ⑤奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。 ⑥奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。 知识点九、幂函数的概念 1.幂函数的定义 形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  2.幂函数的特征： 幂函数要同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为 ； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.幂函数图像与性质 （1） 幂函数图像 （2）幂函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4.幂函数的特性 ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 【易错点】01 错求抽象函数的定义域 辨析： 定义域不是指的范围，而是指的范围. 【典例1】函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【典例2】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【易错点】02 忽略二次型式子中最高项的系数为0 辨析：在二次型函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。 【典例1】已知函数的定义域为，则实数k的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【典例2】函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【易错点】03 判断函数奇偶性时忽视定义域 辨析：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数。 【典例1】下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（    ） A． B． C． D． 【典例2】判断下列函数的奇偶性． （1）f（x）＝（x＋1）； （2）f（x） （3）f（x）＝. 【易错点】04 解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论 辨析：在二次函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线．在解決此类问题时，应注意项的系数是否为0，若不能确定，应该分类讨论． 【典例1】对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知对任意恒成立，则__________． 重难点01 函数概念的理解 理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 1．（25-26高一·北京·阶段练习）下列图形可以表示函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．【多选】（25-26高三·山西长治·开学考试）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·广东·阶段练习）设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 重难点02 函数求值或求参数 函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 4．（25-26高三·黑龙江·开学考试）已知函数满足，则 5．（25-26高三·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 6．（25-26高三·山东·阶段练习）《再别康桥》是中国现代诗人徐志摩的诗作，是新月派诗歌的代表作，诗中写道： 轻轻的我走了， 正如我轻轻的来； 我轻轻的招手， 作别西天的云彩； 那河畔的金柳， 是夕阳中的新娘； 波光里的艳影， 在我的心头荡漾. …… 若定义该诗的第行的字数（标点符号不计入字数）为，则 ． 7．（2025高一·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 8．（2025高一·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 重难点03 求函数的定义域 求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 9．（25-26高一·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一·广东广州·阶段练习）函数的定义域为 . 11．（25-26高三·河南·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一·浙江·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三·重庆渝北·阶段练习）已知函数的定义域为则的定义域为（    ） A． B． C． D． 重难点04 根据函数的定义域求参 已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数方程或不等式，然后求解． 14．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 15．（2025高二·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 16．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 重难点05 相同函数 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 17．（25-26高一·河北唐山·阶段练习）下列函数中与函数是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025高一·浙江嘉兴·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D．， 19．（25-26高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．， 20．（2025高一·吉林四平·阶段练习）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（   ） A．， B．与 C．与 D．， 重难点06 求函数的值域 （1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解； （2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解； （3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解； （4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． （5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值； （6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解． 21．（25-26高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 22．（25-26高一·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 23．（2025高一·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 24．（2025高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 25．（2025高一·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 26．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域． (1)； (2). 重难点07 已知函数的值域求参数或取值范围 值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决. 27．【多选】（2025高一·广东深圳·期中）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 28．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则 ， ． 29．（2025高二·黑龙江·期末）已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为 30．（2025高一·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 31．（2025高一·全国·课后作业）若函数在区间内的值域为，则的取值范围为 ． 重难点08 求函数的解析式 (1)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． (2)换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. (3)配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， (4)方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 32．（25-26高一·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 33．（2025高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高三·内蒙古·开学考试）设定义在上的函数满足，则的最小值是（    ） A．16 B．25 C．20 D．36 36．（25-26高一·全国·课后作业）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3），求； （4）已知函数求． 重难点09 分段函数求值或求参数 1.分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 37．（2025高一·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 38．（2025·江西上饶·模拟预测）设，若，则（    ） A． B． C． D． 39．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 重难点10 分段函数解不等式 分类求出各子区间上的解，再将它们合并在一起，但要检验所求是否符合相应各段自变量的取值范围。 40．（2025高二·黑龙江大庆·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高一·河南南阳·阶段练习）已知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 42．（2025高一·浙江绍兴·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 43．（2025·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 重难点11 分段函数的图像 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 44．（2025高一·河南平顶山·期末）定义运算，则函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 45．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 46．（2025高一·广东广州·期中）定义，若函数，若在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 重难点12 定义法判断或证明函数的单调性 利用定义判断或证明函数单调性的步骤 47．（2025高二·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 48．（25-26高一·全国·课后作业）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 49．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 50．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 51．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 重难点13 求函数的单调区间 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．　 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 52．（25-26高一·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 53．（2025高一·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 54．（2025高一·江苏·阶段练习）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 55．（25-26高二·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 56．（2025高三·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 重难点14 已知单调性求参数的范围 由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 注：已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　 57．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 58．（2025高二·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 59．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（2025高一·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 61．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点15 函数奇偶性求值或解析式 1.用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 2.利用奇偶性求值的常见类型 求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 62．（2025高一·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 63．（2025高一·北京·期中）已知函数，且，则 ． 64．（2025高一·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 65．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 重难点16 函数奇偶性求参数 求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． 66．（25-26高一·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 67．（25-26高三·吉林长春·阶段练习）已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 68．（2025·全国·模拟预测）已知为奇函数，则（    ） A．－4 B．2 C．4 D．6 69．（2025高三·全国·专题练习）函数且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点17 函数单调和奇偶性解不等式 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 70．（2025高一·四川广安·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 71．（25-26高三·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 72．（25-26高三·福建福州·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 重难点18 幂函数的定义及应用 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 73．（25-26高一·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 74．（2025高一·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 75．（2025高二·广西南宁·期末）“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 重难点19 幂函数的图象 解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 76．（2025高一·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 77．（25-26高一·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 78．（2025高一·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   79．（2025高一·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 80．（2025高三·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 重难点20 幂函数的性质 1、比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 2、利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．　 3、解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 81．（2025高一·江苏南京·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 82．（2025高一·云南昭通·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 83．（25-26高一·全国·单元测试）已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 84．（2025高二·广东深圳·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 85．（2025高二·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则 . 86．（2025高一·福建福州·期中）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则 ． 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $