3. 1.2函数的表示法（第一课时） 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3. 1.2函数的表示法导学案（第一课时） 一、学习目标 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.数学抽象、直观想象 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 3.会用解析法及图象法表示分段函数 二、学习重难点 重点：函数解析式的求法 难点：数学抽象、直观想象 3、 知识点自主预习 【知识点一】函数的三种表示方法及其三种方法的优点、缺点 函数的三种 表示方法 三种方法的 优点、缺点 【知识点二】 分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 . 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的． (3)分段函数的图象要分段来画． 四、典例详解 考点01：已知函数类型求解析式 例1.1．一次函数在上单调递增，且，则 . 2．已知f(x)是一次函数，且，求f(x). 考点02：已知f(g(x))求解析式 例2.1．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．若，则 （    ） A． B． C． D． 考点03：解析法表示函数 例3.（多选）下列函数中，满足的是（    ） A． B． C． D． 2．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 考点04：图像法表示函数 例4.1．（多选）下列图形中，表示函数图象的是（　　） A．  B．  C．  D．   2．（多选）某地一年内的气温（单位：℃）与时间t（单位：月份）之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃，令表示时间段内的平均气温，不能正确反映与t之间的函数关系的图象有（　　）    A．    B．    C．     D．     考点05：列表法表示函数 例5．1.已知函数由下表给出，则满足的x的值为（  ） x 1 2 3 2 3 1 A．1或3 B．1或2 C．2 D．3 2．若函数与分别由下表给出，则 =（　　） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 考点06：函数图像的识别 例1．1.在同一直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ） A．    B．    C．    D．     2．设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（    ）． A．B．C．D． 考点07：画出具体函数图像 例7．1.用分段函数表示，并作出其图象，指出函数的定义域与值域． 2．已知函数. (1)在所给坐标系中作出的简图； (2)解不等式. 5、 练习提升 1．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A．B．C．D． 2．若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 3．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 4．某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 5．已知，则的值为（    ） A．17 B．15 C．11 D．9 6．设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 7．一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 8．已知方程的根为和，则不等式成立时函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   9．（多选）已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，则的值为 . 13．已知函数，且，则 14．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示，则的值为 ． x 1 2 3 4 3    15．已知二次函数经过，，. (1)求函数的解析式； (2)求，，. 16．某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3. 1.2函数的表示法导学案（第一课时） 一、学习目标 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.数学抽象、直观想象 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 3.会用解析法及图象法表示分段函数 二、学习重难点 重点：函数解析式的求法 难点：数学抽象、直观想象 3、 知识点自主预习 【知识点一】函数的三种表示方法及其三种方法的优点、缺点 函数的三种 表示方法 三种方法的 优点、缺点 【知识点二】 分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 . 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的． (3)分段函数的图象要分段来画． 四、典例详解 考点01：已知函数类型求解析式 例1.1．一次函数在上单调递增，且，则 . 【答案】 【分析】设出一次函数的表达式，利用待定系数法解决. 【详解】设，则， ， 则.又在上单调递增，即， 所以，，则. 故答案为： 2．已知f(x)是一次函数，且，求f(x). 【答案】或 【分析】利用待定系数法求解. 【详解】设， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25， ∴， ∴或， ∴或. 考点02：已知f(g(x))求解析式 例2.1．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解析式即可. 【详解】令，则， ∴， ∴. 故选：B. 考点03：解析法表示函数 例3.（多选）下列函数中，满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将函数依次代入验证即可. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确. 故选：ACD 2．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出等腰三角形的周长的关系式，改写成关于的函数，根据三角形的三边关系求出自变量的范围 【详解】由得：， 又由， 可得， ∴， 又， ∴， 故选：B. 考点04：图像法表示函数 例4.1．（多选）下列图形中，表示函数图象的是（　　） A．  B．  C．  D．   【答案】AB 【分析】借助函数的概念进行判断. 【详解】根据函数的定义，可知A、B是函数图象，正确；C、D图像中每个x的值对于不是唯一的y值，错误． 故选：AB 2．（多选）某地一年内的气温（单位：℃）与时间t（单位：月份）之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃，令表示时间段内的平均气温，不能正确反映与t之间的函数关系的图象有（　　）    A．    B．    C．     D．     【答案】BCD 【分析】用排除法，根据的图象，确定的性质排除错误选项后可得． 【详解】由的图象可知：，且在上的图象对称， 所以，故C错误； 因为该年的平均气温为10 ℃，即，故D错误； t在大于6的某一段平均气温超过10 ℃，故B错误． 只有A符合上述特征，故A正确． 故选：BCD. 考点05：列表法表示函数 例5．1.已知函数由下表给出，则满足的x的值为（  ） x 1 2 3 2 3 1 A．1或3 B．1或2 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意结合函数的定义分析求解. 【详解】由表知， 若，则或，所以或. 故选：A. 2．若函数与分别由下表给出，则 =（　　） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用函数中图表的对应关系，求出，则，再根据函数中图表的对应关系即可求出结果. 【详解】由题知，因此， 故选：B. 考点06：函数图像的识别 例1．1.在同一直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ） A．    B．    C．    D．     【答案】C 【分析】根据一次函数和反比例函数图像的特点进行判断即可. 【详解】时，反比例函数的图像经过二、四象限，一次函数的图像经过二、三、四象限，没有选项符合； 时，反比例函数的图像经过一、三象限，一次函数的图像经过一、二、三象限，C选项符合； 故选：C 2．设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（    ）． A．B．C．D． 【答案】A 【分析】假设每个选项中的一次函数图象正确，可得的正负，由此可确定二次函数的开口方向和对称轴位置，可排除得到最终结果. 【详解】对于A，若图象正确，则，， 开口方向向上，对称轴为，与图象符合，A正确； 对于B，若图象正确，则，， 开口方向向下，与图象不符，B错误； 对于C，若图象正确，则，， 开口方向向上，与图象不符，C错误； 对于D，若图象正确，则，， 开口方向向上，与图象不符，D错误. 故选：A. 考点07：画出具体函数图像 例7．1.用分段函数表示，并作出其图象，指出函数的定义域与值域． 【答案】图象见解析，定义域为，值域为． 【分析】转化为分段函数，即可作出图象，得到值域. 【详解】，图象如图所示，      函数的定义域为，值域为． 2．已知函数. (1)在所给坐标系中作出的简图； (2)解不等式. 【详解】（1）的简图如下： ； （2）由已知得或， 解得或， 即不等式的解集为． 5、 练习提升 1．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义，结合各个选项的图象，即可求解. 【详解】根据函数定义，在自变量的取值范围内，任意的取值，有且只有一个值与之对应， 从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点， 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线， 与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于D选项，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点， 从而不能表示是的函数； 故选：D． 2．若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题可先根据表格求出的值，再求出的值. 【详解】由表格可知，当时，. 所以. 故选：B. 3．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 4．某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢后可得正确的选项. 【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越大， 然后高度的增加量越来越小，最后高度一定，故C符合题意. 故选：C. 5．已知，则的值为（    ） A．17 B．15 C．11 D．9 【答案】A 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得，即. 故选：A. 6．设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出，；，；，，找到规律，得到答案. 【详解】，，故， 所以，， 所以，， ……， ，. 故选：A 7．一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案. 【详解】由题意可得，则， 其中，则，则， 故矩形的长关于宽的函数解析式为. 故选：A 8．已知方程的根为和，则不等式成立时函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】根据已知的解集为，结合函数图象的开口方向及各选项图象，即可得. 【详解】由题设，不等式的解集为， 且的开口向上，结合图象知A正确. 故选：A 9．（多选）已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对各选项给出的函数，逐一验证是否满足条件即可. 【详解】首先，各选项给出的函数定义域均为. 对A：，，所以成立，故A符合题意； 对B：，，所以成立，故B符合题意； 对C：，，所以成立，故C符合题意； 对D：，，所以不是恒成立，故D不合题意. 故选：ABC 10．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】令，求得，进而得到的解析式可判断B，C；进而可求得可判断A，D. 【详解】解析  由，令，可得，可得， 即，故B正确，C不正确； 可得，故A正确； 1，故D不正确. 故选：AB. 11．（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用的解析式求出的解析式即可判断. 【详解】，所以,故A正确，B错误； ，所以，故C正确，D错误． 故选：AC. 12．已知，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据题干条件求出的表达式，直接代入计算即可得到答案. 【详解】令，则，进一步可得， ， ， 故答案为：3. 13．已知函数，且，则 【答案】 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为函数，且，所以，解得. 故答案为：. 14．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示，则的值为 ． x 1 2 3 4 3    【答案】4 【分析】首先由图读出，再结合函数的对应关系表，即可得解． 【详解】由图可知，所以． 故答案为：4. 15．已知二次函数经过，，. (1)求函数的解析式； (2)求，，. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）设出，将三点代入解出即可； （2）根据函数解析式直接代入求解即可. 【详解】（1）设函数， 因为经过，，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得， 所以，， ，. 16．某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【详解】（1）由题意有销售额为， 所以当时，， 当时，， 所以； （2）（2）当时，， 当时，万元，         当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元，        即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 学科网（北京）股份有限公司 $