素养提升解答题专项训练《三角函数、三角恒等变换、解三角形》微专题6：解三角形中的最值与范围问题-2026届高三数学一轮复习

素养提升解答题专项训练一：三角函数、三角恒等变换、解三角形 微专题（六）解三角形中的最值与范围问题 一、转化为三角函数的性质求最值、范围 例1已知△ABC为锐角三角形，且cosA十sinB=3(sinA+cosB). (1)若C=π3，求A: (2)已知点D在边AC上，且AD=BD=2,求CD的取值范围， 【举一反三1.1】ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,B是A与C的等差中项 0若品。之，判黄8C的形状 ②若ABC是锐角三角形，求，anB云的取值范围 tan A+tan C 【举一反三1.2】如图，平面四边形ABCD中，AD=5,CD=3,∠ADC=120°. 试卷第7页，共8页 4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a+b_sinA-sinC c sinA-sinB B (1)求B; (2)求ABC内切圆半径r的取值范围. 二、转化为基本不等式求最值、范围 例2.己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, asin A-bsin B=(3a-c)sin C (1)求B; (2)若a+c=23+2,求b的最小值 试卷第7页，共8页 【举一反三2.1】在锐角三角形ABC中，记a,b,c分别为内角4，B,C的对边， asinb= -C (1)求1 1 的值： tanA tanB (2)求角C的最大值， 【举一反三2.2】条件Dacos B=c+b, 条件②sinA-sinC_sinB+sinC 2 b a+c 条件③√5 bsin+C=asin B. 2 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答， 已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且满足 (1)求A; (2)若AD是∠BAC的角平分线，且AD=1,求2b+c的最小值. 试卷第7页，共8页 【举一反三2.3】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 cosA sin 2B 1+sin 1+cos2B 2π C= a2+b2 (1)若3，求B,(2)求c2的最小值. 三、转化为函数、导数法求最值、范围 例3：（吉林省吉林市2024-2025学年高三下学期4月四模T17)在ABC中，角A,B,C的 对边分别为a,b,c,且b=3,a=2c 1》若cos8=子求48C的周长： (2)若ABC内切圆，外接圆的半径分别为r,R,求rR的取值范围 试卷第7页，共8页 【举一反三3】在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若asin B-3 bcos Bcos C =3ccos2B, (1)求角B的大小： (2)若△4BC为锐角三角形，c=1,求a2+b2的取值范围. 试卷第7页，共8页 素养提升解答题专项训练一：三角函数、三角恒等变换、解三角形 微专题（六）解三角形中的最值与范围问题 一、转化为三角函数的性质求最值、范围 例1已知△ABC为锐角三角形，且cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)． (1)若C＝，求A； (2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． 【解析】　(1)因为cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)， 所以cos A－sin A＝cos B－sin B， 即cos（A＋）＝cos（B＋），又A∈（0,），B∈（0,）， 所以<A＋<，<<，所以A＋＝B＋，即B＝A＋， 又A＋B＋C＝π，C＝， 所以A＋A＋＋＝π，即A＝. (2)因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A， 又∠ABC＝A＋，可得∠DBC＝， 在△DBC中，＝， 所以CD＝＝， 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin（2A+）， 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<A<， 所以<2A＋<，<sin（2A+）<1， 所以∈(1,2)，即CD的取值范围为(1,2)． 【举一反三1.1】中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项. (1)若，判断的形状; (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【解析】（1）是与的等差中项，. . . 由余弦定理得：，即， 化简得.，即. .， 是以为斜边的直角三角形. （2）是锐角三角形， ，解得， . 由得，， ，即. 的取值范围为. 【举一反三1.2】（山东省青岛市2026届高三上学期部分学生8月调研检测T16） 如图，平面四边形中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求； （2）求内切圆半径的取值范围． 【解析】（1）由，则由正弦定理得， 整理得，所以由余弦定理得， 又，则． （2）在中，，，， 由余弦定理得，得， 所以结合（1）得，即，得， 在中，由 由（1）知， 则. 又由正弦定理有， 所以，，又，所以 ， 又，则，则， 所以， 所以． 2、 转化为基本不等式求最值、范围 例2．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求B； （2）若，求b的最小值. 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以. 由余弦定理得， 又，所以. （2）由（1）得，， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以b的最小值为. 【举一反三2.1】(江苏省南通市海安市2026届高三上学期期初学业质量监测16.)在锐角三角形中，记分别为内角的对边，． （1）求的值； （2）求角的最大值． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，所以. （2）因为，且，则， 可得，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 因为，则， 可得，， 则， 即的最大值为，且， 所以角的最大值为. 【举一反三2.2】条件①，    条件②， 条件③． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________， (1)求； (2)若是的角平分线，且，求的最小值． 【解析】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得， 即， 所以， 而，，故，因为，所以； 选②：因为，由正弦定理， 即，由余弦定理， 因为，所以； 选③：因为， 正弦定理及三角形内角和定理可得， 即， 因为、，则，所以，，， 所以，所以，即. （2）解：由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得，         化简得，即， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 【举一反三2.3】记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求；（2）求的最小值． 【解析】（1）由已知条件得： 所以，即，由已知条件：，则，可得，所以，． （2）由（1）知，则，， ， 由正弦定理 ， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 三、转化为函数、导数法求最值、范围 例3：（吉林省吉林市2024-2025学年高三下学期4月四模T17） 在中，角的对边分别为，且，. （1）若，求的周长； （2）若内切圆，外接圆的半径分别为，求的取值范围. 【解析】（1），，由余弦定理得，， ，解得，或（舍去） ， 的周长为. （2）由余弦定理得，，整理得，，， ，即， 由正弦定理得，，， ，， ， 令，，， 函数在上单调递增， ，即的取值范围是. 【举一反三3】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B－bcos Bcos C＝ccos2B， (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a2＋b2的取值范围． 【解析】　(1)因为asin B－bcos Bcos C＝ccos2B， 由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos Bcos C＋sin Ccos2B， 即sin Asin B＝cos B(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝cos Bsin(B＋C)， 所以sin Asin B＝cos Bsin A， 由A∈(0，π)，得sin A≠0，所以sin B＝cos B， 即tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)在△ABC中，由正弦定理＝＝， 得a＝，b＝， 由(1)知，B＝， 又с＝1，代入上式得a＝，b＝， 所以a2＋b2＝c2＋2abcos C＝1＋2 ＝1＋cos C＝1＋cos C＝1＋cos C ＝1＋×cos C ＝1＋＋. 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得， 所以tan C>，所以∈(0，)， 所以a2＋b2＝1＋＋ ＝∈(1,7) 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $