第三章 再练一课(范围：§3.2～§3.3)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

再练一课(范围：§3.2～§3.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．抛物线y＝x2的焦点坐标是(　　) A. B．(1,0) C. D．(0,1) 答案　D 解析　y＝x2即x2＝4y，所以其焦点在y轴正半轴上，坐标为(0,1)． 2．已知双曲线－＝1的离心率为2，则a等于(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 答案　A 解析　由题意可知，双曲线－＝1的焦点在x轴上， 故该双曲线的离心率为e＝＝2，解得a＝－1. 3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为(　　) A. B．3 C．2 D．6 答案　D 解析　由题意，双曲线的一条渐近线为y＝－x，即bx＋ay＝0，设双曲线的右焦点为F(c,0)，c>0，则c2＝a2＋b2， 所以焦点到渐近线的距离d＝＝＝b＝3， 又离心率e＝＝， 所以a＝3，所以双曲线C的实轴长为2a＝6. 4．已知抛物线C：x2＝6y，直线l与C交于A，B两点，若弦AB的中点为(1,4)，则直线l的斜率为(　　) A．－ B．3 C. D．－3 答案　C 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以x－x＝6y1－6y2，整理得＝.因为弦AB的中点为(1,4)，所以＝＝＝，即直线l的斜率为. 5．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线的一部分，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m，则该卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为(　　) 图1　　　　　图2 A．0.72 m B．1.44 m C．2.44 m D．2.88 m 答案　B 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为A，B，设轴截面所在的抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由已知条件，得点A(1,2.4)，所以2p＝2.42，解得p＝2.88，所以所求焦点坐标为(1.44,0)，因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为1.44 m. 6．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积为(　　) A. B. C．2 D．4 答案　A 解析　∵在双曲线C：－＝1中， a＝3，b＝4，c＝5， ∴F1(－5,0)，F2(5,0)，|F1F2|＝10. ∵|PF2|＝|F1F2|＝， ∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋＝. ∴在△PF1F2中， cos∠PF1F2＝＝， ∴sin∠PF1F2＝， ∴△PF1F2的面积为××10×＝. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．已知双曲线C：x2－＝1，则下列说法正确的是(　　) A．双曲线C与圆2＋y2＝1有3个公共点 B．双曲线C的离心率与椭圆＋＝1的离心率的乘积为1 C．双曲线C与双曲线－x2＝1有相同的渐近线 D．双曲线C的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同 答案　BCD 解析　由已知得双曲线C中， a＝1，b＝， c＝＝2， 所以双曲线C的焦点为(±2,0)， 顶点为(±1,0)，作图可知A不正确； 渐近线方程为y＝±x＝±x， 离心率为＝2. 椭圆＋＝1的离心率为＝，2×＝1，故B正确； 双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故C正确； 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，故D正确． 8．已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是(　　) A．点P到x轴的距离为4 B．|PF1|＋|PF2|＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝60° 答案　AC 解析　由双曲线的方程可得a＝4，b＝3，则c＝5，由△PF1F2的面积为20，得×2c×|yP|＝20，解得|yP|＝4，即点P到x轴的距离为4，故A正确； 可设P，则|PF2|＝＝. 由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a＝8， 则|PF1|＝8＋＝，则|PF1|＋|PF2|＝＋＝，故B错误；在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝，则＝＝>0，∠PF2F1为钝角，则△PF1F2为钝角三角形，故C正确； cos∠F1PF2＝ ＝ ＝＝1－≠， 则∠F1PF2≠60°，故D错误． 9．已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：y＝x2的焦点为F，P，Q两点在抛物线C上，下列说法正确的是(　　) A．若|PF|＝5，则点P的坐标为(4,4) B．直线y＝x－1与抛物线C不相切 C．点P到直线y＝x－2的距离的最小值为 D．若P，F，Q三点共线，则·＝－3 答案　CD 解析　由y＝x2，得x2＝4y，则焦点为F(0,1)，设P(x，y)，由抛物线的定义得，y＋1＝5，解得y＝4，则点P的坐标为(4,4)或(－4,4)，故A错误；联立直线与抛物线方程消去y得x2－4x＋4＝0，得Δ＝0，所以直线y＝x－1与抛物线C相切，故B错误；因为直线y＝x－1与C相切，又直线y＝x－1与直线y＝x－2平行，所以两平行直线间的距离即点P到直线y＝x－2的最小距离，所求距离为＝，故C正确；抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋1，不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x2－4kx－4＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－4(1＋k2)＋4k2＋1＝－3，故D正确． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知双曲线my2－x2＝1(m>0)与抛物线x2＝12y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案　y＝±2x 解析　因为抛物线方程为x2＝12y， 所以其焦点为F(0,3)， 因为双曲线my2－x2＝1可化为－x2＝1， 所以a2＝，b2＝1， c2＝a2＋b2＝＋1， 因为双曲线my2－x2＝1与抛物线x2＝12y有相同的焦点， 所以＋1＝9， 则m＝， 则双曲线方程为－x2＝1， 因此该双曲线的渐近线方程为y＝±2x. 11．已知抛物线y＝x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q(1,1)，当△PQF的周长最小时，点P的坐标为________． 答案　 解析　如图，设l：y＝－1是抛物线的准线，过点P作PH⊥l于点H，作QN⊥l于点N， 则|PF|＝|PH|，F(0,1)，|FQ|＝1， |PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|，易知当Q，P，H三点共线时，|PH|＋|PQ|最小，且最小值为1＋1＝2， 所以△PQF周长的最小值为3，此时xP＝1，yP＝，即P. 12．抛物线y2＝2ax(a>0)上的点M(x0,3)到其焦点F的距离是M到y轴距离的2倍，过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，|PQ|＝4，则双曲线的离心率为________． 答案　 解析　由题设可知 解得故双曲线C：－＝1， 所以A(－3,0)，B(3,0)，渐近线方程为y＝±x， 不妨令P，Q在y＝－x上， 由双曲线的对称性知|OP|＝|OQ|＝2， 又|OA|＝3，所以|AP|＝， tan∠POA＝＝， 则b＝，则c＝，故e＝＝. 四、解答题(共37分) 13．(12分)已知抛物线C：x2＝2py(0<p<6)的焦点为F，点A(4，m)在抛物线C上，且＝5. (1)求抛物线C的标准方程；(5分) (2)直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P(1,2)，求直线l的方程．(7分) 解　(1)因为点A(4，m)在抛物线C上， 所以|AF|＝m＋＝＋＝5， 又因为0<p<6，解得p＝2， 故抛物线C的标准方程为x2＝4y. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 所以x－x＝4(y1－y2)， 即(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)， 因为MN的中点为P(1,2)，所以x1＋x2＝2， 则＝，故直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y－2＝(x－1)， 即x－2y＋3＝0. 14．(12分)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，求该三角形的面积． 解　设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)． 当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|－|PF1|＝2，∴|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|. ∵|AF|＝＝15为定值， ∴当|AP|＋|PF1|最小时，△APF的周长最小． 由图象可知，当|AP|＋|PF1|最小时，点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)． 由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6， 由 得y2＋6y－96＝0， 解得y＝2或y＝－8(舍去)， ∴S△APF＝＝×6×6－×6×2＝12. 15．(13分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交C于点Q. (1)若C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(5分) (2)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？(8分) 解　(1)抛物线C：y＝mx2(m>0)， 即x2＝y， 所以抛物线C的焦点为F. 因为抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3， 所以2＋＝3，解得m＝. (2)联立方程消去y得mx2－2x－2＝0， 设A(x1，mx)，B(x2，mx)， 由根与系数的关系，得　　(*) 因为P是线段AB的中点， 所以P， 即P，所以Q， 得＝， ＝， 若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形， 则·＝0， 即＋＝0， 结合(*)式化简得－－＋4＝0， 即2m2－3m－2＝0， 所以m＝2或m＝－(舍去)， 所以存在实数m＝2， 使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $