第一章 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系这一核心知识点，前承空间向量及线面平行的向量表示，后接垂直关系的综合应用，构建从概念（方向向量、法向量）到方法（坐标法、基向量法）再到证明的学习支架，帮助学生系统掌握用向量处理空间垂直问题的完整思路。 该资料以问题链驱动探究，通过观察图片提出垂直关系本质的问题，培养学生用数学眼光发现空间形式。例题采用坐标法与基向量法对比教学，强化逻辑推理的数学思维，用向量语言精准表述垂直关系，落实数学语言的应用。课中助力教师引导学生分层突破，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生自查反思，有效提升空间想象与论证能力。

第3课时　空间中直线、平面的垂直 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系(重点)． 导语 观察图片，图片中存在哪些垂直关系？类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 一、直线与直线垂直 问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 提示　垂直． 知识梳理 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 例1　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. 证明　方法一　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得 A，B， C，N，B1， ∵M为BC的中点， ∴M. ∴＝，＝(1,0,1)， ∴·＝－＋0＋＝0. ∴⊥， 即AB1⊥MN. 方法二　设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，＝a＋c，＝(a＋b)， ＝b＋c，＝－＝ －a＋b＋c， ∴·＝(a＋c)· ＝－＋cos 60°＋0－0＋0＋＝0. ∴⊥， 即AB1⊥MN. 反思感悟　证明两直线垂直的基本步骤 (1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． (2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点． 求证：(1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1， 则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，B1(1,1,1)． (1)＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)， ∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴⊥， ∴BD1⊥AC. (2)＝(－1，－1,1)， ＝， ∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴⊥， ∴BD1⊥EB1. 二、直线与平面垂直 问题2　如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示　平行(共线)． 知识梳理 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC. 证明　方法一　设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2a,0,0)，C(0,2a,0)， B1(2a,2a,2a)，E(2a,2a，a)， F(a，a,2a)． 所以＝(－a，－a，a)， ＝(0,2a,2a)， ＝(－2a,2a,0)． 因为·＝(－a，－a，a)·(0,2a,2a)＝(－a)·0＋(－a)·2a＋a·2a＝0， ·＝(－a，－a，a)·(－2a,2a,0)＝2a2－2a2＋0＝0， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 方法二　由方法一知＝(0,2a,2a)， ＝(－2a,2a,0)． 设平面B1AC的法向量为m＝(x，y，z)， 则m·＝2a(y＋z)＝0， m·＝－2a(x－y)＝0. 取x＝1，则y＝1，z＝－1， 故m＝(1,1，－1)． 所以＝(－a，－a，a)＝－a(1,1，－1)＝－am. 所以∥m， 所以EF⊥平面B1AC. 方法三　设＝a，＝c，＝b， 连接BD(图略)， 则＝＋ ＝(＋) ＝(＋) ＝(＋－) ＝(b＋c－a)． 因为＝＋＝a＋b， 所以·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0， 所以⊥，即EF⊥AB1. 同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 反思感悟　若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明线面垂直的方法： (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 跟踪训练2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE. 证明　连接C1D， ∵C1在平面ABC内的射影为D， ∴C1D⊥平面ABC， 又BD，AC⊂平面ABC， ∴C1D⊥BD，C1D⊥AC， 又△ABC为等边三角形，D为AC的中点， ∴BD⊥AC， 则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，－1,0)，C1(0,0，)，E，A1(0,2，)， ∴＝(，0,0)，＝， ＝(0，－3，－)． 方法一　设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)， ∵ 即 不妨取z＝1，则y＝，则m＝(0，，1)， ∴平面BDE的一个法向量为m＝(0，，1)， ∵＝(0，－3，－)， ∴＝－m，∴∥m， ∴A1C⊥平面BDE. 方法二　∵·＝0，·＝－＝0， ∴⊥，⊥， 即BD⊥A1C，DE⊥A1C， 又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， ∴A1C⊥平面BDE. 三、平面与平面垂直 问题3　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 提示　垂直． 知识梳理 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 例3　如图，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC. 证明　方法一　如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 令PA＝PB＝PC＝3，则P(0,0,0)，A(3,0,0)，F(0,1,0)，G(1,1,0)， 于是＝(3,0,0)，＝(1,0,0)， 故＝3，∴PA∥FG. 而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC. 又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC. 方法二　同方法一，建立空间直角坐标系， 则P(0,0,0)，A(3,0,0)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)． ∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)． 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥. ∴令y＝1，得z＝－1，x＝0， 即n＝(0,1，－1)． 显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量． 又n·＝0，所以n⊥， 即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直， ∴平面EFG⊥平面PBC. 反思感悟　证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 跟踪训练3　如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 证明　取AB的中点O，CD的中点M，连接OM，则OM⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OM⊂平面ABCD， 所以OM⊥平面PAB， 又PA＝PB，所以PO⊥AB， 以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设AP＝a，AD＝b，则A(0，－a,0)，B(0，a,0)，P(a,0,0)，C(0，a，b)，D(0，－a，b)， 所以＝(0,0，b)，＝(a，a,0)，＝(0,0，b)，＝(a，－a,0)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量， n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 则由得 z1＝0，令x1＝1，则y1＝－1，即n1＝(1，－1,0)， 同理，z2＝0，令x2＝1， 可得y2＝1，即n2＝(1,1,0)． 因为n1·n2＝1－1＝0， 所以平面PAD⊥平面PBC. 1．知识清单： (1)直线与直线垂直的向量表示及应用． (2)直线与平面垂直的向量表示及应用． (3)平面与平面垂直的向量表示及应用． 2．方法归纳：转化法、法向量法． 3．常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆． 1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 答案　B 解析　a·b＝－2＋2＋0＝0， ∴a⊥b，∴α⊥β. 2．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案　D 解析　∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5. 3.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________． 答案　垂直 解析　以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则E，F，P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)， ∴＝，＝(－1,0,0)，＝(0,1，－1)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即令y＝1，则z＝1，∴平面PBC的一个法向量为n＝(0,1,1)． ∴＝－n， ∴∥n，∴EF⊥平面PBC. 4．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”) 答案　是 解析　如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则由AC＝2，BC＝， SB＝， 得B(－，2,0)，S(0,0,2)，C(0,2,0)， ＝(0,2，－2)， ＝(－，0,0)． 因为·＝0， 所以SC⊥BC. [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1．设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A．1 B. C. D．3 答案　B 解析　因为l1⊥l2，所以a·b＝0， 即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0， 所以2m＝9－4＝5，即m＝. 2．设a，b分别是两条直线a，b上的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量， 则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件． 3．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A．(1,0，－2) B．(1,0,2) C．(－1,0,2) D．(2,0，－1) 答案　C 解析　由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0.① ·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，② 联立①②得x＝－1，z＝2， 故点P的坐标为(－1,0,2)． 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　) A．BD B．AC C．A1D D．A1A 答案　A 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E， ∴＝，＝(－1,1,0)， ＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)， ＝(0,0，－1)， ∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0， ∴CE⊥BD. 又∵·＝－1≠0，·＝－≠0，·＝－1≠0， ∴CE与AC，A1D，A1A均不垂直． 5．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则下列结论正确的有(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 答案　ABC 解析　因为·＝－2－2＋4＝0， 所以⊥，所以AP⊥AB，A正确； 因为·＝－4＋4＋0＝0， 所以⊥，所以AP⊥AD，B正确； 因为AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量，C正确； ＝－＝(2,3,4)， 设＝λ＝(－λ，2λ，－λ)， 即此方程组无解，D错误． 6．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是(　　) A．若直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直 B．若直线l的方向向量a＝(0,1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α C．若平面α，β的一个法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α⊥β D．若平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1，2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1 答案　AD 解析　对于A，a·b＝1×2－1×1＋2×＝0， 则a⊥b，所以直线l与m垂直，故A是真命题； 对于B，a·n＝0，则a⊥n， 所以l∥α或l⊂α，故B是假命题； 对于C，n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假命题； 对于D，易得＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)， 因为向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量， 所以即 得u＋t＝1，故D是真命题． 7．(5分)已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对． 答案　0 解析　因为a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0对． 8．(5分)在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________． 答案　(－2,4,1)或(2，－4，－1) 解析　根据题意，得＝(－1，－1,2)， ＝(1,0,2)． 设n＝(x，y，z)， ∵n与平面ABC垂直， ∴即 可得 ∵|n|＝，∴＝， 解得y＝4或y＝－4. 当y＝4时，x＝－2，z＝1； 当y＝－4时，x＝2，z＝－1. ∴n的坐标为(－2,4,1)或(2，－4，－1)． 9．(10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求证：AE⊥CD；(5分) (2)求证：PD⊥平面ABE.(5分) 证明　(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA＝AB＝BC＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)． 因为∠ABC＝60°，AB＝BC，所以△ABC为正三角形． 所以C，E，＝， 设D(0，y1,0)，则＝，由AC⊥CD得·＝0， 即－＋＝0， 解得y1＝，则D， 所以＝. 又＝， 所以·＝－×＋×＝0， 所以⊥，即AE⊥CD. (2)方法一　由(1)知＝(1,0,0)，＝， 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝2，则n＝(0,2，－)． 又＝，显然＝n，所以∥n， 所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE. 方法二　由(1)知＝，＝. 所以·＝×＋×(－1)＝0， 所以⊥，即PD⊥AE. 由(1)知＝(1,0,0)，所以·＝0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. 10．(10分)在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 证明　设AB＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E. 方法一　连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则O. 因为＝(0,0,1)，＝， 所以＝， 又E∉AS， 所以OE∥AS. 又AS⊥平面ABCD， 所以OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABCD. 方法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)． 因为＝(－1,1,0)，＝， 所以 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)． 因为AS⊥平面ABCD， 所以平面ABCD的一个法向量为 n2＝＝(0,0,1)． 因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD. 11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 答案　B 解析　如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0，1,0)，E， F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， ∴＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)， ＝，＝(－1，－1,1)， ∴＝－，·＝0，·＝0， 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC. 12.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　) A．和AC垂直 B．和AA1垂直 C．和MN垂直 D．和AC，MN都不垂直 答案　AC 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为2a(a>0)，则M(0,0，a)，A(2a,0,0)，C(0，2a,0)，O(a，a,0)，N(0，a,2a)， A1(2a,0,2a)． ∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a,2a，0)，＝(0,0,2a)． ∴·＝0，·＝0，·＝2a2≠0， ∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直． 13．(5分)已知空间A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)三点．若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________；若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标是________． 答案　　 (4,4,4)(答案不唯一) 解析　设M(x，y，z)， ∵A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)， ∴＝(1，－1,0)，＝(2,1，－4)， ＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)， 由题意知⊥，∥， ∴ ∴x＝－，y＝，z＝1， ∴点M的坐标为. 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝1，z＝. ∴n＝. 设点N的坐标为(a，b，c)， 则＝(a，b，c－1)， 由题知，∥n， 即＝＝. ∴点N的坐标满足(4k,4k,3k＋1)， 其中k≠0，令k＝1，则N(4,4,4)． 14．(5分)已知梯形CEPD如图1所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足＝λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为________． 答案　 解析　如图，以A为坐标原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴C(4,4,0)，D(0,4,0)，E(4,0,2)，P(0,0,4)，F(4λ，0,0)， 则＝(4,0，－2)，＝(4,4，－4)，＝(4(λ－1)，0，－2)，＝(4，－4,2)， 若m＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量， 则 可得m＝， 若n＝(a，b，c)是平面PCE的一个法向量， 则可得n＝(1,1,2)， 由平面DEF⊥平面PCE，得m·n＝0， 即＋＋4＝0， 解得λ＝. 15．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1.已知G，E分别为A1B1和CC1的中点，D，F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点). 若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为(　　) A. B. C．[1，) D. 答案　A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则E， G，设F(x,0,0)，D(0，y,0)且x，y∈(0,1)， 则＝，＝，由于GD⊥EF， 所以·＝0，即x＋2y－1＝0，x＝1－2y， 所以||＝＝＝， 又因为x，y∈(0,1)，所以1－2y∈(0,1)， 得y∈， 所以||∈，即线段DF长度的取值范围为. 16. (12分)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. (1)求证：AC⊥BF；(5分) (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(7分) (1)证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD， 平面ADEF∩平面ABCD＝AD， AF⊥AD，AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD， ∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)， 则BH＝1，AH＝，CH＝3， ∴AC＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB. ∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB， ∴AC⊥平面FAB. ∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF. (2)解　存在．理由如下： 由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．以A为坐标原点， ，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(－1，，2)． 假设在线段BE上存在一点P满足题意， 则易知点P不与点B，E重合， 设＝λ， 则λ>0，P. 设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)． 由＝， ＝(0,2，0)， 得 即 令x＝1，则z＝， ∴m＝为平面PAC的一个法向量． 同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量． 当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF， 故存在满足题意的点P，此时＝. 学科网（北京）股份有限公司 $