第一章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“空间中直线、平面的平行”核心知识点，系统梳理用向量语言表述线线、线面、面面平行关系的原理，以及用向量方法证明平行关系的思路。通过问题导入、知识梳理、例题解析（坐标法与基向量法）、反思总结及跟踪训练，构建递进式学习支架，衔接空间向量基础与后续垂直关系学习。 以生活实例（旗杆、平台平行）导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，例题提供多种证明方法（如例1的坐标法与基向量法），发展数学思维的逻辑性与灵活性，向量语言精确表述平行关系，强化用数学语言表达现实世界的能力。课中助力教师分层教学，课后练习覆盖基础与提升，帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第2课时　空间中直线、平面的平行 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系(重点)． 导语 观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行．旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？旗杆底部平台所在平面的法向量和地面所在平面的法向量有什么关系？ 一、直线和直线平行 问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示　平行． 知识梳理 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 例1　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在棱DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. 证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M， N(0,2,2)，R(3,2,0)， S. 则，分别为MN，RS的方向向量， 又＝，＝， 所以＝，所以∥，因为M∉RS， 所以MN∥RS. 方法二　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b， ＝＋＋＝b－a＋c. 所以＝， 所以∥. 又R∉MN， 所以MN∥RS. 反思感悟　证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 证明　方法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直．以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，N，M，所以＝(－1,0,1)，＝，所以＝，又M∉AP，故MN∥AP. 方法二　由题意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝＋＝(＋)＝，又M∉AP，所以MN∥AP. 二、直线和平面平行 问题2　如图，直线l与平面α平行，u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示　垂直． 知识梳理 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 例2　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB. 证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a. 连接AC，交BD于点G， 连接EG， 依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，B(a，a,0)． 方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝，＝， 则有 即即 令z＝1，则所以n＝(1，－1,1)， 又＝(a,0，－a)， 所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0. 所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二　因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以＝. 又＝(a,0，－a)， 所以＝2，则PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 方法三　假设存在实数λ，μ使得 ＝λ＋μ， 即(a,0，－a)＝λ＋μ， 则有 解得 所以＝－＋，又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 延伸探究　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由． 解　分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)． 假设在棱PD上存在符合题意的点E， 设E(0，y，z)， 则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)． ∵∥， ∴－y－2(z－1)＝0.① ∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， ＝(－1，y－1，z)， 由CE∥平面PAB，可得⊥. ∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0. ∴y＝1，代入①式得z＝. ∴E是PD的中点，即存在点E为PD的中点时，CE∥平面PAB. 反思感悟　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 注意：以上三种方法都需要点明：直线在平面外． 跟踪训练2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE. 证明　如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC＝a，AB＝b，BB1＝c， 则B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F，E. 所以＝(0，－b,0)，＝. 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝0，z＝－， 即n＝. 又因为＝， 所以n·＝－a＋a＝0， 又C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE. 三、平面和平面平行 问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 提示　平行． 知识梳理 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 例3　如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′. 证明　方法一　设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B′(1,1,1)， D′(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，C′(0,1,1)，于是＝(0,1,1)，＝(1,1,0)， ＝(1,1,0)，＝(0,1,1)． 设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－1， 可得n1＝(－1,1，－1)． 设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则 令y2＝1，则x2＝－1，z2＝－1， 可得n2＝(－1,1，－1)． 所以n1＝n2，所以n1∥n2， 故平面AB′D′∥平面BDC′. 方法二　由方法一知＝(－1,0,1)，＝(－1,0,1)，＝(0,1,1)，＝(0,1,1)，所以＝，＝，即AD′∥BC′，AB′∥DC′，又AD′⊄平面BDC′，AB′⊄平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′. 又AD′∩AB′＝A，且AD′⊂平面AB′D′，AB′⊂平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面BDC′. 方法三　由方法一得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1,1，－1)．易知＝(1,1,0)，＝(0,1,1)．因为n1·＝(－1,1，－1)·(1,1,0)＝0，n1·＝(－1,1，－1)·(0,1,1)＝0，所以n1也是平面BDC′的一个法向量，所以平面AB′D′∥平面BDC′. 反思感悟　证明面面平行的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 跟踪训练3　如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．求证：平面AA1D1D∥平面FCC1. 证明　因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点， 所以BF＝BC＝CF， 所以△BCF为正三角形． 因为平面ABCD为等腰梯形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°. 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)，＝(，－1,0)，＝(0,0,2)， 所以∥，∥，则DD1∥CC1，DA∥CF， 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 1．知识清单： (1)线线平行的向量表示及应用． (2)线面平行的向量表示及应用． (3)面面平行的向量表示及应用． 2．方法归纳：坐标法、转化化归． 3．常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略直线不在平面内的条件． 1．若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1与l2相交 C．l1与l2重合 D．l1∥l2或l1与l2重合 答案　D 解析　 ∵b＝－2a，∴l1与l2平行或重合． 2．(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 答案　AD 解析　若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0. 3．设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为________． 答案　平行 解析　∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u， ∴α∥β. 4．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________． 答案　－3 解析　∵l∥平面ABC， ∴存在实数x，y，使a＝x＋y，又＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， ∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1) ＝(x，y，－x－y)， ∴∴m＝－3. [分值：100分] 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共24分 1．(多选)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　) A．a＝，b＝(－2，－4,0) B．a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1) C．a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0) D．a＝(－2，－1,1)，b＝(4，－2，－8) 答案　AB 解析　对于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确；对于C，D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2，C，D不正确． 2．(多选)直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，则λ的值为(　　) A．2 B. C．－3 D．3 答案　AC 解析　因为a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)， l1∥l2，令a＝tb， 则(λ＋1,0,2)＝t(6,2μ－1,2λ)＝(6t，(2μ－1)t,2λt)， 即解得或 3．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α 答案　D 解析　因为a·u＝－3＋4－1＝0， 所以a⊥u.所以l∥α或l⊂α. 4．(多选)下列结论正确的是(　　) A．直线的方向向量是唯一确定的 B．平面的单位法向量是唯一确定的 C．若两平面的法向量平行，则两平面平行 D．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 答案　CD 解析　对于A，与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向量，A不正确； 对于B，与平面垂直的直线的方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，则平面的单位法向量也不唯一，B不正确； 对于C，两平面的法向量平行，即这两平面可以垂直于同一直线，则两平面平行，C正确； 对于D，若两直线平行，则它们的方向向量平行，与已知两直线的方向向量不平行矛盾，即两直线平行是错的，则两直线不平行，D正确． 5．已知平面α的一个法向量是(2,3，－1)，平面β的一个法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A．－ B．6 C．－6 D. 答案　B 解析　∵α∥β， ∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴＝＝，∴λ＝6. 6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 答案　B 解析　根据题意建立空间直角坐标系如图， 设正方体的棱长为2， 则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)， ∴M(2,1,1)，N(1,1,2)， ∴＝(－1,0,1)． 又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)， ∴·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0， ∴⊥n， 又∵MN⊄平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 7．(5分)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________． 答案　平行 解析　∵＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)， n·＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1) ＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， n·＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1) ＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0， ∴n⊥，n⊥. ∴n也为α的一个法向量， 又 α与β不重合， ∴α∥β. 8．(5分)若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________. 答案　 解析　由题意，知 即 解得 所以a＝. 9．(10分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，C1B1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 证明　方法一　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设该正方体的棱长为1， 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝. 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，则y＝－1，z＝－1， 所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0，所以⊥n. 又MN⊄平面A1BD， 所以MN∥平面A1BD. 方法二　＝－＝－＝(－)＝，所以∥，又MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD， 所以MN∥平面A1BD. 方法三　＝－＝－＝－＝(＋)－(＋)＝－.即可用与线性表示，故与，是共面向量，又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD. 10．(10分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明　建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0，2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,0)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即得 令z1＝2，则y1＝－1， 所以可取n1＝(0，－1,2)． 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量． 则n2⊥，n2⊥， 即得 令z2＝2，得y2＝－1， 所以可取n2＝(0，－1,2)． 因为n1＝n2，即n1∥n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 11．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A．A1E⊥AC1 B．BF∥平面ADD1A1 C．BF⊥DG D．GE∥HF 答案　BCD 解析　以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2， 则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，C1(0,2,2)，E(1,2,0)，F(0,2,1)，G(1,0,2)，H(0,1,2)． 对于A选项，＝(－1,2，－2)，＝(－2,2,2)，则·＝2＋4－4＝2≠0，A不正确； 对于B选项，易知平面ADD1A1的一个法向量为n＝(0,1,0)，＝(－2,0,1)，因为n·＝0，则n⊥，又因为BF⊄平面ADD1A1，因此 BF∥平面ADD1A1，B正确； 对于C选项，＝(1,0,2)，则·＝－2＋2＝0，C正确； 对于D选项，＝(0,2，－2)，＝(0,1，－1)，故＝2，又因为GE，HF不重合，所以GE∥HF，D正确． 12.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A．(1,1,1) B. C. D. 答案　C 解析　方法一　由题意得C(0,0,0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，A(，，0)， 则＝(－，0,1)，＝(，－，0)， 设M(a，a,1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝，则x＝1，y＝1，所以n＝(1,1，)， 又＝(a－，a－，1)， 所以·n＝a－＋a－＋＝0， 解得a＝，即M. 方法二　如图，设AC与BD相交于点O，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE， 得AM∥OE， 又O是正方形ABCD对角线的交点， 所以M为线段EF的中点． 在空间直角坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)． 由中点坐标公式，知点M的坐标为. 13．(5分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 答案　 解析　如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝a，AP＝b， 则A(0,0,0)，D(0,1,0)． P(0,0，b)，B1(a,0,1)，E. 于是＝(a,0,1)，＝， ＝(0，－1，b)． 方法一　设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)，则得取x＝2， 得y＝－a，z＝－2a， ∴n＝(2，－a，－2a)是平面B1AE的一个法向量．∵DP∥平面B1AE，∴·n＝a－2ab＝0，解得b＝，即AP＝. 方法二　∵DP∥平面B1AE， ∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ， 即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ＝. ∴∴b＝λ＝，即AP＝. 14．(5分)如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝__________. 答案　 解析　如图所示，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，O(1,1,0)， 则F(1,0,1)，E(0,1,1)， 所以＝(1,2，－1)，＝(－1,1,0)， 设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得n＝(1,1,3)． 因为OG∥平面EFC，则n·＝0， 设G(0,0，a)，0≤a≤2，则＝(－1，－1，a)， 所以－1－1＋3a＝0，解得a＝， 所以G，即AG＝. 15．(5分)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则 (1)PQ与BD的位置关系是________； (2)||的最小值为________． 答案　(1)平行　(2) 解析　(1)以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A1(1,0,1)，E， B(1,1,0)，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，所以设P(a，b,1)，Q(m，n,1)， 所以＝，＝(a－1，b－1,1)，＝(m－1，n－1,1)． 因为BP⊥A1E，BQ⊥A1E， 所以 解得 ＝(m－a，n－b,0)＝(n－b，n－b,0)， 因为＝(－1，－1,0)， 所以PQ与BD的位置关系是平行． (2)由(1)可知b－a＝， ||＝ ＝＝ ＝， 当a＝时，||有最小值，最小值为. 16．(11分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解　如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1， 则O，P， A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 设Q(0,1，m)(0≤m≤1)． 方法一　因为＝， BD1＝(－1，－1,1)， 所以∥BD1， 于是OP∥BD1. 又＝，＝(－1,0，m)， 当m＝时，＝， 即∥，所以AP∥BQ，又OP∩AP＝P，BD1∩BQ＝B，所以平面PAO∥平面D1BQ， 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 方法二　＝， ＝. 设平面PAO的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则有n1⊥，n1⊥， 因此 取x1＝1，则n1＝(1,1,2)． 又因为＝(－1，－1,1)，＝(0，－1,1－m)． 设平面D1BQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则有n2⊥，n2⊥， 因此 取z2＝1，则n2＝(m,1－m,1)． 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2， 因此＝＝，解得m＝， 这时Q. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 学科网（北京）股份有限公司 $