第一章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦空间中点、直线、平面的向量表示这一核心知识点，从点的位置向量入手，通过问题引导理解直线方向向量（基于共线向量定理），再结合平面向量基本定理构建平面法向量概念，形成“点—直线—平面”的向量表示体系，配套知识梳理、例题解析和跟踪训练，搭建递进式学习支架。 该资料以正方体、直角梯形等模型为载体，通过待定系数法求方向向量和法向量，培养学生空间观念与运算能力。课中例题示范清晰助力教师授课，课后分层次练习帮助学生巩固方法，用向量语言精准描述几何关系，提升数学表达与逻辑推理素养，兼顾课中教学与课后查漏补缺需求。

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [学习目标]　1.会用向量语言描述直线和平面.2.理解直线的方向向量和平面的法向量.3.会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点) 导语 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面． 一、空间中点的向量和直线的向量表示 问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 问题2　空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l? 提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t.如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得＝＋t.② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 知识梳理 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 例1　(1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． 答案　(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一) 解析　因为DD1∥AA1，＝(0,0,1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； 因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)． (2)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C. D．3 答案　A 解析　∵A(0，y,3)，B(－1,2，z)， ∴＝(－1,2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)， 故设＝km. ∴解得 ∴y－z＝0. 反思感悟　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 跟踪训练1　(1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是(　　) A．(2,2,6) B．(1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) 答案　AB 解析　∵＝(1,1,3)，M，N在直线l上，∴向量(1,1,3)，(2,2,6)都可作为直线l的方向向量． (2)已知直线l1的方向向量a＝(2，－3，5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是(　　) A．6和－10 B．－6和10 C．－6和－10 D．6和10 答案　A 解析　因为a∥b，a＝(2，－3,5)，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa， 即(－4，x，y)＝λ(2，－3,5)＝(2λ，－3λ，5λ)， 所以解得 所以x，y的值分别是6和－10. 二、空间中平面的向量表示 知识梳理 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 例2　已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． 解　∵D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)，∴＝(1,2,0)， ＝(－1,0,2)， 设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝1， 解得y＝－，z＝， ∴n＝， 即平面SCD的一个法向量为n＝， ∵x轴⊥平面SAB， ∴m＝(1,0,0)即为平面SAB的一个法向量． 注意：答案不唯一(所有与上述m，n共线的非零向量均可作为相应平面的法向量)． 反思感悟　求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为非零常数，便可得到平面的一个法向量． 跟踪训练2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量． 解　设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)， (1)设平面BDD1B1的法向量为 n＝(x1，y1，z1)， ∵＝(2,2,0)，＝(0,0,2)， 则即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝(1，－1,0)．(答案不唯一) (2)∵＝(2,2,0)，＝(1,0,2)， 设平面BDEF的法向量为m＝(x2，y2，z2)． ∴即 令x2＝2，则y2＝－2，z2＝－1， ∴平面BDEF的一个法向量为m＝(2，－2，－1)．(答案不唯一) 1．知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示． (2)直线的方向向量． (3)平面的法向量． 2．方法归纳：待定系数法、赋值法． 3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性． 1．(多选)下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是(　　) A.＝＋k B.＝＋k C.＝＋k D.＝＋k 答案　AB 解析　由点P在直线上的充要条件可得，A，B符合题意． 2．已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A．－1 B．1或－1 C．－3 D．1 答案　A 解析　由题意得a∥b，所以＝＝，解得x＝－1. 3．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是(　　) A．(0，－3,1) B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1) 答案　D 解析　由题意可得要求平面α的一个法向量，即求与n共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝ －(－2,3，－1)． 4．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________． 答案　x＋2y－3z＝0 解析　由题意得e⊥， 则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0， 故x＋2y－3z＝0. [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为(　　) A．(1,1,0) B．(1,0,1) C．(0,0,1) D．(1,1,1) 答案　D 解析　由题意知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，所以＝(1,1,1)，即直线DB1的一个方向向量是(1,1,1)． 2．向量n＝(1，－1,1)为平面α的一个法向量，则下列向量中，也是平面α的一个法向量的是(　　) A．(－1,0,1) B．(－1,1，－1) C．(－1，－1，－1) D．(1,1，－1) 答案　B 解析　非零向量(－1,1，－1)与n平行，故(－1,1，－1)也是平面α的一个法向量，而A，C，D中向量均不与向量n平行，所以不能作为平面α的一个法向量． 3．已知平面α内有两点M(－2,3,1)，N(2,4,1)，若平面α的一个法向量为n＝(6，a,6)，则a等于(　　) A．－ B. C．－24 D．24 答案　C 解析　由题可得＝(4,1,0)，因为平面α的一个法向量为n＝(6，a,6)，所以n⊥， 所以n·＝(6，a,6)·(4,1,0)＝6×4＋a×1＋6×0＝0，解得a＝－24. 4．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1,1,1) B. C. D. 答案　B 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝(0，－1,1)，＝(－1,1,0)， 则 ∴x＝y＝z， 又∵单位向量的模为1，故只有B正确． 5．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B. C. D. 答案　B 解析　对于选项A，＝(1,0,1)， 则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A； 对于选项B，＝， 则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确； 同理可排除C，D. 6．(多选)已知空间中A(0,0,0)，B(2,1,0)，C(－1,2,1)三点，则下列说法正确的是(　　) A.与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C.在方向上的投影向量是(－2，－1,0) D．平面ABC的一个法向量是(1，－2,5) 答案　BCD 解析　＝(2,1,0)，＝(－1,2,1)， ＝(－3,1,1)， 若与共线， 设＝λ，则 方程无解，故与不共线，A错误； 与同向的单位向量是＝＝，B正确； 在方向上的投影向量是·＝·＝(－2，－1,0)，C正确； 设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)， 则 令y＝－2，则n＝(1，－2,5)，D正确． 7．(5分)在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为________．(写出一个方向向量的坐标) 答案　(答案不唯一) 解析　设直线l的方向向量为d＝(x，y，z)，则所以 令y＝1，则z＝－2，x＝，所以直线l的一个方向向量为d＝. 8．(5分)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若点P(a,1,1)在平面ABC内，则a＝________. 答案　－1 解析　设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，又＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)， 所以取x＝1，得n＝(1,1,1)， 因为P(a,1,1)在平面ABC内， 则n·＝a－1＋1＋1＝0，解得a＝－1. 9．(10分)已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)． (1)写出直线BC的一个方向向量；(4分) (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．(6分) 解　(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)， ∴＝(－2,2，－2)， 即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．(答案不唯一) (2)由题意得＝(x－2，y－2，z－2)， ∵⊥平面α，AM⊂α， ∴⊥，则·＝0，∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0. ∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0. 化简得x－y＋z－2＝0. 10．(10分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝6，AA1＝3，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD；(5分) (2)平面ACC1A1.(5分) 解　(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(6,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,3)，A1(6,0,3)， 所以＝(0,0,3)， 因为DD1⊥平面ABCD， 所以为平面ABCD的一个法向量， 所以平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,3)．(答案不唯一) (2)设平面ACC1A1的法向量为m＝(x，y，z)， 因为＝(－6,2,0)， ＝(0,0,3)， 所以 令x＝1，则m＝(1,3,0)， 所以平面ACC1A1的一个法向量为m＝(1,3,0)．(答案不唯一) 11.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是(　　) A. B．(1，，1) C．(1,1,1) D．(2，－2,1) 答案　A 解析　因为＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y,1)， 由即 解得 所以n＝(2,2,1)． 又＝n， 因此，平面PAB的一个法向量为. 12．(多选)已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案　AD 解析　因为|a|＝＝6， 所以x＝±4. 因为a⊥b， 所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0， 即y＝－1－x， 所以当x＝4时，y＝－3； 当x＝－4时，y＝1. 所以x＋y＝1或x＋y＝－3. 13．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　) A．(18,17，－17) B. (－14，－19,17) C. D. 答案　A 解析　设B点坐标为(x，y，z)， 则＝λa(λ>0)， 即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)， 因为||＝34， 即＝34，解得λ＝2， 所以x＝18，y＝17，z＝－17. 14．(5分)若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________. 答案　2∶3∶(－4) 解析　由已知得，＝， ＝， ∵a是平面α的法向量， ∴a·＝0，a·＝0， 即解得 ∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)． 15．(5分)已知在空间直角坐标系中，A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,6)，点M(x，y,2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则＋的最小值为________． 答案　 解析　依题意，＝(－2,3,0)，＝(0，－3,6)，＝(x－2，y,2)， 设平面ABC的法向量为m＝(a，b，c)， 则 令c＝1，得m＝(3,2,1)， 依题意，m·＝0，则3x＋2y＝4， 则＋＝(3x＋2y) ＝≥＝， 当且仅当x＝4－，y＝2－4时取等号． 16．(13分)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)． (1)求证：是平面ABCD的法向量；(6分) (2)求平行四边形ABCD的面积．(7分) (1)证明　因为·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝0， ·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量． (2)解　因为||＝＝， ||＝＝2， ·＝(2，－1，－4)·(4,2,0)＝6， 所以cos〈，〉＝＝， 故sin〈，〉＝， S▱ABCD＝||·||sin〈，〉＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $