第2章 习题课 与圆有关的最值(范围)问题（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦与圆有关的最值问题，系统梳理距离、面积及代数式几何意义转化等核心内容，通过知识梳理搭建基础模型，结合例题解析与跟练训练，帮助学生从公式应用过渡到综合问题解决，构建递进式学习支架。 其亮点在于以数形结合为主线，通过“模型梳理-例题反思-分层训练”培养数学眼光与思维，如将(y/x)转化为斜率求最值体现几何直观，课堂小结提炼方法助学生用数学语言表达规律。分层习题适配不同学情，教师可高效开展教学，学生能提升问题转化与逻辑推理能力。

第2章 <<< 习题课　与圆有关的最值(范围)问题 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 学习目标 一、与距离有关的最值问题 二、与面积有关的最值问题 课时对点练 三、利用数学式的几何意义求解最值问题 随堂演练 内容索引 与距离有关的最值问题 一 1.如图①，圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝_____，最大值＝_____. 图①　　　　　　　图② 2.如图②，直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝_____，最大值＝_____. d－r d＋r d－r d＋r 知识梳理 5 3.如图③，过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝__________，最大值＝____. 图③　　　　　　　 图④ 4.如图④，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝_________. 2r 6 　　　(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2 ＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为______. 例 1 7 √ 8 由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上， 9 (1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值. 反 思 感 悟 10 　　　　　(1)从点P(1，－2)向圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为 A.－1 B.1 C.2 D.0 跟踪训练 1 √ x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m，1)，半径为1， 即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短. 11 (2)过点A(3,1)作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为_____. 易知圆心C(2,2)，半径r＝2. 当弦过点A(3,1)且与CA垂直时弦长最短， 12 二 与面积有关的最值问题 　　　(1)已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为_____. 例 2 1 根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2， O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴， 当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小， 则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1， 14 (2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝____. 2 15 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1， 由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC， 所以当|PC|取最小值时，|PB|最小. 又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点， 当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离， 16 因为k>0，所以k＝2. 17 反 思 感 悟 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解. 　　　　　直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为 跟踪训练 2 √ 19 设圆心到直线的距离为d(0<d<1)， 20 利用数学式的几何意义求解最值问题 三 　　　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上. 例 3 22 方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 23 (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图②所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2. 24 (3)求x＋y的最大值与最小值. 25 反 思 感 悟 　　　　　(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是 跟踪训练 3 √ √ 27 28 29 1.知识清单： (1)与距离、面积有关的最值问题. (2)利用数学式的几何意义求解圆的最值问题. 2.方法归纳：数形结合、转化思想. 3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是 A.[3,7] B.[1,9] C.[0,5] D.[0,3] √ x2＋y2＝4，圆心(0,0)，半径r＝2， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3， 最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]. 2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为______. 1 2 3 4 课时对点练 五 1.已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4， 2.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)，半径为3； 圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4， 圆心为C2(－2，－1)，半径为2， ∴两圆外离， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为 A.－9,1 B.－10,1 C.－9,2 D.－10,2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2， 当PC⊥l时，|PC|最小，则|PM|最小. 6.(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则 A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (x－1)2＋y2＝2 ∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)， ∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 8.已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)， 则AB的中点为(0,0)，|AB|＝2m， 若圆C上存在点M，使得AM⊥MB， 则圆C与圆O有交点， 又由m>0，解得3≤m≤7，即m的最小值为3. 9.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 由直线MQ与圆C有交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵圆与x，y轴正半轴都相切， ∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)， ∵圆心C到直线l的距离为3， 解得a＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点， ∴△PCE≌△PCF， ∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点， ∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4， ∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小.|PC|min即为点C到直线l的距离，由(1)知|PC|min＝3， 11.若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，点B的坐标为(0,2)，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，则|PB|＋|PQ|的最小值为______. 由于点B(0,2)关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)， 则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|， 14.已知圆O：x2＋y2＝4，直线l过点(1,1)且与圆O交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的方程为____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x＋y－2＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率存在时， 设l的方程为y－1＝k(x－1)，k≠1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当4－d2＝d2，即d2＝2时， S△OAB取得最大值2， 则直线l的方程为x＋y－2＝0. 15.点A是圆C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一点，圆C2是过点(5,4)且半径为1的动圆，点B是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可知点C2的轨迹方程是(x－5)2＋(y－4)2＝1， 即得点C2是圆C3：(x－5)2＋(y－4)2＝1上的动点， 又由题知点B是圆C2上的动点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求圆C的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以C(－1,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即r＝2， 所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l1：y＝kx(k>0)，与圆联立方程组可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②求|PN|2＋|QN|2的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |PN|2＋|QN|2 ＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2 ＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2 令t＝3＋k(t>3)，则k＝t－3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 解得m＝－. － 直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令 解得定点坐标为M(3,1)，因为圆心C(1,2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，kCM＝＝－，kl＝－， 所以kCM×kl＝×＝－1， (2)在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为 A. B. C. D. 故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，又直线与圆相离，所以距离的最小值为－＝，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为. 切线长最短时，|CP|最小，|CP|＝， 2 |CA|＝＝. ∴最短弦长＝2＝2＝2. 则△OAM面积的最小值S＝×|OA|×d＝1. 又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小 值为S＝1＝r|PB|min＝|PB|min，则|PB|min＝2， 因为|PB|＝＝， 所以＝＝，解得k＝±2， A.1 B. C. D. 当且仅当d＝时，等号成立. 则|AB|＝2， 所以S△ABO＝·2·d＝， 由基本不等式，可得S△ABO＝≤＝， (1)求的最大值和最小值；  表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小. 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为. 又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. 设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题. (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题. A.y－x的最大值为－2 B.x2＋y2的最大值为7＋4 C.的最大值为 D.x＋y的最大值为2＋ 对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确； 对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B说法正确； 对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误. 对于C，设＝k，则y＝kx，把y＝kx代入圆的方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，所以的最大值为，故C说法错误； 圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5， A. B.2 C.2 D.4 根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4,3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|＝，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|－1＝－1＝4，则|PQ|的最小值为＝2. 3.点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是 A.[，＋∞) B. (－∞，－] C. (－∞，－]∪[，＋∞) D. [－，] 将看作圆上动点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率， 设＝k，如图， 可得k≥或k≤－. 所以|C1C2|＝＝2， 当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4.　 4 因为C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,0)，r2＝4， A. B.2 C.2 D.4 则圆心为(2,0)，半径r＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为， |AB|的最小值为2＝2. A. B. C.1 D.3 由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝. A.5 B.1 C.3－5 D.3＋5 ∴两圆的圆心距为|C1C2|＝＝3>5， ∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去两圆半径的和，即3－5. 当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9. 5.已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为 A.2 B. C. D.1 由题意得|PC|min＝d＝＝2， 所以()2＝22－r2，解得r＝1. C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 D.当∠PBA最大时，|PB|＝3 设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋<5＋＝10，故A正确. 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4<－4＝1，故B不正确. 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确. ∴圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝， ∴半径最大为， 则以AB的中点为圆心，半径r＝×|AB|的圆为x2＋y2＝m2，设该圆为圆O， 必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，即 ∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2， 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. 由题意可知表示直线MQ的斜率， 即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k. 得≤2，可得2－≤k≤2＋， (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值. ∴的最大值为2＋，最小值为2－. 由点到直线的距离公式，得d＝＝3， ∴|PE|＝32－4＝5，即|PE|min＝， ∴(S△PCE)min＝|EC|·|PE|min＝×2×＝， ∴四边形PECF的面积的最小值为2. A. B.3 C. D.2 由圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，得圆心(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，可得b＝a－3，点M(a，b)到圆心的距离为，则由点M(a，b)向圆所作的切线长为＝，当a＝2时，所求的切线长取得最小值，为. 12.已知实数x，y满足方程y＝，则的最大值为 A.0 B.1 C. D.2 方程y＝化为(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx， 如图所示，当直线与半圆相切时，k＝(负值舍去)，所以的最大值为. 2 又B′到圆C上点Q的最短距离为|B′C|－r＝3－＝2， 所以|PB|＋|PQ|的最小值为2. 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，则A，B的坐标为(1，)，(1，－)， ∴S△OAB＝×2×1＝； 则圆心到直线l的距离d＝＝， 由平面几何知识得|AB|＝2， ∴S△OAB＝|AB|×d＝×2×d＝×d≤＝2， ∵<2，∴S△OAB的最大值为2， 此时，由＝，解得k＝－1. 如图可得|AB|min＝－1－1－1＝2. 16.已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点M. 由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点M，设C(a，0)， 则kCM＝， 直线l：4x＋3y－6＝0的斜率为－， 所以·＝－1，所以a＝－1， |CM|＝＝2， ①求证：＋为定值； Δ＝4＋12(1＋k2)>0，x1＋x2＝－，  x1x2＝－， 则 ＋＝＝为定值. ＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10＝＋16， 所以＋16＝＋16 ＝＋16≤＋16＝2＋22， 当且仅当t＝，即t＝时取等号，此时k＝－3， 所以|PN|2＋|QN|2的最大值为2＋22. $