第2章 习题课 对称问题（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件围绕对称问题展开，系统涵盖点关于点、点关于直线、直线关于点的对称及反射、最值应用等内容，通过例题导入逐步延伸，结合方法总结构建从基础到应用的学习支架，帮助学生理清知识脉络。 其亮点在于融入光线反射、将军饮马等现实情境，运用转化化归和数形结合的数学思维，借助坐标公式与方程的数学语言解决问题。例题与训练体系完整，能提升学生的逻辑推理与应用能力，也为教师提供清晰的教学流程和丰富资源。

第2章 <<< 习题课　对称问题 1.学会解决点点、点线、线线对称问题. 2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题. 学习目标 一、几类常见的对称问题 二、光的反射问题 课时对点练 三、利用对称解决有关最值问题 随堂演练 内容索引 几类常见的对称问题 一 　　　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标； 例 1 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 所以点P′的坐标为(－2,7). 5 (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； 6 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 7 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程. 8 (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程. 在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)， 则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4). 因为点E′，F′在所求直线上， 即3x－y－17＝0. 9 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式. 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求. 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”. 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 反 思 感 悟 对称问题的解决方法 10 　　　　　已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； 跟踪训练 1 设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 11 (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程. 因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程， 则直线MR即为所求的直线，由两点式得所求直线方程为11x＋2y－17＝0. 12 二 光的反射问题 　　　一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程. 例 2 14 如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段OA的中点在l上得 即反射光线的反向延长线过A(4,3)， 又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 15 由于反射光线为射线， 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8， 即光线从O点到达P点所走过的路程为8. 16 反 思 感 悟 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. 　　　　　如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是 跟踪训练 2 √ 18 19 利用对称解决有关最值问题 三 　　　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大； 例 3 21 ∴a＋b－4＝0， ① ∴点B′的坐标为(5，－1). 22 即2x＋y－9＝0. 易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大. 23 (2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小. 24 如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)， ∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小. 25 反 思 感 悟 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 利用对称性求距离的最值问题 　　　　　已知两点A(1,3)，B(4,5)，动点M在直线y＝x上运动，则|MA|＋|MB|的最小值为_____. 跟踪训练 3 27 根据题意画出图象，如图， 设点A关于直线y＝x的对称点为A′(x，y)， 28 1.知识清单： (1)关于点点、点线、线线的对称问题. (2)反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0的对称点的坐标是 A.(－1，－3) B.(17，－9) C.(－1,3) D.(－17,9) √ 1 2 3 4 设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0的对称点的坐标为(a，b)， 所以该点的坐标为(－1，－3). 2.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则 A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1 C.a＝4，b＝3 D.a＝5，b＝2 1 2 3 4 √ 3.直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是 A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0 1 2 3 4 √ 4.在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，定点M(3,4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是 A.10 B.11 C.12 D.13 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)， 则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|. 当A与B重合于坐标原点O时， |MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ| 当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10. 综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值为10. 课时对点练 五 1.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点仍在l上，则a＋b等于 A.－1 　　　　B.1 　　　　C.2 　　　　D.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上， ∴点P(a，b)在直线l上， ∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1. 3.点P(2,5)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点的坐标为 A.(6，－3) B.(3，－6) C.(－6，－3) D.(－6,3) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为 A.bx＋ay－c＝0 B.bx－ay＋c＝0 C.bx＋ay＋c＝0 D.bx－ay－c＝0 √ 5.直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是 A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0 C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变， ∴设对称后的直线l′的方程为2x＋3y＋c＝0， 又点(1，－1)到两直线的距离相等， 化简得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8， ∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0，即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0. 6.光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，则光线从A到B的路程即|A′B|的长， 7.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点A(－2,3) 无旋转射入，经过x轴(桌边)上的点P反弹后，经 过点B(5,7)，则点P的坐标为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x，0)，A点关于x轴对称的点为A′(－2，－3)， 由题意知A′，B，P三点共线， 8.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6x－y－6＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)， 则反射光线所在直线过点M′， 即M′(1,0)，又反射光线经过点N(2,6)， 即6x－y－6＝0. 9.已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设B(m，0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3). 易知点C在直线A′B上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形.综上，符合题意的△ABC只有1个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求直线BC的方程. 则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 11.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为 A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0 C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点B(2，－1)到直线l2的距离为d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12.若x，y满足x＋y＋1＝0，则x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为 原多项式可化为(x－1)2＋(y－1)2，其几何意义为点P(x，y)和点Q(1,1)间距离的平方，且点P(x，y)在直线x＋y＋1＝0上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和， 设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′， 则A′(－2，－4).要求f(x)的最小值，即求|MA|＋|MB|的最小值， 14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马饮水后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马”的总路程最短为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)， 由题意可得 在直线x＋y＝3上取点P， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由对称性可得|PB|＝|PC|， 当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立， 15.若函数y＝ 的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的 方程是_____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 x－4y－1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又线段PQ的中点是(1,0)， 所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).在直线l上求一点P， (1)使|PA|＋|PB|最小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 故A′(－2,8). 因为P为直线l上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故所求的点P的坐标为(－2,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)使||PB|－|PA||最大. A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 故所求的点P的坐标为(12,10). 即解得 解方程组得 则点在所求直线上. 则 解得 则点M′也在所求直线上. 由两点式得直线方程为＝， 所以由两点式得所求直线方程为＝， 则有 解得则R. 点P关于直线l的对称点为R， 解得∴A的坐标为(4,3). 联立解得 即交点Q， 故反射光线的方程为y＝3. A.2 B.6 C.3 D.2 由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0. 如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝2. 由①②得 如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1， ∵BB′的中点在直线l上， ∴－－1＝0，即a－b－6＝0. ② 故点P的坐标为. 于是AB′所在直线的方程为＝， ∴联立直线AB′与l的方程，解得x＝，y＝， 即直线AB′与l的交点坐标为. ∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝， 即直线AC′与l的交点坐标为. 故点Q的坐标为. 所以 解得即A′(3,1)， 连接A′B，则|A′B|即为|MA|＋|MB|的最小值，|A′B|＝＝. 则由 解得 由 解得 两对称点所在直线的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0. 在直线 x－2y＋1＝0上任取两点，不妨取点(1,1)，， 这两点关于直线x＝1对称的点分别为 (1,1)，， ＝＝10； A.4 B. C. D. 根据中点坐标公式得 解得所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝. 设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，则解得 ∴＝， A.5 B.2 C.5 D.10 |A′B|＝＝5， 即光线从A到B的路程为5. 则kA′P＝＝，kA′B＝＝， 则kA′P＝kA′B，即＝，解得x＝， 故点P的坐标为. 所以解得 所以所求直线的方程为＝， 解方程组得交点P.令x＝0，得直线M1M2与y轴的交点Q.所以当P和Q的坐标分别为，时，△MPQ的周长最小. 且直线A′B的方程为y＝(x－m). 由得x＝. 又点C在直线AB′上，且直线AB′的方程为y－2＝(x－1)， 由得x＝. 所以＝，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或m＝－3. 当m＝时，符合题意； 由(1)得m＝， 设A(a，b)，则 解得所以A(－1,1). 当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又kl2＝－＝－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0. A.2 B. C.3 D.4 设d为点Q到直线x＋y＋1＝0的距离，由|PQ|≥d，得≥，即x2＋y2－2x－2y＋2≥.故所求的最小值为. 13.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离.结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为 A.2 B.5 C.4 D.8 ∵f(x)＝＋ ＝＋， ∴|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，当且仅当A′，M，B三点共线时等号成立， 即f(x)的最小值为5. A. B. C.2 D.10 解得即C(7,4)， 所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC| ＝＝2， 因此，“将军饮马”的总路程最短为2.   根据题意，设P，Q， 所以整理得 解得x＝1±， 所以P，Q 或P，Q. 则解得 则得 当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则得 $