第五章 习题课 二项式定理的综合应用（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦二项式定理应用，涵盖多项式乘积特定项、系数最值、整除与余数问题。通过《射雕英雄传》星期几计算的情境导入，从余数问题过渡到二项式定理，搭建实际到理论的学习支架。 其亮点在于情境导入激发数学好奇心，“双通法”等方法归纳培养推理能力，结合射雕问题、整除证明等实例强化模型意识。学生能提升应用能力，教师可借助系统练习和方法总结提高教学效果。

第五章 <<< 习题课　二项式定理的综合应用 1.熟练掌握二项式定理. 2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题. 3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题. 4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题. 学习目标 在江南醉仙楼，丘处机和被焦木邀约出头的江南七怪大打出手，最后发现是一场误会.丘处机道：“过得一十八年，孩子们都十八岁了，咱们再在嘉兴府醉仙楼头相会，大邀江湖上的英雄好汉，欢宴一场.酒酣耳热之余，让两个孩子比试武艺，瞧是贫道的徒弟高明呢，还是七侠的徒弟了得？”以上是金庸武侠剧《射雕英雄传》的一个情节. 旧时日、月和火、水、木、金、土五星合称七曜，分别用来称一个星期的七天，日曜日是星期天，月曜日是星期一，其余依此类推.火曜日是星期二，水曜日是星期三，木曜日是星期四，金曜日是星期五，土曜日是星期六.假如丘处机立约之日是月曜日(星期一)，18年(约6 570天)后比武之日是什么曜日(星期几)？82 022天后是什么曜日(星期几)？今天我们一起探讨怎样快速准确地得到答案. 导 语 一、两个多项式乘积的特定项 二、系数的最值问题 课时对点练 三、整除和余数问题 随堂演练 内容索引 两个多项式乘积的特定项 一 例 1 (1)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为 A.10 　　　B.－10 　　　C.2 　　　D.－2 √ 6 (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于 A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 √ 7 反 思 感 悟 求多项式积的特定项的方法——“双通法” 8 跟踪训练 1 　　　　　 (1)(1＋2x2)(1＋x)4展开式中x3的系数为 A.12 　　　B.16 　　　C.20　　　 D.24 √ 方法二　∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12. 9 (2)(x－y)(x＋y)8展开式中x2y7的系数为_____.(用数字作答) －20 10 二 系数的最值问题 例 2 　　已知 展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开 式中系数最大的项. 12 即n2＋n－156＝0. 解得n＝－13(舍去)或n＝12. 设Tk＋1项的系数最大， 解得9.4≤k≤10.4. 13 又∵1≤k≤11，k∈N，∴k＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 14 反 思 感 悟 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解.一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k的范围来确定k的值，即可求出最大项. 跟踪训练 2 16 设Tk＋1项的系数最大， ∵1≤k≤9，k∈N，∴k＝7， ∴展开式中系数最大的项为 17 整除和余数问题 三 　(1)试求2 02410除以5的余数； 例 3 2 02410＝(404×5＋4)10. ∵其展开式中除末项为410外，其余的各项均含有5这个因数， ∴2 02410除以5的余数与410除以5的余数相同. 又∵410＝(5－1)10， 其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有5这个因数， ∴410除以5的余数为1，即2 02410除以5的余数也为1. 19 (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除. 32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9 ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除. 20 反 思 感 悟 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. 求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除. 跟踪训练 3 原式＝4·6n＋5n－4＝4(5＋1)n＋5n－4 以上各项均为25的整数倍， 故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除. 22 1.知识清单： (1)两个多项式乘积的特定项. (2)系数的最值问题. (3)整除与余数问题. 2.方法归纳： 双通法. 3.常见误区：项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 A.25 　　B.－25 　　C.5 　　D.－5 √ 1 2 3 4 令6－2k＝－2或6－2k＝0， 分别解得k＝4或k＝3. 1 2 3 4 2.(1－2x)5的展开式中系数最大的项是 A.第3项 　　B.第4项 　　C.第5项 　　 D.第6项 √ 故当k＝4时，展开式中的第5项系数最大. 1 2 3 4 (x＋1)4(x－1)展开式中含x3的项由以下两部分相加得到： 3.(x＋1)4(x－1)展开式中x3的系数是____. 2 ②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1， 所以(x＋1)4(x－1)展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2. 1 2 3 4 4.230－3除以7的余数为____. 5 230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3 又∵余数不能为负数(需转化为正数)， ∴230－3除以7的余数为5. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 A.－3 　　B.－2 　　 C.2　　 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令10－2k＝2或10－2k＝0， 解得k＝4或k＝5. A.－6 B.－3 C.0 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1－x)4展开式的通项为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.1.026的近似值为(精确到0.01) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20 √ ≈1.13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数是 A.56 　　B.84 　　 C.112 　　D.168 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.0 　　B.8 　　 C.7 　　D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.n＝9 B.二项式系数最大的项为第6项 C.系数最大的项为第6项 D.含x3的项是第6项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以(n－10)(n＋9)＝0，得n＝10或n＝－9(舍).故A不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为n＝10，所以展开式共有11项，所以二项式系数最大的项为第6项，故B正确； 因为展开式中各项的系数与该项的二项式系数相等，所以系数最大的项为第6项，故C正确； 因为n＝10，所以展开式的通项为Tk＋1＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知(1＋ax)3＋(1－x)5展开式中x3的系数为－2，则a＝____. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(x2＋x＋y)5展开式中x5y2的系数为____. 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 方法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y相乘. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.用二项式定理证明1110－1能被100整除. 1110－1＝(10＋1)10－1 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110－1能被100整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设展开式中第(k＋1)项的系数最大， 又因为1≤k≤4，k∈N，所以k＝4， 所以展开式中第5项系数最大， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.0 　　　 B.2 　　　 C.7 　　　D.8 √ 综合运用 所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7， 所以余数为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设a∈N，且0≤a＜13，若512 024＋a能被13整除，则a等于 A.0 　　　B.1 　　　 C.11　　　 D.12 √ 512 024＝(13×4－1)2 024，被13整除余1，结合题意及选项可得当a＝12时，512 024＋a能被13整除. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即a除以10的余数为1， 因为a≡b(mod 10)， 所以b的值除以10的余数也为1， 观察选项，只有2 021除以10的余数为1， 则b的值可以是2 021. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N＋)展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值为______. 272 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即m＋2n＝18， ∵m＋2n＝18， ∴m＝18－2n， ∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴当n＝5时，此时也满足m∈N＋， t即x2项的系数最小，最小值为272. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8， 则x5的系数由(x＋x2)r来决定， 令r＋k＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三　(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)…·(1＋x＋x2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三个： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1＋2x)3(1－x)4展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C·(2x)0·C·(－x)1＋C·(2x)1·C·(－x)0，其系数为C×C×(－1)＋C×2×C＝－4＋6＝2. 由二项式定理得(1＋x)5展开式的通项为Tk＋1＝C·xk，所以(1＋ax)(1＋x)5展开式中含x2的项的系数为C＋C·a＝5，所以a＝－1. 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为Tk＋1·Tr＋1＝ Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况. 方法一　(1＋2x2)(1＋x)4展开式中x3的系数为1×C＋2×C＝12. 由二项式通项可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8展开式中x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20. n 由已知得C＋C＋C＝79， ∵12＝12(1＋4x)12， 由 即T11＝12·C·410·x10＝16 896x10. 求10的展开式中系数最大的项. 则即 解得≤k≤. ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82. ① ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋25n. ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C)＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋4C·51＋4C＋5n－4 ＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋20n＋4＋5n－4 1.(x2＋2)6展开式中的常数项为 所以(x2＋2)6展开式的常数项为 1×C4＋2×C(－1)3＝15－40＝－25. 6展开式的通项为 Tk＋1＝Cx6－kk＝C(－1)kx6－2k. 由题意得，二项式通项为Tk＋1＝C·(－2)kxk，要使系数最大，k必须取偶数，即k＝0,2,4，对应的系数分别为1,40,80， ①(x＋1)4中的二次项乘以(x－1)中的一次项x，即Cx2·x＝6x3； 即Cx3×(－1)＝－4x3. ＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2. ＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3 1.(x2＋2)5展开式中的常数项是 5展开式的通项为 Tk＋1＝C5－k(－1)k＝(－1)kC. 故(x2＋2)5展开式中的常数项是 (－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3. 2.(1－x)4(1－)3展开式中x2的系数是 Tk＋1＝C(－1)kxk， (1－)3展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)r 当k＝0时，＝2，即r＝4>3，不符合题意； 当k＝1时，＝1，即r＝2，此时x2的系数为 C(－1)·C(－1)2＝－12； 当k＝2时，＝0，即r＝0，此时x2的系数为 C·(－1)2·1＝6，所以x2的系数是－12＋6＝－6. 1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006 在(1＋x)8展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168. 因为C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0. 5.设n∈N＋，则C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n除以9的余数为 6.(多选)已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，则 n的二项式通项为 所以倒数第三项的系数为C，故C＝45，即C＝45，所以＝45， Tk＋1＝Cn－k·()k＝ 令＝3，得k＝6，所以含x3的项是第k＋1＝6＋1＝7项，故D不正确. (1＋ax)3＋(1－x)5展开式中x3的系数为Ca3＋C(－1)3＝a3－10＝－2，则a3＝8，解得a＝2. 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4x＝Cx5. 所以x5y2的系数为CC＝30. ∴x5y2可从这5个因式中，其中两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30. ＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10＋C－1 ＝C1010＋C109＋C108＋…＋102 ＝100(108＋C107＋C106＋…＋1)， 10.求(＋3x2)5的展开式中系数最大的项. 又Tk＋1＝C()5－k(3x2)k＝ 则⇒⇒≤k≤. 原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数.因为n为正奇数， 11.当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是 12.若(x2－a)10展开式中x6的系数为30，则a等于 A. 　　　B. 　　　C.1 　　　D.2 10展开式的通项是Tk＋1＝C·x10－k·k＝C·x10－2k， 10展开式中x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)的系数分别为C，C. 因为(x2－a)10展开式中的x6由x2与10展开式中的x4的乘积以及－a与10展开式中的x6的乘积两部分构成， 因此，由题意得C－aC＝120－45a＝30， 14.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m).若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是 由题意可得a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10， 由二项式定理可得a＝C×1010－C×109＋…－C×101＋1， (1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x， ∴2C＋4C＝36， (1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2项的系数为t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n， ＝16n2－148n＋612＝16， ∴当n＝时，t取最小值，但n∈N＋， 所以Tr＋1＝C(x＋x2)r,0≤r≤8，r∈N， T′k＋1＝Cxr－kx2k＝Cxr＋k,0≤k≤r，k∈N， 解得或或 所以展开式中x5的系数为CC＋CC＋CC＝504. 方法二　(1＋x＋x2)8＝[(1＋x)＋x2]8＝C(1＋x)8＋C(1＋x)7x2＋C(1＋x)6(x2)2＋C(1＋x)5·(x2)3＋…＋C(1＋x)(x2)7＋C(x2)8， 则展开式中x5的系数为CC＋CC＋CC＝504. (1)有2个括号各出1个x2，其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有CC种； (2)有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x，共有CC种； (3)没有1个括号出x2，恰有5个括号各给出1个x，共有C种. 所以x5的系数是CC＋CC＋C＝504. $