期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：24～25章 相似三角形+锐角的三角比全部内容）-2025-2026学年沪教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：24~ 25章（相似三角形+锐角的三角比全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握成比例线段的条件． 利用成比例线段的条件逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴该四条线段成比例，不符合题意； B. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； C.∵任意两线段之比都不相等， ∴该四条线段不成比例，符合题意； D. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·单元测试）下面不是相似图形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； D、形状相同，符合相似形的定义，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴的邻边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，则卡车在竖直方向上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题可在直角三角形中，利用三角函数的定义，找出竖直高度与斜坡长度、倾斜角的关系来求解．本题主要考查了直角三角形中锐角三角函数（正弦函数）的定义，熟练掌握正弦函数的含义是解题的关键． 【详解】解：在中，，米，． 米 即卡车在竖直方向上升的高度为米， 故选： ． 5．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 故选：D． 6．（2025·上海·模拟预测）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（   ） A．的长，的度数 B．的长，的度数 C．的长，的度数 D．的长，的度数 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．设，．，．，．则．，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到． 【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米， 因此，要求只需先求． 设，． 在中，， 则． 在中，， 则． 所以． 又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同， 所以， 若已知的长，设，则，代入可解得， 进而求得，最终得到． 综上，需要测量、，这样就能通过解方程组求出，从而得到． 选项中的长和的度数，无法直接求EH，也无法建立两个方程求解： 选项缺少，无法联立方程组： 选项中的长已知则无需，但实际测量中无法直接得到； 选项中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到． 故选：D 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25九年级上·上海宝山·期中）两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质．根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】解：两个相似多边形的周长之比为， 它们的相似比为， 则它们的面积之比为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知点C是线段的黄金分割点，且．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为： 9．（24-25九年级上·上海·期中）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，先去括号，然后移项合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）在中，，，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据题意可得，则． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海松江·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查“互余的两个角的正切值互为倒数”这一知识点，解题关键是熟练掌握此性质. 根据互余的两个角的正切值互为倒数可知：、，应用此性质，并将代入，进行计算. 【详解】原式． 12．（2025·上海·模拟预测）点在线段上，若，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，设，则，根据可得：，解方程可得：，所以可得：． 【详解】解：如下图所示， 设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：或不符合题意，舍去， ， ， 故答案为： 13．（24-25九年级上·上海嘉定·开学考试）（1）若，则 ． （2）若（x，y，z均不为0），则 ． 【答案】 / 3 【分析】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解和能根据比例的性质进行计算是解此题的关键，注意：如果，那么，反之亦然． （1）根据已知等式设，再代入求出答案即可； （2）设k，根据比例的性质求出，再代入求出答案即可． 【详解】解：（1）， 设， 所以 ． 故答案为：； （2）设k， 则， 所以 ． 故答案为：3． 14．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角函数定义，先求出的正弦值，得出，然后根据直角三角形两锐角互余求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由题意可得，，再结合相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ，， ，， ， ， 与的面积比是． 故答案为：． 16．（2025·上海松江·模拟预测）如图，已知梯形，，对角线，相交于点O，与的面积之比为，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意证得，得，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 17．（2025九年级上·上海松江·模拟预测）如图，设为正三角形，边长为，，，分别在，，边上，且．连，，两两相交得到，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是面积及等积变换，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，能根据题意得出，再由相似三角形的性质得出答案是解答此题的关键．先根据为正三角形，边长为，且得出，，再求出及的面积，由相似三角形的性质可求出的面积，进而可得出答案． 【详解】解：如图， 过点作于点， ∴，， ∴ 在中， 为正三角形，边长为， ，，， ， ，， ，其相似比为， ， ， ∴， 故答案为：． 18．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 【答案】 30 20 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角和俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点H，根据题意可得：，，，，从而可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段中点的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点H， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高为，楼房的高为， 故答案为：30；20． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25九年级·上海松江·课后作业）化简： （1）；        （2）． 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）先去括号，再根据向量的加法法则计算即可； （2）先去括号，再根据向量的加减法法则计算即可. 【详解】解：（1）原式= = =； （2）原式= = = =. 【点睛】本题主要考查向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题． 20．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握各运算法则进行计算． 分别根据乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则，逐步计算各项，再算乘法，后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 21．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）已知∶如图，若，求． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握该定理并正确应用． 利用平行线分线段成比例定理，找出对应线段的比例关系，进而求解的长度． 【详解】解：， ，即， ． 22．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，中，，D为上一点，，在上找一点E，得到，若图中两个三角形相似，求的长 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的判定性质，关键是运用分类讨论，对可能出现的几种情况进行分析． 与相似要分成两种情况来进行讨论， ； ，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴ 综上：的长为或． 23．（2025·上海普陀·模拟预测）印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） (2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度． 【答案】(1)小亮与塔底中心的距离约为米； (2)文昌阁的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，一元一次方程的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）根据题意可得米，，米，米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （） 根据已知易得，再利用（）的结论从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得米，，米，米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴小亮与塔底中心的距离约为米； （2）解：∵米， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴（米）， ∴文昌阁的高度约为米． 24．（24-25九年级上·上海松江·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】1，1，1，1；（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． ①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角，都有； （1）过点作于，则．利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到，从而证明； （2）利用关系式，结合已知条件且，进行求解． 【详解】解：，， ；① ，， ；② ，， ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④ （1）如图，过点作于，则． ，， ， ， ， ． （2），，为锐角， ． 25．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 【答案】（1）m；（2）3；（3）12；（4）12 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）得：，再由与同高，即可求解； （3）由（1）（2）得：，从而得到，再结合，可得，即可求解； （4）设交于点O，过点B作于点F，由（2）得：，，从而得到，，，进而得到最大时，最大，此时最大，当点O与点F重合时，最大，此时，即可求解． 【详解】解：（1）∵点O是的重心， ∴点D，E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意得：， ∴， ∴， ∵与同高， ∴； （3）由（1）（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）如图，设交于点O，过点B作于点F， 由（2）得：，， ∵中线，中线， ∴，，， ∴当最大时，最大， ∵， ∴最大时，最大，此时最大， 当点O与点F重合时，最大，此时， ∴的最大值为． 故答案为：12 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：24~ 25章（相似三角形+锐角的三角比全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·单元测试）下面不是相似图形的是(　　) A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 4．（2025·上海闵行·模拟预测）一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，则卡车在竖直方向上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·上海·模拟预测）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（   ） A．的长，的度数 B．的长，的度数 C．的长，的度数 D．的长，的度数 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25九年级上·上海宝山·期中）两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为 ． 8．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知点C是线段的黄金分割点，且．若，则 ． 9．（24-25九年级上·上海·期中）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ． 10．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）在中，，，，则的度数为 ． 11．（25-26九年级上·上海松江·课后作业）计算： ． 12．（2025·上海·模拟预测）点在线段上，若，那么的值为 ． 13．（24-25九年级上·上海嘉定·开学考试）（1）若，则 ． （2）若（x，y，z均不为0），则 ． 14．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 15．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ． 16．（2025·上海松江·模拟预测）如图，已知梯形，，对角线，相交于点O，与的面积之比为，若，则的长是 ． 17．（2025九年级上·上海松江·模拟预测）如图，设为正三角形，边长为，，，分别在，，边上，且．连，，两两相交得到，则的面积是 ． 18．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25九年级·上海松江·课后作业）化简： （1）；        （2）． 20．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 21．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）已知∶如图，若，求． 22．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，中，，D为上一点，，在上找一点E，得到，若图中两个三角形相似，求的长 23．（2025·上海普陀·模拟预测）印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） (2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度． 24．（24-25九年级上·上海松江·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 25．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $