专题05 指数函数与对数函数（讲义）-2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为指数函数与对数函数。 2026版河南省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题05 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1．理解幂函数的定义，掌握幂函数的图像和性质 2．掌握幂的运算公式 3．理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像和性质 4．理解对数的含义，掌握对数的运算 5．理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 4 对数的运算求值 3 （1）题型：集中在选择题、填空题。 （2）分值：分值一般在6分左右。 （3）内容：对数的运算、指数幂的运算、指数函数和对数函数的图像和性质。 填空 12 指数函数求值域 3 2024 选择题 4 对数的运算求值 3 填空题 11 指数函数过定点问题 3 2023 选择题 3 结合对数函数求定义域 3 选择题 4 对数的运算求值 2021 选择题 4 结合指数函数的单调性求参数范围 3 填空题 12 结合对数函数求值域 3 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河南省对口升学考试可能有2道题目分别考查指数函数、对数函数，题型应该为为选择题或填空题，分值各3分，共6分。 具体考点可能涉及如下内容： 指数幂的运算 指数函数的图像和性质 对数的运算 对数函数的图像和性质 四、知识梳理 （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 （三）幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞)　 R [0，＋∞)　 (－∞，0)∪　(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶　函数 奇函数 单调性 在R上单 调递增 在 (－∞，0)上单调递减，在 (0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在 [0，＋∞)上单调递增 在 (－∞，0)和 (0，＋∞)上单调递减 公共点 (1,1)　 五、10分钟小测验 1．（   ） A．2 B．3 C．7 D．10 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．函数（且）的图像恒过定点（   ） A． B． C． D． 4．指数函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（   ） A．7 B．10 C．1 D．3 7．已知函数，则 （    ） A．1 B． C．2 D．4 8．若指数函数（且）的图像经过点，则=（    ） A．4 B．16 C．20 D．24 9．当且时，下列选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案解析】 1．A 【分析】根据对数的运算法则求解. 【详解】． 故选：A. 2．C 【分析】根据真数大于零求定义域. 【详解】要使函数有意义，则，即， 用区间表示为． 故选：C. 3．B 【分析】根据指数型函数恒过的定点求解即可. 【详解】函数为（且） 令，即时，， 所以函数（且）的图像恒过定点． 故选：B. 4．C 【分析】根据指数函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为指数函数在定义域上是增函数，且， 所以当时，的取值范围是． 故选：C. 5．C 【分析】根据题意，结合指数式与对数式的互化，及换底公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 6．B 【分析】根据指数运算法则即可得出结果. 【详解】． 故选:B. 7．C 【分析】根据题意，结合对数的运算，即可求解. 【详解】因为，则. 故选：C. 8．C 【分析】根据指数函数经过点，求出的值，再将和代入即可. 【详解】因为指数函数（且）的图像经过点， 所以， 所以. 故选：C. 9．A 【分析】根据指数幂的运算法则逐个分析即可. 【详解】已知，故A不正确， 因为，故B正确， 因为，故C正确， 因为，故D正确， 故选：A. 10．C 【分析】根据函数的单调性以及不等式的性质即可求解. 【详解】先证充分性： 因为， 所以. 因为函数在上单调递增， 所以. 再证必要性： 因为， 且函数在上单调递增， 所以，即. 故选：C. 六、经典例题解析 【考试题型1】对数的运算 【例1】（2025年·河南对口升学高考）计算（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【分析】根据对数运算法则以及，即可求解. 【详解】. 故选：C 【例2】（2024年·河南对口升学高考） 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质直接计算即可. 【详解】. 故选:B. 【例4】（24-25高三下·河南·模拟预测）的值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，结合对数恒等式，即可求解. 【详解】因为， 故选：C. 【例7】（23-24高三上·河南·模拟预测）下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质逐项判断即可得解. 【详解】A，，故A错误； B，，故B错误； C，，故C错误； D，由换底公式，可知，故D正确. 故选：D. 【考试题型2】指数函数恒过定点问题 【例3】（2024年·河南对口升学高考） 当，且时，无论a取何值，函数的图像必过一点是_________． 【答案】## 【分析】令取一个特定的值，使得的值与无关，即可得到图像必过点的坐标. 【详解】当时，. 故函数的图像必过一点是. 故答案为：. 【例5】（24-25高三上·河南·模拟预测）函数（，且）恒过定点（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数图像的性质，即可求解. 【详解】因为函数（，且）恒过定点， 令，当时，， 所以函数（，且）恒过. 故选：B. 【考试题型3】结合对数函数求定义域 【例6】（23-24高三下·河南·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数真数大于零结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】函数定义域满足，得或， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【考试题型4】利用指数函数和对数函数的性质比较大小 【例8】（22-23高三下·河南·模拟预测）下列选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可求解. 【详解】对A：因为函数在定义域上单调递增，所以，故A项错误； 对B：因为函数在定义域上单调递减，所以，故B项错误； 对C：因为函数在定义域上单调递减，所以，故C项正确； 对D：因为函数在定义域上单调递增，所以，故D项错误. 故选：C 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】 指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数． 【专题内容总结2】 指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a的取值范围不确定,则要对其进行分类讨论．所以要熟练掌握指数函数的两种情况的图像和性质是解题的关键. 对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同．对于对数的化简与运算，要对对数运算公式很熟悉，同时注意对公式的逆用.一般常见的技巧是①化为同底；②收：将同底数的对数和、差合成积、商的对数；③拆：将积、商的对数拆成对数的和、差. 【专题内容总结3】 比较大小问题是高考的常考题型，应熟练掌握比较大小的基本方法：①作差(商)法；②函数单调性法；③介值法(特别是以0和1为媒介值)．利用对数函数单调性比较大小的基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的定义域为R，所以y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同；值域则要用其单调性来求，复合函数的单调性要注意“同增异减”的原则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $