精选母题第1讲：有理数的混合运算-2025-2026学年苏科版七年级上学期数学精选母题系列

2025—2026学年七年级上学期数学精选母题系列 精选母题第1讲：有理数的混合运算 母题1——有理数的混合运算 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▋▎名师点拨 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可； （3）利用有理数的乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： …………………………避坑指南：符号问题是计算中最需要注意的 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ………………避坑指南：混合运算注意4个关键：法则+符号+顺序+运算律 ． 1．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】题目主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （3）利用乘法分配律展开计算； （4）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法和加法即可； （3）先判定正负，再把除法化成乘法，然后计算乘法即可； （4）先利用乘法分配律运算，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3.计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握相关运算法则以及运算顺序． （1）先化简各绝对值，然后根据有理数的结合律计算即可； （2）先去括号，然后根据有理数的结合律计算即可； （3）先计算乘方，然后把除法转化为乘法，再逆用乘法的分配律计算即可； （4）先计算乘方和小括号内的加法，然后计算中括号内的乘方法，再计算中括号内的加减，最后计算括号外的减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4.计算： (1)；(2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）将写成，然后运用乘法分配律进行计算即可； （2）运用乘法分配律进行计算即可； （3）先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算； （4）运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则及乘法分配律是解题的关键． 母题2——简便计算相关问题 用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) ▋▎名师点拨 ▋▎名师点拨 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算的简便计算，熟练掌握加法交换律和乘法分配律可简化计算是解题的关键； （1）用加法交换律将和先算，再进行加减计算即可； （2）用乘法分配律将原式变为，再进行计算即可； （3）利用乘法交换律，先算，即可求解； （4）用乘法分配律将原式变为子，再进行计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： …………避坑指南：逆向使用乘法分配律，注意符号问题 （3）解： （4）解： …………名师点拨：通分熟练的，也可以使用通分计算，减少书写量 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是有理数的混合运算．解决本题的关键是正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序． （1）直接运用乘法的分配律计算； （2）利用同分母分数结合在一起进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 2．简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算及乘法分配律的运用，准确熟练地进行计算是解题的关键 （1）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答∶ （2）将变形乘再用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： 3.简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算、有理数四则混合运算 【分析】该题主要考查了有理数的乘法运算，有理数四则混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）利用乘法运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律简算； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4.简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，运用有理数的加减运算法则，乘法分配律，除法法则，简便计算的方法进行计算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）把小数化为分数，分母相同的结合起来，运用分数加减运算法则计算即可； （2）运用乘法分配律，把分别乘以括号中的每一项，注意符号不能出错，不能少乘，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）将变形，再根据除以一个非零数，等于乘以这个数的倒数，注意符号不能出错，最后运用有理数的加减运算法则计算即可； （4）运用简便计算方法，提取公因数后，先算括号里的，再算乘法，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 母题3——纠正计算错误改正 老师在黑板上布置了一道数学题： 计算： 小明的解题过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)老师检查完小明的解题过程后说小明的解题过程有误，你能帮助他分析出小明是在第 步开始出错的，错误的原因是 ； (2)请你帮助小明写出正确的解题过程． ▋▎名师点拨 【答案】(1)一，括号内计算错误 (2)见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），观察解题过程可知第一步括号内计算出现了问题； 对于（2），先乘方，再计算括号内的，然后按照顺序计算乘除法即可. 【详解】（1）解：小明是在第一步开始出错的，错误原因是括号内计算错误； 故答案为：一，括号内计算错误； （2）解：原式……………避坑指南：分数通分错误是最常见的错误，分数通分要熟练，尽量减少这种错误！ ……………避坑指南：此处易出现两个6约分的错误，此处两个6不可约分，应先将除法改成乘法后才可以，注意运算顺序！ . 1．计算：． 下面是小聪的解答过程．请认真阅读并完成下列相关问题． 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)小聪的运算从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)三，没有按照运算顺序进行计算 (2)见详解 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则和运算顺序分析即可； （2）首先进行乘方运算，再进行括号内的运算，然后根据有理数乘除运算法则求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知小聪的运算从第三步开始出现错误， 这一步错误的原因是没有按照运算顺序进行计算． 故答案为：三，没有按照运算顺序进行计算； （2）解：原式 ． 2．在计算时，小明同学的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)上述书写过程中，小明同学第_______步出现了错误．错误的原因是_______． (2)请你帮小明同学写出正确的解答过程． 【答案】(1)③，运算顺序错误 (2)见详解 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算， （1）观察题干的书写过程，找出小明同学第③步出现了错误．根据乘除同级运算，从左到右，错误的原因是先运算乘法再除法，即正确的运算顺序：先运算除法再乘法，即可作答． （2）先运算乘方和运算括号内，再运算除法，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干解题过程，得小明同学第③步出现了错误．错误的原因是运算顺序错误； （2）解： ． 3．（1）下面是亮亮同学计算一道题的过程： ① ② ③ ①亮亮计算过程从第___________步开始出现错误的；（填序号） ②请你写出正确的计算过程． （2）计算：． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则运算法则进行判断即可；根据有理数四则混合运算法则，写出正确的计算工程即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：（1）第①步中运算顺序错误； ②原式 ． （2）解： 原式 ． 4．阅读下列材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以原式． (1)上述解法，你认为解法是_________错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． (3)直接写出的结果． 【答案】(1)一； (2)，过程见解析； (3)． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的三种解法，可以发现方法一是错误的； （2）根据题目中的解答方法，可以计算出所求式子的值； （3）利用（2）的计算结果计算即可． 【详解】（1）解：根据题目中的解答方法，可知解法一是错误的， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故． （3）解：由（2）知，，， ∴ ． 母题4——程序图形式的计算 小海在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序．若他输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ ▋▎名师点拨 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把代入计算程序中得：，结合，则把代入计算程序中得，即可作答． 【详解】解：依题意，……………避坑指南：程序图问题，建议列分步算式计算，因为列综合算式，容易加错括号 ∵ 把代入计算程序中得， ∵， ∴输出结果为 1．在图中输入，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），并写出输出的结果． 【答案】3 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数混合运算，解题关键是弄懂程序运算图，根据题意把输入值代入，按程序一步一步计算． 【详解】解：∵输入， ∴，，． ∵， ∴重新输入1， ∴，，． ∵， ∴输出的结果为3． 2．仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 3．数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 【答案】(1)，； (2)9； (3) 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）根据含乘方的有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据的运算顺序，列出算式进行计算即可； （3）分两种情况：或列出算式，求出结果进行判断即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：∵甲同学选择了的运算顺序， ∴可列算式， ∵ ， ∴他的计算结果为； （3）解：∵乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算， ∴将剩下的卡片有两种情况：或， 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； ∵乙同学列式计算的结果刚好为， ∴乙同学选择的顺序为． 4．平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，列出计算式，然后计算即可； （2）①根据题意，分别计算出按顺序F→E→→和F→E→→的结果，再结合题意，即可解答本题； ②根据题意可知，当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：①若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 计算结果为， 故摸球顺序为F→E→→， 故答案为：； ②由题意可得：当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大， ． 故答案为：． 母题5——计算24点相关问题 有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． ▋▎名师点拨 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的信息和要求写出一个算式使其结果为24； （2）根据题意写出一个算式使其结果为24； （3）根据题意写出一个算式使其结果为24． 【详解】（1）解： ；……………名师指点：24点问题，可以先将24分解后再凑出相应因数，方便有效 （2）解： ； （3）解： ． 1．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用“二十四点”游戏规则写出相应算式即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）根据“二十四点”游戏规则得， 方法1：； 方法2：； 方法3：； 故答案为：，，（答案不唯一）； （2）； 故答案为：（答案不唯一）． 2．[教材尝试·交流变式]有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．例如1，2，3，4可做如下运算：． (1)现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24； (2)现有4个有理数：1，2，4，，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是有理数的混合运算， （1）根据运算规则先列式，再计算24点即可得到答案． （2）根据运算规则先列式，再计算24点即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； 3．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)① 【知识点】有理数四则混合运算、算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用点游戏规律列出算式即可； （2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 4．七（）班数学学习兴趣小组按照苏科版数学课本七年级上册第章“数学探究”《算“”》中的方法玩算“”游戏，即一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方的混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为．其中分别代表，并规定黑桃、梅花为正数，红桃、方块为负数．若某一次游戏中抽到的张牌分别是黑桃、方块、梅花、红桃，请你列出算得的三个不同式子： (1)______； (2)______； (3)______． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】（）根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解； （）根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解； （）根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解； 本题考查了有理数的四则混合运算，理解题意，正确的列出运算式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得黑桃、方块、梅花、红桃代表的数字分别为：，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得黑桃、方块、梅花、红桃代表的数字分别为：，，，， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得黑桃、方块、梅花、红桃代表的数字分别为：，，，， ∴， 故答案为：． 母题6——新定义的计算问题 探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； ▋▎名师点拨 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了定义新运算、平方数的非负性以及分类讨论的思想．熟练掌握根据所给示例归纳新运算规则，以及根据新规则进行计算和分类讨论是解题的关键． （1）通过观察所给运算的多个例子，分析和进行“”运算时与、各自平方的关系，以及参与运算的特殊情况，从而归纳出运算规则． （2）根据（1）中归纳出的“*”运算规则，将和代入规则进行计算． （3）先根据（1）中规则将转化为关于和的等式，再分情况讨论和的值． 【详解】（1）解：通过观察所给运算式： ；……………避坑指南：新定义问题，一定要弄清楚新的运算规则，与通常的运算是不一样的 ； ； ． 可以发现两数，进行“”运算时，当，同号时结果为正，异号时结果为负，且结果都是，平方和的绝对值形式，所以归纳出两数，进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把两数平方相加； 由；；，可知和任何数进行“”运算，或任何数和进行“”运算，结果是这个数的平方． 故答案依次为：同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． （2）解： ． （3）解：∵， ， ……………名师点拨：此处利用了平方的非负性求出未知数 ∴且， ∴，． 1．阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得此数的绝对值； (2)； (3)见解析． 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）结合加法交换和结合律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都得此数的绝对值； （2）解：； （3）解：选择交换律，交换律仍然适用， 例如：，， 所以， 故交换律仍然适用； 选择结合律，结合律不适用， 举例：，， ∴， 所以结合律不适用． 2．现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)25 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，解题的关键是读懂题意，列出算式． （1）根据题目给出的定义，列式计算即可； （2）根据题目给出的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴； （2）解：，， ． 3．综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】有理数的乘方运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据发现的规律解答即可； （3）根据发现的规律解答即可； （4）根据发现的规律解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，含有乘方的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】解：（1），， 故答案为：； （2）； ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：． （4）解：原式 ． 4．定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年七年级上学期数学精选母题系列 精选母题第1讲：有理数的混合运算 母题1——有理数的混合运算 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▋▎名师点拨 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可； （3）利用有理数的乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： …………………………避坑指南：符号问题是计算中最需要注意的 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ………………避坑指南：混合运算注意4个关键：法则+符号+顺序+运算律 ． 1．计算： (1) (2) (3) (4) 2．计算： (1) (2) (3) (4) 3.计算： (1)； (2)； (3) (4) 4.计算： (1)；(2)； (3)； (4)． 母题2——简便计算相关问题 用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) ▋▎名师点拨 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算的简便计算，熟练掌握加法交换律和乘法分配律可简化计算是解题的关键； （1）用加法交换律将和先算，再进行加减计算即可； （2）用乘法分配律将原式变为，再进行计算即可； （3）利用乘法交换律，先算，即可求解； （4）用乘法分配律将原式变为子，再进行计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： …………避坑指南：逆向使用乘法分配律，注意符号问题 （3）解： （4）解： …………名师点拨：通分熟练的，也可以使用通分计算，减少书写量 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 2．简便计算： (1) (2) 3.简便计算： (1)； (2)． 4.简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 母题3——纠正计算错误改正 老师在黑板上布置了一道数学题： 计算： 小明的解题过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)老师检查完小明的解题过程后说小明的解题过程有误，你能帮助他分析出小明是在第 步开始出错的，错误的原因是 ； (2)请你帮助小明写出正确的解题过程． ▋▎名师点拨 【答案】(1)一，括号内计算错误 (2)见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），观察解题过程可知第一步括号内计算出现了问题； 对于（2），先乘方，再计算括号内的，然后按照顺序计算乘除法即可. 【详解】（1）解：小明是在第一步开始出错的，错误原因是括号内计算错误； 故答案为：一，括号内计算错误； （2）解：原式……………避坑指南：分数通分错误是最常见的错误，分数通分要熟练，尽量减少这种错误！ ……………避坑指南：此处易出现两个6约分的错误，此处两个6不可约分，应先将除法改成乘法后才可以，注意运算顺序！ . 1．计算：． 下面是小聪的解答过程．请认真阅读并完成下列相关问题． 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)小聪的运算从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)请写出正确的解答过程． 2．在计算时，小明同学的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)上述书写过程中，小明同学第_______步出现了错误．错误的原因是_______． (2)请你帮小明同学写出正确的解答过程． 3．（1）下面是亮亮同学计算一道题的过程： ① ② ③ ①亮亮计算过程从第___________步开始出现错误的；（填序号） ②请你写出正确的计算过程． （2）计算：． 4．阅读下列材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以原式． (1)上述解法，你认为解法是_________错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． (3)直接写出的结果． 母题4——程序图形式的计算 小海在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序．若他输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ ▋▎名师点拨 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把代入计算程序中得：，结合，则把代入计算程序中得，即可作答． 【详解】解：依题意，………………避坑指南：程序图问题，建议列分步算式计算，因为列综合算式，容易加错括号 ∵ 把代入计算程序中得， ∵， ∴输出结果为 1．在图中输入，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），并写出输出的结果． 2．仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 3．数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 4．平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 母题5——计算24点相关问题 有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． ▋▎名师点拨 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的信息和要求写出一个算式使其结果为24； （2）根据题意写出一个算式使其结果为24； （3）根据题意写出一个算式使其结果为24． 【详解】（1）解： ；……………名师指点：24点问题，可以先将24分解后再凑出相应因数，方便有效 （2）解： ； （3）解： ． 1．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 2．[教材尝试·交流变式]有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．例如1，2，3，4可做如下运算：． (1)现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24； (2)现有4个有理数：1，2，4，，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24． 3．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 4．七（）班数学学习兴趣小组按照苏科版数学课本七年级上册第章“数学探究”《算“”》中的方法玩算“”游戏，即一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方的混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为．其中分别代表，并规定黑桃、梅花为正数，红桃、方块为负数．若某一次游戏中抽到的张牌分别是黑桃、方块、梅花、红桃，请你列出算得的三个不同式子： (1)______； (2)______； (3)______． 母题6——新定义的计算问题 探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； ▋▎名师点拨 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了定义新运算、平方数的非负性以及分类讨论的思想．熟练掌握根据所给示例归纳新运算规则，以及根据新规则进行计算和分类讨论是解题的关键． （1）通过观察所给运算的多个例子，分析和进行“”运算时与、各自平方的关系，以及参与运算的特殊情况，从而归纳出运算规则． （2）根据（1）中归纳出的“*”运算规则，将和代入规则进行计算． （3）先根据（1）中规则将转化为关于和的等式，再分情况讨论和的值． 【详解】（1）解：通过观察所给运算式： ；……………避坑指南：新定义问题，一定要弄清楚新的运算规则，与通常的运算是不一样的 ； ； ． 可以发现两数，进行“”运算时，当，同号时结果为正，异号时结果为负，且结果都是，平方和的绝对值形式，所以归纳出两数，进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把两数平方相加； 由；；，可知和任何数进行“”运算，或任何数和进行“”运算，结果是这个数的平方． 故答案依次为：同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． （2）解： ． （3）解：∵， ， ……………名师点拨：此处利用了平方的非负性求出未知数 ∴且， ∴，． 1．阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 2．现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 3．综合与实践： 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ________（a为有理数且），________． 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】 （4）计算：． 4．定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $