第03讲 二次根式（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第03讲 二次根式 知识点1：二次根式的相关概念 知识点2：二次根式的性质 知识点3：二次根式的乘法 知识点4：二次根式的除法 知识点5：最简分式 知识点6：同类二次根式 知识点7：二次根式加减 知识点8：二次根式的混合运算 知识点9：分母有理化 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【题型1 二次根式的概念】 【典例1】（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3】（23-24八年级下·江西南昌·期末）当时，二次根式的值是（      ） A． B．2 C．4 D．16 【题型2二次根式有意义的条件】 【典例2】（23-24八年级下·全国·期末）要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）使有意义的x的取值范围是 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数x，y满足，则 ． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型3 利用二次根式的性质化简】 【典例3】（24-25九年级上·四川内江·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·海南儋州·期中）若三角形的三边长分别为、、，化简：． 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型4 二次根式的乘法运算】 【典例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算: (1)-5×3； (2)(a>0，b>0). 【变式2】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算： (1)×； (2)4×； (3)6×（﹣3）； (4)3×2． 【变式3】（23-24八年级下·北京·期中）计算 (1)， (2)； 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型5 二次根式的除法运算】 【典例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【变式3】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算： (1)÷ (2)÷ (3) (4)． 【题型6 二次根式的乘除法运算】 【典例6】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 【变式2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 【题型7最简二次根式的判定】 【典例7】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下列二次根式中的最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【题型8 同类二次根式的相关概念】 【典例8】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）与可以合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）若与最简二次根式能合并同类项，则的值为 ． 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型9 二次根式的加减运算】 【典例9】（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式2】（24-25八年级上·四川达州·期中）计算： (1) (2) 【变式3】（24-25八年级上·江西九江·期中）计算： (1)； (2)； 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型10二次根式的混合运算】 【典例10】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式2】24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）计算． (1) (2) 【题型11 二次根式的化简求值】 【典例11】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知，，求下列各代数式的值： (1)； (2) 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，求的值； 【题型12 二次根式的实际应用】 【典例12】（23-24八年级下·陕西延安·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 【变式2】（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． 【变式3】（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型13 分母有理化】 【典例13】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 【变式1】（24-25八年级上·福建宁德·期中）我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题 (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 【变式3】（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： (1)化简：________． (2)计算：． (3)计算：． 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 5．对于任意两个不相等的正实数、，定义运算“”：，如，那么等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： . 7．比较大小： （填“，，”）． 8．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 9．若实数x、y满足，则 ． 10． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 12．计算： (1)； (2)． 13．已知，． (1)求； (2)求． 14．观察下列等式： ① ② ③；… 回答下列问题： (1)利用你观察到的规律，化简： ①______， ②______； (2)计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次根式 知识点1：二次根式的相关概念 知识点2：二次根式的性质 知识点3：二次根式的乘法 知识点4：二次根式的除法 知识点5：最简分式 知识点6：同类二次根式 知识点7：二次根式加减 知识点8：二次根式的混合运算 知识点9：分母有理化 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【题型1 二次根式的概念】 【典例1】（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式； 中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式； 是二次根式． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 【变式3】（23-24八年级下·江西南昌·期末）当时，二次根式的值是（      ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式求值；把a的值代入二次根式求值即可． 【详解】解：时，； 故选：B． 【题型2二次根式有意义的条件】 【典例2】（23-24八年级下·全国·期末）要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得，且， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，注意掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．根据二次根式的意义，被开方数是非负数，从而可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数x，y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，可得x、y的值，最后代入再进行计算即可． 【详解】解：∵实数x，y满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．首先根据二次根式中被开方数为非负数可得，根据分式的分母不为可得，从而可得函数中，自变量的取值范围． 【详解】解：中是被开方数， ， ， 中是分母， ， ， 函数中，自变量的取值范围是且． 故选：D ． （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型3 利用二次根式的性质化简】 【典例3】（24-25九年级上·四川内江·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·海南儋州·期中）若三角形的三边长分别为、、，化简：． 【答案】． 【分析】此题主要考查了二次根式的化简及三角形的三边关系，正确得出x的取值范围是解题关键．首先利用三角形三边关系得出的取值范围，进而根据绝对值及二次根式的性质化简即可求出答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ∴，即， ∴，， ∴． 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型4 二次根式的乘法运算】 【典例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)12 (2) (3) (4)6000 【分析】（1）根据，开方计算即可． （2）根据，开方计算即可． （3）根据，开方计算即可． （4）根据，开方计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4） ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算: (1)-5×3； (2)(a>0，b>0). 【答案】(1)-30；(2) . 【分析】（1）利用单项式乘单项式的法则结合二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）直接利用二次根式的乘法法则进行计算即可. 【详解】(1) -5×3=-15=-15=-15×=-30； (2) . 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键. 【变式2】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算： (1)×； (2)4×； (3)6×（﹣3）； (4)3×2． 【答案】(1)4 (2)4 (3)-72 (4)30 【分析】根据二次根式的乘法进行求解各个小题即可． 【详解】（1）解：原式= （2）解：原式= （3）解：原式= （4）解：原式= 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级下·北京·期中）计算 (1)， (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法进行计算即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键． 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型5 二次根式的除法运算】 【典例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式1】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （3）根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·全国·专题练习）计算： (1)÷ (2)÷ (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）利用二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3） ； （4） ． 【点睛】题目主要考查二次根式乘除法运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 【题型6 二次根式的乘除法运算】 【典例6】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）按照从左至右的顺序进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      ． 【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 【题型7最简二次根式的判定】 【典例7】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下列二次根式中的最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是关键．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：，即A不是最简二次根式，不符合题意； ，即B不是最简二次根式，不符合题意； ，即C不是最简二次根式，不符合题意； 无法继续化简，故D是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式；     B．是最简二次根式；     C．中被开方数是分数，不是最简二次根式； D．，不是最简二次根式．     故选：B． 【变式3】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开放开的尽的因数或因式进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【题型8 同类二次根式的相关概念】 【典例8】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，同类二次根式的定义等知识点，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵，，是最简二次根式，， 四个数中，只有与是同类二次根式， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）与可以合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，先对各个选项中的二次根式化简为最简二次根式（被开方数中不含分母且被开方数中不含有开得尽方的因数或因式），再在其中找的同类二次根式（化成最简二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式）． 【详解】解：A、为最简二次根式，且与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、为最简二次根式，且与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，可以合并，故本选项符合题意； D、为，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的概念列出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：A． 【变式3】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）若与最简二次根式能合并同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵，最简二次根式能与合并， ∴， 解得， 故答案为：． 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型9 二次根式的加减运算】 【典例9】（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （2）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （3）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （4）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． 【详解】（1）解： ; （2）解： ; （3）解： ; （4）解： . 【变式1】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（24-25八年级上·四川达州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先去绝对值，化简二次根式及立方根，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】（24-25八年级上·江西九江·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算及二次根式的加减运算． （1）根据化简绝对值，算术平方根以及立方根的定义进行计算即可求解； （1）先化简二次根式，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型10二次根式的混合运算】 【典例10】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式进行展开再合并同类项，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）利用平方差公式及完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则及平方差公式、完全平方公式计算． （2）先化简再合并同类二次根式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式性质、立方根化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式计算，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型11 二次根式的化简求值】 【典例11】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知，，求下列各代数式的值： (1)； (2) 【答案】(1)8 (2)8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）先求出和的值，再分解因式，最后代入求出即可； （2）先求出和的值，再根据完全平方公式变形，最后代入求出即可． 【详解】（1）解： ，， ，， ； （2）， ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；8 【分析】本题主要考查了整式化解求值，二次根式混合运算，先根据整式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，求的值； 【答案】6 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法法则是解题的关键．先将化为，再代入计算得到答案． 【详解】解：，， 原式， ， 【题型12 二次根式的实际应用】 【典例12】（23-24八年级下·陕西延安·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的应用，先分别求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，即可得到阴影部分的面积，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，两个小正方形的边长分别为，， ∴大正方形的边长为， ∴剩余部分的面积是． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用； （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和 ， 这两个正方形的边长分别为和， 原长方形木板的面积= ； （2）最多能裁出块这样的木条．理由如下： ，， 块， 块， 块． 从剩余的木块阴影部分中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． 【答案】(1)的面积是 (2)边的高是 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． 【变式3】（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间． (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)；严禁高空抛物 【分析】（1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可．本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． 【详解】（1）∵，, ∴． （2）∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， 对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型13 分母有理化】 【典例13】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 【答案】(1)a：；b： (2) (3) 【分析】（1）参照③式，④式，进行计算即可解答； （2）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答； （3）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：a：参照③式得， 故答案为：； b：参照④式得， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·福建宁德·期中）我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题 (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解； （2）根据材料提示，将的分子、分母同时乘以分母有理化得，将的分子、分母同时乘以分母有理化得，再将两数作差进行比较即可； （3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简求值的知识，掌握分母有理化、二次根式的运算法则是关键． （1）先求出 再代入求值即可； （2）先计算，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， 将 代入得： 【变式3】（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： (1)化简：________． (2)计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握运算方法与运算顺序是解本题的关键； （1）把分子分母都乘以即可得到答案； （2）把每一项都分母有理化，再计算二次根式的加减运算即可； （3）把每一项都分母有理化，再结合分配律计算二次根式的加减运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念“被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，原选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D ． 2．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是将二次根式化为最简二次根式后，判断被开方数是否相同． 先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据“被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式”，判断哪个选项与是同类二次根式． 【详解】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这些二次根式是同类二次根式． A、已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式； B、已是最简二次根式，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式； C、，化简后被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式； D、已是最简二次根式，被开方数为14，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． 故选：C． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的运算法则和性质分别计算各选项后再进行判断即可． 【详解】解：A、2与不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，故不符合题意， 故选：C． 4．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化为最简二次根式，同类二次根式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用二次根式的性质将题干与选项中的二次根式能化简的分别化简，再作出判断． 【详解】解：，，， 、、、中，能与合并， 故选：A． 5．对于任意两个不相等的正实数、，定义运算“”：，如，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新运算，根据新运算的规则，把转化为一般形式的运算，可得：原式，再根据二次根式的性质进行运算即可． 【详解】解：由题意可得：． 故选：A． 二、填空题 6．计算： . 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．比较大小： （填“，，”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 8．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．若实数x、y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值的性质，加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式和绝对值的非负性可知，三式相加得零，则三个式子的值分别都为零，据此解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， ． 故答案为：． 10． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和平方差公式． 利用平方差公式及二次根式的运算法则进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：6． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）分别计算乘方，算术平方根，绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，算术平方根，立方根，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式并注意运算顺序是解题关键． （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先化简二次根式，再利用二次根式乘除法运算求出即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．已知，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式的运用，熟练掌握相关运算法则以及运算顺序为解题关键 （1）先算出，再根据完全平方公式得到，代入求值即可； （2）先算出，，再根据平方差公式得到，代入求值即可 【详解】（1）解：，， ， （2），， ，， 14．观察下列等式： ① ② ③；… 回答下列问题： (1)利用你观察到的规律，化简： ①______， ②______； (2)计算： 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解决本题的关键是读懂题目意思，并正确地找出规律． （1）①根据已知的3个等式提供的方法计算，②同法计算即可． （2）先利用上题的规律分母有理化，再计算即可． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $