专题13 几何图形初步与平行线（山东专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题13 几何图形初步与平行线 考点01 几何体及其展开图 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（    ）    A．体积为 B．母线长为1 C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为 4．（2024·山东济宁·中考真题）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（    ） A．人 B．才 C．强 D．国 5．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）    A．31 B．32 C．33 D．34 6．（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 考点02 角 1．（2023·山东临沂·中考真题）下图中用量角器测得的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km． 考点03 角的计算 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 2．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东·中考真题）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·山东潍坊·中考真题）下列命题正确的是（    ） A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦 C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点04 相交线所成的角 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 2．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 考点05 平行线的判定 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 2．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 考点06 平行线的性质 1．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时， ． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山东淄博·中考真题）将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 几何图形初步与平行线 考点01 几何体及其展开图 1．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【答案】 12 144 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（    ）    A．体积为 B．母线长为1 C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为 【答案】BC 【分析】本题主要考查圆柱的体香，母线长，侧面积以及侧面展开图的周长，运用相关知识求解各选项再判断即可 【详解】解：A.∵圆柱的底面半径为，高为1， ∴圆柱的体积为，故选项A不符合题意； B.∵圆柱的高为1， ∴圆柱的母线长为1，故选项B正确，符合题意； C. ∴圆柱的底面半径为，高为1， ∴圆柱的底面周长为， ∴侧面积为，故选项C正确，符合题意； D.∵圆柱的底面周长为，高为1， ∴圆柱的侧面展开图的周长为，故选项D错误，不符合题意 综上，正确的结论为B，C， 故选：BC 4．（2024·山东济宁·中考真题）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（    ） A．人 B．才 C．强 D．国 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“Z”型首尾是相对的面，根据这一特点作答． 【详解】解：由图可得，有“建”字一面的相对面上的字是“国”， 故选：D． 5．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）    A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答． 【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6， 由图2可知： 要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大， 上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6， 能看见的面数字之和为：； 左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6， 能看见的面数字之和为：； 右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6， 能看见的面数字之和为：； ∴能看得到的面上数字之和最小为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键． 6．（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 考点02 角 1．（2023·山东临沂·中考真题）下图中用量角器测得的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图形可直接得出． 【详解】解：由题意，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 2．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km． 【答案】50 【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即A，C两港之间的距离为50 km． 故答案为：50 【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键． 考点03 角的计算 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 3．（2023·山东·中考真题）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，得出，进而． 【详解】由图知， ∴ 故选：B    【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键． 4．（2023·山东潍坊·中考真题）下列命题正确的是（    ） A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦 C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等 【答案】AB 【分析】根据三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、在一个三角形中至少有两个锐角，原命题正确，则此项符合题意； B、在圆中，垂直于弦的直径平分弦，原命题正确，则此项符合题意； C、设与互余， ， ， ∴如果两个角互余，那么它们的补角也互余，命题错误，则此项不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等，原命题错误，则此项不符合题意； 故选：AB． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质，熟练掌握各定理和性质是解题关键． 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴， 故选：A． 考点04 相交线所成的角 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 2．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键． 由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：． ∴线段长最小为． 故答案为：． 考点05 平行线的判定 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 2．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即， 又∵过作的垂线，即， ∴， ∴直线与的位置关系是平行， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键． 考点06 平行线的性质 1．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时， ． 【答案】97 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：97． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可． 【详解】解：， ，； 平分， ． ． 故选：C 6．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 7．（2023·山东淄博·中考真题）将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质，得，由外角定理，得，可推证，从而求得． 【详解】解：如图，∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C    【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等，三角形外角性质；由平行线的性质得到等角是解题的关键． 8．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    【答案】 【分析】可求，由，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $