14.3.1 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角的平分线的尺规作图、性质及应用，课堂导入从度量法、折叠法入手，针对木板等无法折叠的情境引出尺规作图需求，通过“操作—猜想—验证—证明”衔接已有经验与新知识，构建学习支架。 其特色在于以探究为主线，通过作垂线观察距离关系发展几何直观，用SSS、AAS全等证明培养推理意识，例题结合三角形等图形规范几何语言。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可依托此资料高效开展素养导向的教学。

14.3 角的平分线 (第1课时) 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册 学习目标 会用尺规作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题. 一 经历“操作—猜想—验证—证明”的几何命题探究过程，感悟连续性的数学思维；在解决问题时，体会转化思想. 二 三 在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识. 情境引入 问题1 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 度量法 情境引入 问题1 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 折叠法 情境引入 问题2 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗? 探究 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系. 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？ 在△OPM和△OPN中， OP=OP，∠POM=∠PON， 如果OM=ON， 那么△OPM≌△OPN (SAS)，就有PM=PN. 课堂导入 探究 反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？ A O B M N P OM=ON， PM=PN， OP=OP， ∴△OPM≌△OPN (SSS)， 证明：连接OP，在△OPM和△OPN中 课堂导入 探究 反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？ A O B M N P 证明：∴∠POM=∠PON， ∴点P在∠AOB的平分线上. 课堂导入 思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； 再在角的内部作出与这两点距离相等的点； 以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. A O B M N P 课堂导入 A B O 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：如图. （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）作射线OC，则射线OC为∠AOB的平分线. M N C 为什么呢？ 知识点1 作已知角的平分线 新知探究 A B O M N C 思考 作图依据是什么？ 利用“SSS”证明全等 两个三角形全等，则对应角相等 知识点1 作已知角的平分线 新知探究 针对训练 已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 探究新知 知识点2 角的平分线的性质 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、 P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3 ······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 探究新知 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 验证 这个点到这个角两边的距离相等. 探究新知 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE. 探究新知 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴PD = PE 探究新知 证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式 注意可能存在不同情形 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线的性质 C A B O D E P 几何语言： 归纳 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 角的平分线的性质 知识归纳 1．作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和　 　. 2．角的平分线上的点到角两边的距离　 　. 3．一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：(1)明确命题中的　 　和 　 　；(2)根据题意，画出　 　，并用数学 　 　表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出　 . 尺规作图法 相等 已知 求证 图形 符号 证明过程 例题与练习 例1　如图，在△ABC中，AD平分∠BAC， 且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：∠B＝∠C. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠B＝∠C. DB＝DC DE＝DF A E B F C D 21 针对训练 1. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4，则 PE = ______. 4 M B C A D E P 针对训练 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC = 8，则点 P 到 AB 的距离为______. 8 A C P B 随堂演练 1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC = 7，DE = 2，AB = 4，则 AC 的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 D A C D B E 随堂演练 2. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E、F， DE = DF，∠EDB = 60°，则∠EBF =______°，BE =_______. 60 BF G C A D E B F 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝50°，则根据图中尺规作图的痕迹可知，∠ADB的度数为( ) A．140° B．130° C．125° D．115° D 8．(本课时T4(2)变式)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若S△ABC＝9，AB＝5，DE＝2，则AC的长为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 B 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝5 cm，AC＝3 cm，BC＝4 cm，则△DEB的周长为________ cm. 6 10．(信阳校级月考)如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)； (2)若CD＝3，AB＋BC＝16，求△ABC的面积． 解：(1)∠ABC的平分线如图所示． 11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD. (2)作DH⊥AB于H. ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴CD＝DH＝3， ∴S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝ eq \f(1,2)BC·CD＋ eq \f(1,2)AB·DH＝ eq \f(1,2)×3BC＋ eq \f(1,2)×3AB＝ eq \f(1,2)×3(BC＋AB)＝ eq \f(1,2)×3×16＝24 证明：连接AC. 在△AEC和△AFC中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AC＝AC，,CE＝CF，,AE＝AF，)) ∴△AEC≌△AFC(SSS). ∴∠CAE＝∠CAF. 又∵∠B＝∠D＝90°， ∴CB⊥AE，CD⊥AF， ∴CB＝CD. $