专题04 统计与概率（期中复习讲义）九年级数学上学期苏科版

专题04 统计与概率（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平均数、中位数、众数 能根据数据特征选择合适的统计量分析数据 基础必考点，选择题中出现频率高，概念易混淆 方差与标准差 理解方差、标准差的意义，能计算并分析数据的离散程度 计算难点，公式记忆要求高，意义理解程度要求较高 频数分布表与直方图 能从统计图表中提取信息并进行分析 信息提取、读图能力考查必考 简单事件的概率 能计算简单随机事件的概率 概率基础，等可能性的理解考查 用列举法求概率 能用列表、画树状图等方法求等可能事件的概率 方法应用难点，树状图法 知识点01 数据的集中趋势 1.平均数：​​ 2.加权平均数： 3.中位数：将数据按大小排列后位于中间位置的数 4.众数：一组数据中出现次数最多的数据 · 示例：1.已知一组数据x1，x2，x3的平均数是3，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数为　 　 ． 2．乐乐参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作60分，计算机操作70分，创意设计80分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按50%，20%，30%的比例计算最终成绩，则他的素质测试的最终成绩为（　　） A．67分 B．68分 C．70分 D．72分 3.“五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏了7枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为3.5，3.4，3.5，3.4，3.3，3.3，3.5．这组数据的中位数和众数分别为（　　） A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4 ·易错点：求中位数时未先将数据排序；加权平均数中权重理解错误；众数可能有多个或不存在. 知识点02 数据的离散程度 1.极差：最大值与最小值的差. 2.方差： 3.标准差：方差的算术平方根. ·示例：1.一组数据x1，x2，x3，……，xn的方差是a，平均数是b，则另一组数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，……，3xn+2的方差和平均数分别是（　　） A．a，b B．9a，3b+2 C．3b，2a D．3a+2，b+2 2.一组数据5，2，5，7，6的方差为 　 　 ． 3.某校甲乙两班联合举办了消防知识竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，结果如下： 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 （1）已知两班的数据分析如下表： 班级 平均数 中位数 方差 甲班 80 79 乙班 80 a 27 求a，的值． （2）甲班共有学生50人，乙班共有学生45人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生获奖，估计这两个班获奖的总人数． ·易错点：方差公式记忆错误；计算方差时未先求平均数；混淆方差与标准差. 知识点03 概率的基本概念 1.概率定义：事件A发生的概率P（A）＝ 2.概率范围：0 ≤P(A) ≤1 3.必然事件：P(A) =1 4.不可能事件：P(A) =0 ·示例：1.二十四节气是一种用来指导农事的历法，是中华民族劳动人民的智慧结晶．从二十四节气中随机选取一个节气，刚好抽到“惊蛰”这个节气的概率是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 3.在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个． ①从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率； ②小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． ·易错点：未明确所有等可能的结果数，概率计算结果未化简，对“等可能性”理解不足. 知识点04 用列举法求概率 1. 列表法：适用于两个因素的问题 2.画树状图法：适用于多个步骤的问题 3.注意事项：列举时要做到不重不漏 ·示例：1.做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． （1）若投入一个小球，求它通过管道B的概率． （2）若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） ①最先填满的是甲盒； ②4个盒子中的小球的数量一样多； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． ·易错点：列举时遗漏某些情况，未区分有序还是无序选择，树状图画法不规范. 题型一 统计量的计算与分析 解｜题｜技｜巧 1.根据数据特征选择合适的统计量 2.极端值对平均数影响大，对中位数影响小 3.方差越小，数据越稳定 易｜错｜点｜拨 当数据中有极端值时，用中位数描述集中趋势更合理。 【典例1】若x1，x2，x3，x4的平均数为4，x5，x6，x7，⋯，x10的平均数为6，则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为（　　） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【典例2】一组数据﹣1，2，﹣3，a，5的唯一众数是2，则这组数据的中位数是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．5 【典例3】某同学在八年级下学期参加了四次单元过关，以及期中和期末考试，所有考试的数学成绩如表所示．若根据如图所示的权重计算本学期的总评成绩，则小明在下学期的总评成绩是 　 　 分． 测试类型 单元测试 期中 期末 1 2 3 4 成绩（分） 90 85 86 89 90 88 【典例4】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小达人”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．数据整理：小明将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛成绩整理为如下统计图： 数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 37.5% 乙组 7.625 7 b 0.73 25% 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）求出表格中a、b的值； （2）小亮同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小亮可能是 　乙　 组的学生（填“甲”或“乙”）； （3）结合以上信息，你认为哪个小组的初赛成绩较好？并说出两条理由． 【变式1】为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 （1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ （2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4：3：3的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； （3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 【变式2】两组数据2，a，2b，4与a，4，b的平均数都是5，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是 　 　 ． 【变式3】某校学生期末操行评定奉行五育并举，德智体美劳五方面按3：2：2：2：1确定最终成绩，小王同学本学期五方面得分如图所示，则小王同学期末操行最终得分为 　 　 ． 【变式4】已知5个数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为3，方差是4；另5个数据x6，x7，x8，x9，x10的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，则这10个数据的方差为 　 　 ． 题型二 概率的计算 答｜题｜模｜板 1.明确所有等可能的结果数n 2.确定事件A包含的结果数m 3.计算P（A）＝ 4.验证概率的合理性 【典例1】在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（　　） A．2 B．5 C．10 D．12 【典例2】小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【典例3】数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 300 400 500 600 事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150 事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 （1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）根据如表，完成如图的折线统计图； （3）请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率． 【变式1】桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p，随机摸出另一张卡片，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是 　　 ． 【变式2】某人手机的密码是四位数字，如果陌生人想打开该手机，那么他一次就能打开手机的概率是　 ． 【变式3】在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有 　 　 个黑球． 题型三 统计与概率的综合应用 答｜题｜模｜板 1.从统计图表中提取信息 2.进行数据分析与计算 3.建立概率模型 4.结合实际情况得出结论 易｜错｜点｜拨 综合题中要注意统计量与概率之间的联系，用数据验证. 【典例1】2024年11月30日22时48分，长征十二号运载火箭在文昌市东郊镇的海南商业航天发射场成功进行了首次发射，此次发射不仅拓宽了我国新一代运载火箭的型谱，还探索了商业航天组织、试验、发射的新模式，对于促进我国商业航天产业的发展具有重要意义．同时，这也意味着海南商业航天发射场将为我国民、商大规模低轨星座组网任务等空间基础设施工程建设提供强有力的发射保障．海南商业航天发射场的成功建立和使用，填补了我国没有商业航天发射场的空白，完成了商业航天全产业链闭环，提升了我国航天发射能力．为此，某校举行了一次航天科普知识竞赛（百分制），为了更好地了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了m名学生的成绩x（单位：分）作为样本进行整理，并将结果绘制成如下不完整的统计图． A：50≤x＜60 B：60≤x＜70 C：70≤x＜80 D：80≤x＜90 E：90≤x＜100 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： （1）若想了解某班航天科普知识竞赛的情况，更适合采用 　 　 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）m＝ 　 　 ，在扇形统计图中，D部分所对应扇形的圆心角度数为 　 　 °； （3）若从该样本中随机抽取一名学生航天科普知识竞赛的成绩，其恰好在“50≤x＜60”范围的概率是 　 　 ； （4）若成绩在“90≤x＜100”为“优秀”，则该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有____ 人． 【典例2】某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有　 　 人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m＝　 　 ，n＝　 　 ，表示区域C的圆心角是　 　 ； （3）小明是被问卷调查的同学，那么他参加了哪项活动的可能性最大？ 【变式1】编号为1、2、3、4的4个小球，不放回的抽取两次，记m表示这两个球号码的平均数，记n表示抽取第一个球的号码，则m与n差的绝对值超过0.5的概率是（　　） A．1 B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.为了落实“双减”政策，某学校对学生学期各学科的学业成绩规定如下：平时作业成绩占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小颖数学学科的平时作业成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别为80分，90分，92分，则小颖这学期数学学科的学业成绩为（　　） A．92分 B．90分 C．89分 D．85分 2.已知一组正整数a，5，b，c，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（　　） A．3 B．3.6 C．4 D．5.2 3.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 4.在一个不透明袋子中有红球和黑球共10个球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球是红球的概率是，则袋子中红球的个数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5.某位射击运动员的10次射击训练成绩统计如下： 成绩/环 6 7 8 9 10 次数 1 1 3 4 1 则10次成绩的中位数为　 　 环． 6．已知一组数据：x1，x2，x3，…，xn的方差是3，则另一组数据：x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是　 　 ． 7. 如图是4×4的正方形网格飞漂游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是　 　 ． 8. 4月23日是世界读书日，为迎接第30个世界读书日，某校举行了“‘阅’见未来”主题诵读比赛． 本次比赛的评委由专业老师和优秀学生组成．组委会现有两种评分方案： 方案一：取各位评委所给分数的平均数，作为选手的最后得分； 方案二：从评委所给的分数中去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余分数的平均数，作为选手的最后得分． 选手小涛的得分情况如下：（百分制） 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分数 71 73 75 72 99 72 72 71 65 70 （1）按方案一和方案二分别计算小涛的最后得分，你认为方案一和方案二哪个较为合理，简要说明理由． （2）组委会经过讨论，认为评分方案的制定要突出专业老师的权威性，适当考虑学生评委的喜爱度．如果1至4号评委由专业老师担任，5至10号评委由优秀学生担任．请以表格选手的得分为例，结合所学的统计知识帮助组委会另外设计一个合理的方案． 9. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图． 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为 　 　 分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为 　 　 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为 　 　 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.“体重管理年”三年活动由国家卫健委联合16个部门共同发起，宣传口号是“健康体重，一起行动”．某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知九（1）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为9分，7分，8分，则该班的最终得分为（　　） A．7.5分 B．8分 C．8.1分 D．8.5分 2．一组数据的方差为，则该组数据的总和是（　　） A．5 B．4 C．30 D．20 3. 若一组数据3，5，7，x，11的平均数为7，则x＝ 　 　 ． 4.七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息： 平均数 中位数 众数 最小值 m 6 7 2 已知小明投中了4个，下列判断 ①投中6个的学生只有1； ②可能有学生投中了9个； ③这七个数据之和可能为42； ④m的值可能为5． 所有正确推断的序号是 　 　 ． 5．若一组数据“4，a，5，6，b”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为 　 　 ． 6.如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落，有一半的可能向右滑落．球落到底部最中间的概率是　 　 ． 7．第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚冬会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚冬会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝　 　 ，a＝　 　 ； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚冬会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 8.某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 9 a 乙 8.8 b 0.96 丙 c 8 0.96 根据以上信息，完成下列问题： （1）求出a，b，c的值； （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为d，直接写出d与a的大小关系． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．小莹在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（　　） ①平均数是4；②众数是5；③中位数是4；④样本容量是3． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2．已知一个样本数据x1，x2，…，xn﹣1，xn的平均数和方差分别为，s2＝2，则新数据2x1+3，2x2+3，…，2xn﹣1+3，2xn+3的平均数和方差分别是（　　） A．9 4 B．9 8 C．6 4 D．6 7 3.如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　） A． B． C． D． 4.如图所示，在圆形转盘中，∠AOB＝∠BOC＝90°，拨动指针，指针指向区域a的概率为P1，在矩形转盘中，CD＝1，BD＝2，拨动指针，指针指向a区域的概率为P2，则P1×P2＝ 　 　 ． 5.交通安全教育是保障人们生命安全的重要措施．为增强学生交通安全意识，某校举行了“安全文明出行，共创和谐交通”的知识测试活动，现各从该校七、八年级随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及8分以上为合格）进行整理、描述和分析，绘制成如下统计图并给出了部分信息． 班级 平均分 众数 中位数 七年级 7.5 b 7 八年级 a 8 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）该校七、八年级共800名学生参加此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数约是多少？ （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握交通安全知识较好？请说明理由． 6.每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于今年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率； （2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，求商场这一个月里需支付此活动的费用． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 统计与概率（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平均数、中位数、众数 能根据数据特征选择合适的统计量分析数据 基础必考点，选择题中出现频率高，概念易混淆 方差与标准差 理解方差、标准差的意义，能计算并分析数据的离散程度 计算难点，公式记忆要求高，意义理解程度要求较高 频数分布表与直方图 能从统计图表中提取信息并进行分析 信息提取、读图能力考查必考 简单事件的概率 能计算简单随机事件的概率 概率基础，等可能性的理解考查 用列举法求概率 能用列表、画树状图等方法求等可能事件的概率 方法应用难点，树状图法 知识点01 数据的集中趋势 1.平均数：​​ 2.加权平均数： 3.中位数：将数据按大小排列后位于中间位置的数 4.众数：一组数据中出现次数最多的数据 · 示例：1.已知一组数据x1，x2，x3的平均数是3，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数为　 　 ． 【解答】由条件可知， ∴x1+x2+x3＝9，则数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数为： ＝6﹣4＝2． 2．乐乐参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作60分，计算机操作70分，创意设计80分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按50%，20%，30%的比例计算最终成绩，则他的素质测试的最终成绩为（　　） A．67分 B．68分 C．70分 D．72分 【解答】60×50%+70×20%+80×30%＝30+14+24＝68（分）． 故选：B． 3.“五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏了7枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为3.5，3.4，3.5，3.4，3.3，3.3，3.5．这组数据的中位数和众数分别为（　　） A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4 【解答】将数据从小到大排列， 中间的是3.4，中位数为3.4； 3.5出现次数最多，众数是3.5，故选：B． ·易错点：求中位数时未先将数据排序；加权平均数中权重理解错误；众数可能有多个或不存在. 知识点02 数据的离散程度 1.极差：最大值与最小值的差. 2.方差： 3.标准差：方差的算术平方根. ·示例：1.一组数据x1，x2，x3，……，xn的方差是a，平均数是b，则另一组数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，……，3xn+2的方差和平均数分别是（　　） A．a，b B．9a，3b+2 C．3b，2a D．3a+2，b+2 【解答】∵数据x1，x2，x3，……，xn的方差是a，平均数是b， ∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，……，3xn+2的方差和平均数分别是32a＝9a，3b+2． 故选：B． 2.一组数据5，2，5，7，6的方差为 　 　 ． 【解答】∵数据5，2，5，7，6的平均数为：（5+2+5+7+6）÷5＝5， ∴这组数据的方差S2[（5﹣5）2+（5﹣2）2+（5﹣5）2+（5﹣7）2+（5﹣6）2]2.8． 故答案为：2.8． 3.某校甲乙两班联合举办了消防知识竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，结果如下： 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 （1）已知两班的数据分析如下表： 班级 平均数 中位数 方差 甲班 80 79 乙班 80 a 27 求a，的值． （2）甲班共有学生50人，乙班共有学生45人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生获奖，估计这两个班获奖的总人数． 【解答】解：（1）乙班成绩从低到高排列为：73，74，75，77，80，80，81，85，85，90，故中位数a80； [（85﹣80）2+（78﹣80）2+（86﹣80）2+（79﹣80）2×2+（72﹣80）2+（91﹣80）2+（71﹣80）2+（70﹣80）2+（89﹣80）2]＝51.4； （2）根据题意得： 504547（人）， 答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是47人． ·易错点：方差公式记忆错误；计算方差时未先求平均数；混淆方差与标准差. 知识点03 概率的基本概念 1.概率定义：事件A发生的概率P（A）＝ 2.概率范围：0 ≤P(A) ≤1 3.必然事件：P(A) =1 4.不可能事件：P(A) =0 ·示例：1.二十四节气是一种用来指导农事的历法，是中华民族劳动人民的智慧结晶．从二十四节气中随机选取一个节气，刚好抽到“惊蛰”这个节气的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】刚好抽到“惊蛰”这个节气的概率是．故选：A． 2．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形， ∵共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处， ∴构成轴对称图形的概率是， 故选：B． 3.在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个． ①从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率； ②小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． 【解答】解：（1）因为共20个球，其中红球5个，白球9个， 所以黑球有20﹣5﹣9＝6（个）， 从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率为； （2）因为任意摸出一个球是黑球的概率为， 所以盒子中球的总量为：615（个）， 所以可以将盒子中的白球拿出20﹣15＝5（个）， 所以m＝5． ·易错点：未明确所有等可能的结果数，概率计算结果未化简，对“等可能性”理解不足. 知识点04 用列举法求概率 1. 列表法：适用于两个因素的问题 2.画树状图法：适用于多个步骤的问题 3.注意事项：列举时要做到不重不漏 ·示例：1.做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． （1）若投入一个小球，求它通过管道B的概率． （2）若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） ①最先填满的是甲盒； ②4个盒子中的小球的数量一样多； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 【解答】解：（1）如图， 将第一层的两个管道分别记为P，Q，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有4种， 即（P，A），（P，B），（Q，B），（Q，C），它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足小球通过管道B（记为事件N）的结果有2种，分别是（P，B），（Q，B）， ∴； （2）如图， 画树状图， ∴落在甲盒的概率为，落在乙盒的概率为，落在丙盒的概率为，落在丙盒的概率为， ①最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误； ②4个盒子中的小球的数量不一定一样多，原选项错误； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确； ∴③④正确， 故答案为：③④． ·易错点：列举时遗漏某些情况，未区分有序还是无序选择，树状图画法不规范. 题型一 统计量的计算与分析 解｜题｜技｜巧 1.根据数据特征选择合适的统计量 2.极端值对平均数影响大，对中位数影响小 3.方差越小，数据越稳定 易｜错｜点｜拨 当数据中有极端值时，用中位数描述集中趋势更合理。 【典例1】若x1，x2，x3，x4的平均数为4，x5，x6，x7，⋯，x10的平均数为6，则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为（　　） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【解答】x1+x2+x3+x4＝16，x5+x6+x7+x8+x9+x10＝36， 则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为： ＝5.2， 故选：C 【典例2】一组数据﹣1，2，﹣3，a，5的唯一众数是2，则这组数据的中位数是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．5 【解答】由题意可得：数据的唯一众数是2， ∴2为众数，a为2， 将数据按从小到大排列：﹣3，﹣1，2，2，5， ∴中位数为第三个数，即2，故选：B． 【典例3】某同学在八年级下学期参加了四次单元过关，以及期中和期末考试，所有考试的数学成绩如表所示．若根据如图所示的权重计算本学期的总评成绩，则小明在下学期的总评成绩是 　 　 分． 测试类型 单元测试 期中 期末 1 2 3 4 成绩（分） 90 85 86 89 90 88 【解答】（90+85+86+89）10%+90×（1﹣10%﹣60%）+88×60%＝88.55（分） 【典例4】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小达人”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．数据整理：小明将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛成绩整理为如下统计图： 数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 37.5% 乙组 7.625 7 b 0.73 25% 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）求出表格中a、b的值； （2）小亮同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小亮可能是 　乙　 组的学生（填“甲”或“乙”）； （3）结合以上信息，你认为哪个小组的初赛成绩较好？并说出两条理由． 【解答】解：（1）数据重新排列为：3，7，7，7，8，9，10，10； 位于中间的两个数为7和8， 故中位数为：； 在乙组中，出现次数最多的是7分； 故b＝7； （2）甲的中位数为7.5，乙组的中位数为7； 小明得了7分，在我们小组中略偏上， ∴小明可能是乙组的学生； 故答案为：乙； （3）甲组的初赛成绩较好； 理由；①从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； ②从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； 【变式1】为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 （1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ （2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4：3：3的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； （3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 【解答】解：（1）甲的平均成绩为：90（分）， 乙甲的平均成绩为：90（分）， 所以不能以此确定两人的名次； （2）甲的平均成绩为：90.8（分）， 乙甲的平均成绩为：89.8（分）， ∵90.8＞89.8， ∴甲排第一，乙排第二； （3）将内容、能力和效果三项得分按3：4：3的比例确定各人的测试成绩，确定录用者，因为能力比内容更重要（答案不唯一）． 【变式2】两组数据2，a，2b，4与a，4，b的平均数都是5，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是 　 　 ． 【解答】解：∵两组数据2、a、2b、4与a、4、b的平均数都是5， ∴， 解得：， ∴将这两组数据合并为一组数据后，从小到大排列为：2、3、4、4、6、8、8， ∴中位数是4，故答案为：4 【变式3】某校学生期末操行评定奉行五育并举，德智体美劳五方面按3：2：2：2：1确定最终成绩，小王同学本学期五方面得分如图所示，则小王同学期末操行最终得分为 　 　 ． 【解答】根据加权平均数的计算方法可得： （分）， ∴小王同学期末操行最终得分为9.1分． 【变式4】已知5个数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为3，方差是4；另5个数据x6，x7，x8，x9，x10的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，则这10个数据的方差为 　 　 ． 【解答】解：由题意得：[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+（x4﹣3）2+（x5﹣3）2]＝4，[（x6﹣2）2+（x7﹣2）2+（x8﹣2）2+（x9﹣2）2+（x10﹣2）2]＝6， ∴（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+（x4﹣3）2+（x5﹣3）2＝20，（x6﹣2）2+（x7﹣2）2+（x8﹣2）2+（x9﹣2）2+（x10﹣2）2＝30， ∴[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2+（x6﹣2）2+（x7﹣2）2+（x8﹣2）2+（x9﹣2）2+（x10﹣2）2]5.故答案为：5． 题型二 概率的计算 答｜题｜模｜板 1.明确所有等可能的结果数n 2.确定事件A包含的结果数m 3.计算P（A）＝ 4.验证概率的合理性 【典例1】在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（　　） A．2 B．5 C．10 D．12 【解答】设袋中有红球x个， 由题意得：， 解得：x＝5， 即袋中红球的个数为5， 故选：B． 【典例2】小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】根据平行线的性质可得S1＝S2， 平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，则白色部分的面积占， 概率为：． 故选：B． 【典例3】数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 300 400 500 600 事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150 事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 （1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）根据如表，完成如图的折线统计图； （3）请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率． 【解答】解：（1）a＝24÷100＝0.24，b＝300×0.25＝75， 故答案为：0.24，75； （2）折线统计图如下所示： ； （3）有四张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，小明随机抽取一张，抽到数字为1的概率是多少． 【变式1】桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p，随机摸出另一张卡片，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是 　　 ． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知共有6种等可能结果，其中使关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的结果有3种结果， ∴关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率为， 故答案为： 【变式2】某人手机的密码是四位数字，如果陌生人想打开该手机，那么他一次就能打开手机的概率是　 ． 【解答】他一次就能打开手机的概率是． 故答案为：． 【变式3】在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有 　 　 个黑球． 【解答】解：∵8个绿球，绿球的可能性小于， ∴球的总数大于24， ∴至少有25﹣10﹣8＝7个黑球． 故答案为：7． 题型三 统计与概率的综合应用 答｜题｜模｜板 1.从统计图表中提取信息 2.进行数据分析与计算 3.建立概率模型 4.结合实际情况得出结论 易｜错｜点｜拨 综合题中要注意统计量与概率之间的联系，用数据验证. 【典例1】2024年11月30日22时48分，长征十二号运载火箭在文昌市东郊镇的海南商业航天发射场成功进行了首次发射，此次发射不仅拓宽了我国新一代运载火箭的型谱，还探索了商业航天组织、试验、发射的新模式，对于促进我国商业航天产业的发展具有重要意义．同时，这也意味着海南商业航天发射场将为我国民、商大规模低轨星座组网任务等空间基础设施工程建设提供强有力的发射保障．海南商业航天发射场的成功建立和使用，填补了我国没有商业航天发射场的空白，完成了商业航天全产业链闭环，提升了我国航天发射能力．为此，某校举行了一次航天科普知识竞赛（百分制），为了更好地了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了m名学生的成绩x（单位：分）作为样本进行整理，并将结果绘制成如下不完整的统计图． A：50≤x＜60 B：60≤x＜70 C：70≤x＜80 D：80≤x＜90 E：90≤x＜100 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： （1）若想了解某班航天科普知识竞赛的情况，更适合采用 　 　 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）m＝ 　 　 ，在扇形统计图中，D部分所对应扇形的圆心角度数为 　 　 °； （3）若从该样本中随机抽取一名学生航天科普知识竞赛的成绩，其恰好在“50≤x＜60”范围的概率是 　 　 ； （4）若成绩在“90≤x＜100”为“优秀”，则该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有____ 人． 【解答】解：（1）由于了解某班航天科普知识竞赛的情况，学生数不多且要求精确，因此调查方式更适合采用普查． （2）m＝30÷0.15＝200， D人数为：200﹣10﹣20﹣30﹣80＝60， D部分所对应扇形的圆心角度数为． 故答案为：200，108°． （3）恰好在“50≤x＜60”范围的概率是． 故答案为：0.05． （4）（人）． 答：该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有：1880人． 【典例2】某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有　 　 人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m＝　 　 ，n＝　 　 ，表示区域C的圆心角是　 　 ； （3）小明是被问卷调查的同学，那么他参加了哪项活动的可能性最大？ 【解答】解：（1）观察统计图知：喜欢乒乓球的有20人，占20%， 故被调查的学生总数有20÷20%＝100人， 喜欢跳绳的有100﹣30﹣20﹣10＝40人， 条形统计图为： （2）∵A组有30人，D组有10人，共有100人， ∴A组所占的百分比为：30%，D组所占的百分比为10%， ∴m＝30，n＝10； 表示区域C的圆心角为360°＝144°； （3）根据踢毽子的概率为，喜欢乒乓球的概率为，喜欢跳绳的概率为，喜欢篮球的概率为， 故喜欢跳绳的可能性大． 故答案为100，30，10，144°． 【变式1】编号为1、2、3、4的4个小球，不放回的抽取两次，记m表示这两个球号码的平均数，记n表示抽取第一个球的号码，则m与n差的绝对值超过0.5的概率是（　　） A．1 B． C． D． 【解答】根据题意画树状图如下， 由树状图得：m与n差的绝对值超过0.5的概率是， 故选：B． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.为了落实“双减”政策，某学校对学生学期各学科的学业成绩规定如下：平时作业成绩占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小颖数学学科的平时作业成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别为80分，90分，92分，则小颖这学期数学学科的学业成绩为（　　） A．92分 B．90分 C．89分 D．85分 【解答】80×20%+90×30%+92×50%＝89（分），∴小颖这学期数学学科的学业成绩为89分，故选：C． 2.已知一组正整数a，5，b，c，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（　　） A．3 B．3.6 C．4 D．5.2 【解答】∵一组正整数a，5，b，c，8有唯一众数1，中位数是3， ∴这组数据从小到大排列为：1，1，3，5，8， ∴这一组数据的平均数为（1+1+3+5+8）÷5＝3.6， 故选：B． 3.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【解答】根据方差、平均数的意义进行判断如下：甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定； 甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 4.在一个不透明袋子中有红球和黑球共10个球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球是红球的概率是，则袋子中红球的个数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】由题意得，袋子中红球的个数是106（个）．故选：C． 5.某位射击运动员的10次射击训练成绩统计如下： 成绩/环 6 7 8 9 10 次数 1 1 3 4 1 则10次成绩的中位数为　 　 环． 【解答】把射击运动员的10次射击训练成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，9，9，9，10， ∴10次成绩的中位数为：8.5（环），故答案为：8.5． 6．已知一组数据：x1，x2，x3，…，xn的方差是3，则另一组数据：x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是　 　 ． 【解答】数据x1，x2，⋯，xn的方差是3，设数据x1，x2，⋯，xn的平均数为， ∴， 根据方差的计算公式可得： ∴， 设一组新数据x1+3，x2+3，…，xn+3的平均数为， ∴ ， 根据方差的计算公式可得： ＝S2 ＝3， 故答案为：3． 7. 如图是4×4的正方形网格飞漂游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是　 　 ． 【解答】阴影部分面积为1×1×8＝4， ∵正方形网格的面积为4×4＝16， ∴任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是，故答案为：． 8. 4月23日是世界读书日，为迎接第30个世界读书日，某校举行了“‘阅’见未来”主题诵读比赛． 本次比赛的评委由专业老师和优秀学生组成．组委会现有两种评分方案： 方案一：取各位评委所给分数的平均数，作为选手的最后得分； 方案二：从评委所给的分数中去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余分数的平均数，作为选手的最后得分． 选手小涛的得分情况如下：（百分制） 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分数 71 73 75 72 99 72 72 71 65 70 （1）按方案一和方案二分别计算小涛的最后得分，你认为方案一和方案二哪个较为合理，简要说明理由． （2）组委会经过讨论，认为评分方案的制定要突出专业老师的权威性，适当考虑学生评委的喜爱度．如果1至4号评委由专业老师担任，5至10号评委由优秀学生担任．请以表格选手的得分为例，结合所学的统计知识帮助组委会另外设计一个合理的方案． 【解答】解：（1）方案一（分）， 方案二：（分）， 方案二更合理，去掉极端值的平均数更接近实际水平． （2）专业老师1至4号评委的平均分占70%，优秀学生5至10号评委去掉一个最高分和一个最低分后的平均分占比例30%，最终得分为：（分）， 理由是：突出专业老师权威性，同时适当考虑学生评委意见并减少极端值影响． 9. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图． 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为 　 　 分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为 　 　 ，本次被抽取的所有成绩的中位数为 　 　 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【解答】解：（1）B组15个成绩的平均数为：（3×80+2×81+83+84+4×85+86+2×88+89）＝84（分）， 故答案为：84； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为：15÷30%＝50， A组人数为：50×24%＝12（个）， 把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是80，80， 所以本次被抽取的所有成绩的中位数为：80（分）， 故答案为：50，80； （3）500×24%＝120（人）， 答：估计本次竞赛的获奖人数为120人． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.“体重管理年”三年活动由国家卫健委联合16个部门共同发起，宣传口号是“健康体重，一起行动”．某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知九（1）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为9分，7分，8分，则该班的最终得分为（　　） A．7.5分 B．8分 C．8.1分 D．8.5分 【解答】根据加权平均数的计算公式可得：9×40%+7×30%+8×30%＝8.1（分），故选：C． 2．一组数据的方差为，则该组数据的总和是（　　） A．5 B．4 C．30 D．20 【解答】一组数据的方差为，则该组数据的总和是：4×5＝20． 故选：D． 3. 若一组数据3，5，7，x，11的平均数为7，则x＝ 　 　 ． 【解答】7×5﹣3﹣5﹣7﹣11＝9，故答案为：9． 4.七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息： 平均数 中位数 众数 最小值 m 6 7 2 已知小明投中了4个，下列判断 ①投中6个的学生只有1； ②可能有学生投中了9个； ③这七个数据之和可能为42； ④m的值可能为5． 所有正确推断的序号是 　 　 ． 【解答】由题意中位数为6，众数为7， 当7个人的成绩为2，4，6，6，7，7，7，也符合题意，故①错误； 可能有学生投中了9个故②正确； 当7个人的成绩为2，4，5，6，7，7，10时，7个数的和最大，最大值41，故③错误， 当7个人的成绩为2，2，4，6，7，7，7时，平均数为5，故④正确， 故答案为：②④． 5．若一组数据“4，a，5，6，b”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为 　 　 ． 【解答】∵众数为5，∴a，b中至少有一个是5， ∵平均数为5， ∴， ∴a+b＝10， ∴a，b都是5， ∴这组数据的方差为； 故答案为：． 6.如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落，有一半的可能向右滑落．球落到底部最中间的概率是　 　 ． 【解答】树状图如下： 由图可知，概率依次是：，，，，， 则球落到底部最中间的概率是， 故答案为：． 7．第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚冬会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚冬会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝　 　 ，a＝　 　 ； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚冬会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 【解答】解：（1）八年级测试成绩D组：85≤x＜90的频数为7，由扇形统计图知D组占35%， ∴进行测试d 学生数为：n＝7÷35%＝20（人）， ∴2a＝20﹣1﹣2﹣3﹣6， 2a＝8， 解得：a＝4． 故答案为：20；4； （2）A、B、C三组的频率之和为：5%+5%+20%＝30%＜50%， A、B、C、D四组的频率之和为：30%+35%＝65%＞50%， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87，88，89， ∵20×30%＝6，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为； （3）八年级E：90≤x＜95，F：95≤x≤100三组占1﹣30%﹣35%＝35%， 共有20×35%＝7人， 七年级E：90≤x＜95，F：95≤x≤100两组人数为3+1＝4人， 两年级共有7+4＝11人， 两个年级对亚冬会关注程度稿的人数占样本的， ∴（人）， 估计对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 8.某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 9 a 乙 8.8 b 0.96 丙 c 8 0.96 根据以上信息，完成下列问题： （1）求出a，b，c的值； （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为d，直接写出d与a的大小关系． 【解答】解：（1）由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， ∴甲得分的方差a0.4， 由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为：10、9、9、9、7， ∴乙得分的中位数b＝9； 由扇形统计图可知，甲的平均数c＝10×40%+8×60%＝8.8， 故c （2）选甲更合适．理由如下： 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； （3）去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差d0.22， ∴0.22＜0.4，即d＜a 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．小莹在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（　　） ①平均数是4；②众数是5；③中位数是4；④样本容量是3． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【解答】由题意可知这组数据为2、4、5、5， ∴平均数为4，故①符合题意； ∵5出现的次数最多，∴众数为5，故②符合题意； ∵中位数为4.5，故③不符合题意； 共有4个数，样本容量是4，故④不符合题意； 故选：A． 2．已知一个样本数据x1，x2，…，xn﹣1，xn的平均数和方差分别为，s2＝2，则新数据2x1+3，2x2+3，…，2xn﹣1+3，2xn+3的平均数和方差分别是（　　） A．9 4 B．9 8 C．6 4 D．6 7 【解答】由题意，得， ， 新数据平均数为 ＝9， 新数据方差为 ＝8， 故选：B． 3.如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵BC是直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AD⊥BC， ∴AD＝BD＝CD， ∴AB2， ∴S扇形ABCπ，2π， ∴该粒米落在扇形内的概率为，故选：D． 4.如图所示，在圆形转盘中，∠AOB＝∠BOC＝90°，拨动指针，指针指向区域a的概率为P1，在矩形转盘中，CD＝1，BD＝2，拨动指针，指针指向a区域的概率为P2，则P1×P2＝ 　 　 ． 【解答】圆中a区域的圆心角为180°， ∴，由条件可知OA＝OC，OB＝OD，∠BCD＝90°，∴， ∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOD＝120°， ∴， ∴； 故答案为：． 5.交通安全教育是保障人们生命安全的重要措施．为增强学生交通安全意识，某校举行了“安全文明出行，共创和谐交通”的知识测试活动，现各从该校七、八年级随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及8分以上为合格）进行整理、描述和分析，绘制成如下统计图并给出了部分信息． 班级 平均分 众数 中位数 七年级 7.5 b 7 八年级 a 8 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）该校七、八年级共800名学生参加此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数约是多少？ （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握交通安全知识较好？请说明理由． 【解答】解：（1）八年级平均分a（5×2+6×4+7×4+8×5+9×2+10×3）＝7.5，八年级成绩的中位数c7.5， 七年级成绩的众数b＝7， 故答案为：7.5、7、7.5； （2）800380（名）， 答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数约是380人； （3）八年级学生掌握交通安全知识较好， 因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级， 所以八年级成绩的高分人数多于七年级， 所以八年级学生掌握交通安全知识较好． 6.每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于今年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率； （2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，求商场这一个月里需支付此活动的费用． 【解答】解：（1）总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种， 所以小颖从盲盒中随机抽取一个，恰好抽到“圆周率”的概率； （2）商场这一个月里需支付邮票的费用为：2×540＝1080（元）， 抽到“圆周率”的总次数约为：540＝135（次）， 抽到“毕达哥拉斯定理、欧拉公式”的总次数约为：540＝270（次）， 抽到“莫比乌斯带”的总次数约为：540＝135（次）， ∴商场这一个月里需支付此活动的费用为： 1080+135×10+270×6+135×0＝4050（元）． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $