02 变力做功求解法-高中物理思想方法导引课

变力做功求解法 一、起源探究 “变力做功求解法”的形成是一个漫长的过程，凝聚了众多物理学家的智慧。在物理学发展初期，人们主要研究恒力做功问题。随着对物理现象研究的深入，发现大量实际问题中物体受到的力是变化的，如弹簧弹力、机车启动时的牵引力、物体在流体中运动受到的阻力等。为解决这些问题，物理学家们开始探索新的方法。 在数学领域，微积分的发展为变力做功的精确计算提供了有力工具。物理学家将微积分引入物理问题，通过微元法将变力做功问题转化为无数个小段上恒力做功的累加，从而能够准确计算变力所做的功。此外，通过对功能关系、动能定理、能量守恒定律等物理规律的深入研究和应用，逐渐形成了多种求解变力做功的方法，如利用动能定理、功能关系、平均力法、图像法等，这些方法在不断的实践和教学中得到完善和推广。 二、核心物理思想 “变力做功求解法”的核心物理思想是根据不同变力的特点和物理过程的规律，选择合适的方法将变力做功问题转化为可求解的形式。当变力的变化具有一定规律时，可通过数学方法或物理规律将其转化为恒力做功问题；当变力做功过程涉及能量转化时，可利用动能定理、功能关系、能量守恒定律等，通过研究物体动能、势能等能量的变化来间接求解变力做功；对于一些特殊的变力，还可通过平均力法、图像法等进行求解。其本质是建立变力与功之间的联系，通过合理的转化和运用物理规律，实现对变力做功的准确计算。 三、解决的问题 ① 求解弹簧弹力做功：弹簧弹力大小与形变量成正比，是典型的变力。在涉及弹簧的物理问题中，如弹簧振子的运动、物体在弹簧作用下的运动等，需要求解弹簧弹力对物体所做的功，以分析物体的运动状态和能量变化。 ② 分析机车启动过程中牵引力做功：机车启动时，若以恒定功率启动，牵引力会随速度变化而变化。通过求解牵引力做功，结合动能定理等规律，可分析机车速度的变化、达到的最大速度以及运动时间等问题。 ③ 计算物体在流体中运动时阻力做功：物体在空气、水等流体中运动时，受到的阻力通常与速度有关，是变力。求解阻力做功对于研究物体在流体中的运动轨迹、速度变化以及能量损耗等具有重要意义。 ④ 处理曲线运动中变力做功：在物体做曲线运动时，如平抛运动中物体受到的空气阻力（若考虑）、圆周运动中物体受到的向心力（若为变力情况）等，需要求解变力做功来分析物体的能量变化和运动状态。 四、方法应用示例（结合新高考题型） 例题1 利用动能定理求解变力做功（机车启动问题） 题目 质量为的汽车，以恒定功率启动，在水平路面上行驶时受到的阻力恒定。求汽车从静止开始运动，速度达到时，牵引力所做的功。 解题步骤： ① 分析物理过程： 汽车以恒定功率启动，牵引力是变力，随着速度增大，牵引力逐渐减小。（可想象汽车从静止加速的过程，速度越来越快，牵引力不断变小） ② 选择解题方法： 根据动能定理合，在此过程中，合外力做功合等于牵引力做功减去阻力做功，物体动能变化。 ③ 计算相关物理量： 阻力做功，由于无法直接求出位移，但可通过动能定理求解。根据动能定理，又因为，，，但这些式子中和未知，不过我们可直接利用动能定理求解。将，，代入动能定理公式，。虽然未知，但我们不需要求出，因为与的关系在动能定理中可整体求解。 ④ 求解变力做功： ，又因为，，，联立可得（其中为加速度，但在此题中不需要具体求出），最终解得。 例题2 利用功能关系求解变力做功（弹簧弹力问题） 题目 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接质量为的物体，物体在光滑水平面上。现将弹簧拉长后由静止释放，当弹簧回到原长时，物体的速度为。求弹簧弹力对物体所做的功。（不考虑空气阻力） 解题步骤： ① 分析物理过程： 弹簧被拉长时具有弹性势能，释放后弹簧弹力对物体做功，将弹性势能转化为物体的动能。弹簧弹力是变力，其大小与弹簧的形变量有关。（可想象弹簧从拉长状态逐渐收缩到原长，物体在弹簧弹力作用下加速运动） ② 选择解题方法： 根据功能关系，弹簧弹力做功等于物体动能的增加量，即。 ③ 计算动能变化量： 物体初动能，末动能。 ④ 求解变力做功： 弹簧弹力对物体所做的功。 例题3 利用平均力法求解变力做功（弹簧拉伸问题） 题目 一根劲度系数的轻弹簧，在水平拉力作用下，从原长缓慢拉伸，求拉力所做的功。 解题步骤： ① 分析物理过程： 弹簧在被拉伸过程中，拉力大小与弹簧的形变量成正比，，拉力是变力。由于是缓慢拉伸，拉力始终与弹簧弹力大小相等、方向相反。（可想象用手慢慢拉弹簧，拉力逐渐增大的过程） ② 选择解题方法： 因为拉力与形变量成线性关系，所以可用平均力法求解。平均力，其中（原长时拉力为），，则。 ③ 计算变力做功： 根据，将，代入，可得。 五、练习题 ① 质量为的物体，在水平变力作用下，从静止开始在光滑水平面上运动。随位移变化的关系为（的单位为，的单位为），当物体位移时，求变力对物体所做的功。 ② 一辆汽车以恒定功率在水平路面上行驶，行驶过程中受到的阻力不变。从某时刻开始计时，经过，汽车速度达到，求这段时间内牵引力所做的功。 ③ 如图，轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接质量为的物块，物块在粗糙水平面上。弹簧原长为，现将弹簧拉长到后由静止释放，当弹簧收缩到时，物块的速度。已知弹簧劲度系数，物块与水平面间的动摩擦因数，求此过程中弹簧弹力对物块所做的功。 ④ 一个质量为的小球，在竖直向上的变力作用下，从地面由静止开始向上运动。随时间变化的图像如图所示，内均匀增大，时，内不变。求内变力对小球所做的功。（） ⑤ 一物体在流体中运动，受到的阻力与速度的关系为（的单位为，的单位为）。物体从静止开始加速，当速度达到时，求阻力对物体所做的功。 【答案】 ① 解：因为与成线性关系，可用平均力法。当时，；当时，，平均力。 根据，可得。 ② 解：根据，可得。 ③ 解：根据动能定理，。 代入数据，解得。 ④ 解：内，均匀增大，平均力，根据牛顿第二定律（此步用于分析运动状态），位移（实际不为，这里是按平均力计算加速度，实际可通过图像面积求功），（内图像与轴围成面积表示功）。 内，（先求内位移，再求功）。 总功。 ⑤ 解：利用动能定理，未知，可通过微元法。设物体在极短时间内的位移为，速度为，则，，当时，。 六、学习技巧总结 ① 准确判断变力类型：遇到变力做功问题时，首先要分析变力的特点，判断它是与位移、速度、时间等哪个物理量有关，以及变化规律如何。例如，弹簧弹力与形变量成正比，机车启动时的牵引力与速度成反比等，根据变力的不同类型选择合适的求解方法。 ② 熟练掌握物理规律：深入理解动能定理、功能关系、能量守恒定律等物理规律，明确它们在变力做功问题中的应用条件和方法。这些规律是求解变力做功的重要工具，要能够灵活运用，通过分析物体的能量变化来间接求解变力做功。 ③ 合理运用数学工具：部分变力做功问题需要借助数学知识进行求解，如平均力法、微元法、图像法等。要掌握这些数学方法在物理中的应用技巧，能够将物理问题转化为数学问题进行求解。例如，利用图像与坐标轴围成的面积表示功，通过微积分计算变力做功等。 ④ 建立物理模型：将常见的变力做功问题归纳总结为不同的物理模型，如弹簧弹力模型、机车启动模型、流体阻力模型等。熟悉每个模型的特点 学科网（北京）股份有限公司 $