专题01 集合与充要条件（讲义）-2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与充要条件。 2026版河南省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 集合 · (1)集合及其表示 · (2)集合之间的关系 · (3)集合的运算 2. 充要条件 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 1 集合/集合的运算（交集） 3 （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：集合与充要条件几乎每年都有涉及，分值一般在6分左右。 （3）内容：集合的概念与关系、集合的运算均有考查；充要条件通常与三角函数、不等式等知识点结合考查。 选择题 8 充分必要条件（与三角函数结合考查） 3 2024 选择题 2 集合/元素与集合的关系 3 选择题 8 充分必要条件（与空间中两直线关系结合考查） 3 填空题 11 集合/集合的运算（交集，涉及补集概念） 3 2023 选择题 1 集合/元素与集合的关系、集合间的关系（涉及空集、子集等概念） 3 2022 选择题 1 充分必要条件（与不等式表示的范围结合考查） 3 选择题 2 集合/集合与区间表示的对应转换 3 填空题 11 集合/集合的表示（列举法） 3 2021 选择题 1 集合/集合间的关系 3 填空题 11 集合/集合的运算（交集，涉及补集概念） 3 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河南省对口招生考试依然有2道题目分别考查集合与充分必要条件，题型均设置为单项选择题，分值各3分，共6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 元素与集合的关系 · 集合之间的关系 · 集合的运算 · 充要条件的判断 四、知识梳理 （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为 ∉. 4．五个特定的集合及其关系图： 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(N＋) 　 Z Q R （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合A为集合B的子集  　A⊆B或B⊇A 真子集  如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集  A⫋B或B⫌A  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 注意：(1)空集用 ∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 注意：1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. （四）充要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果p，那么q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 五、10分钟小测验 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A．2 B． C． D． 3．已知是所有偶数组成的集合，则（    ） A． B． C． D． 4．设集合，则集合A与B之间的关系是（    ） A． B． C． D． 5．集合共有 个子集（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 6．已知集合，则集合A的真子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 7．“”是“x、y至少有一个为零”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“是等腰三角形”是“是等腰直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 10．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案解析】 1．C 【分析】根据并集的概念运算即可. 【详解】已知集合，集合， 则， 故选：C. 2．B 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合，， 则， 故选：B. 3．C 【分析】根据元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】对A、B：因为是所有偶数组成的集合，1和3都不是偶数，所以，故A、B项错误， 对C、D：因为偶数，所以，故C项正确，D项错误. 故选：C. 4．A 【分析】分别求出集合，根据集合与集合之间的关系即可求解. 【详解】由解得，由解得， 所以集合， 则. 故选：A. 5．D 【分析】根据题意结合子集个数公式即可得解. 【详解】集合中元素个数为， 则子集个数为， 故选：. 6．C 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法，解出集合A的元素，再根据元素个数算出真子集个数即可求解. 【详解】不等式可化为，即， 即集合， 因为集合共有5个元素， 所以集合的真子集个数为. 故选：C. 7．C 【分析】根据充要条件的概念判断. 【详解】能推出x、y至少有一个为零，而x、y至少有一个为零也能推出， 所以“”是“x、y至少有一个为零”的充要条件． 故选：C． 8．B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】是等腰三角形不能推出是等腰直角三角形， 而是等腰直角三角形能推出是等腰三角形， 所以“是等腰三角形”是“是等腰直角三角形”的必要不充分条件． 故选：B. 9．A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若，则必有，故充分性成立； 若，则不一定有，如，故必要性不成立， ∴“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 10．A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可得解. 【详解】由得或， 所以“”“”， “”“”， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 六、经典例题解析 （一）集合 【考试题型1】考查集合的交、并、补 【例1】（2025·河南对口升学高考）设集合，集合，则集合（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】解一元二次方程，结合集合交集的运算即可解得. 【详解】解方程，即，可得或，所以. 解方程，得，所以. 故. 故选：B 【例2】（24-25高三下·河南·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集的定义求解即可. 【详解】集合，则. 故选：B. 【例3】（2024年·河南对口升学高考）设全集U是所有小写英文字母组成的集合，，则_________． 【答案】 【分析】根据补集定义得到集合补集，再与集合取交集得到结果. 【详解】因为全集是所有小写英文字母组成的集合，， 所以为除去以外的其他所有小写英文字母组成的集合， 所以=, 故答案为： 【例4】（24-25高三上·河南·模拟预测）已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集的概念可求. 【详解】因为集合，集合， 所以； 故选：A. 【例5】（23-24高三上·河南·模拟预测）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合交集、补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为全集，， 所以， 又， 所以． 故选：D. 【例6】（22-23高三下·河南·模拟预测）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集的定义求解. 【详解】全集，集合，则. 故选：C. 【考试题型2】考查元素与集合、集合与集合之间的关系 【例7】（2024年·河南对口升学高考）已知集合，下列说法错误的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分析集合的元素，根据元素与集合的关系进行判断. 【详解】∵集合，故集合A的元素有，，. 则，，，，即ABD正确. 不是集合A的元素，故. 故选：C. 【考试题型3】考查集合的真子集 【例6】（23-24高三下·河南·模拟预测）集合的所有真子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真子集的定义即可得解. 【详解】集合的所有真子集是， 故选：. （二）充要条件 【例9】（2025年·河南对口升学高考）在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】在中，若成立，根据正弦定理，可得. 在三角形中，大边对大角，所以等价于， 所以. 因为等价于，且，， 所以. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【例10】（2024年·河南对口升学高考）在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】通过空间中直线与直线的位置关系分析得出结论即可. 【详解】因为空间中两直线垂直，分为相交垂直，异面垂直两种， 所以两直线互相垂直不能推出两直线相交. 反过来，两直线相交所成的角的范围是，不一定是垂直， 即两直线相交不能推出两直线垂直. 所以“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既非充分又非必要条件. 故选：. 【例11】（24-25高三下·河南·模拟预测）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用任意角的三角函数结合条件充分性与必要性进行判断即可. 【详解】设，则“”，则，充分性不成立； ，则，必要性成立； 则“”是“”的必要不充分条件； 故选：B. 【例12】（24-25高三上·河南·模拟预测）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求解，再由充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】由解得或， 所以由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错． 【专题内容总结2】 （1）用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合； （2）含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性； （3）若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2． 【专题内容总结3】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍． 【专题内容总结4】在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $