专题03 函数的奇偶性（专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题03函数的奇偶性 目录 A题型建模・专项突破 题型一、定义法判断函数的奇偶性 1 题型二、基本初等函数的单调性 2 题型三、利用函数性质判断函数的奇偶性 2 题型四、已知奇偶性求值（解析式已知） 2 题型五、已知奇偶性求值（解析式未知） 3 题型六、求对称区间上函数的解析式 3 题型七、方程组法求函数的解析式 3 题型八、利用奇偶性求参数（解析式已知） 4 题型九、利用奇偶性求参数（已知部分解析式） 4 题型十、利用奇偶性求参数（奇函数加常数） 4 题型十一、利用奇偶性求最值 4 题型十二、利用奇偶性解不等式（抽象函数型） 5 题型十三、利用奇偶性解不等式（解析式已知） 5 题型十四、利用奇偶性比较大小 5 题型十五、奇偶函数的图像 6 题型十六、奇偶函数解答题 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、定义法判断函数的奇偶性 1．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·广东江门新会第二中学·期中)已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 3．(24-25高一上·浙江杭州第九中学·期中)已知函数． (1)判断函数在R上的奇偶性，并证明之； (2)判断函数在R上的单调性，并用定义法证明； (3)写出在R上的值域． 题型二、基本初等函数的单调性 4．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 5．根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 6．(25-26高一上·山东德州宁津县第一中学·开学考)判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 题型三、利用函数性质判断函数的奇偶性 7．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·黑龙江大庆实验中学·期末)已知函数，则下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）(22-23高一上·重庆巴蜀中学校·期中)已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 题型四、已知奇偶性求值（解析式已知） 10．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 11．已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 12．若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 题型五、已知奇偶性求值（解析式未知） 13．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·湖南邵阳第二中学·期中)已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 15．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 . 题型六、求对称区间上函数的解析式 16．（多选）(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 17．已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 18．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 19．(24-25高一上·吉林实验中学·)已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 题型七、方程组法求函数的解析式 20．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 21．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ． 22．(24-25高二下·江西多校·)已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 23．(24-25·3.2.2奇偶性-·)设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式. 题型八、利用奇偶性求参数（解析式已知） 24．(25-26高一上·山东实验中学·)已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 26．若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 题型九、利用奇偶性求参数（已知部分解析式） 27．(24-25高一上·广东深圳科学高中·期中)已知函数为奇函数，则等于（    ） A．-1 B．1 C．5 D．-5 28．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．(24-25高一上·辽宁丹东名校协作体·期中)已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 . 题型十、利用奇偶性求参数（奇函数加常数） 30．(24-25高一上·山东淄博高青县多校·期中)已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 31．(24-25高一上·云南昆明禄劝彝族苗族自治县民族中学·期中)已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 题型十一、利用奇偶性求最值 32．(25-26高三上·广东湛江八校·)已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 33．(24-25高一上·山东日照·)已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 34．(24-25高一上·山东聊城·期末)已知函数在上的最小值为2，则在上的（   ） A．最小值为2 B．最大值为 C．最小值为6 D．最大值为 35．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)设函数（）的最大值为，最小值为，则= 题型十二、利用奇偶性解不等式（抽象函数型） 36．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（   ） A． B． C． D． 37．(22-23高一上·四川广安加德学校·期中)若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 38．(24-25高一下·广东六校（清中、河中、惠中、茂中等）·)已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 39．（多选）(24-25高一下·云南昭通镇雄县赤水源中学·开学考)已知函数满足对都有成立，且是减函数，若，则不等式的解可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十三、利用奇偶性解不等式（解析式已知） 40．已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 41．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为 . 42．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 题型十四、利用奇偶性比较大小 43．(24-25高二下·河北沧州·月考)已知函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增.设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 44．(24-25高一上·海南海口某校·月考)已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 45．(23-24高一上·广东江门新会第二中学·期中)设偶函数 在区间 上单调递增， 则、的大小关系为： （用大于号连接）； 题型十五、奇偶函数的图像 46．(23-24高一上·广东惠州仲恺高新区华实高级中学·期中)已知函数是定义域为的偶函数，当时，（如图）．    (1)请补充完整函数的图像； (2)求出函数的解析式； (3)若函数的图像与直线有两个交点，直接写出实数m的取值范围． 47．(24-25·3.2.2奇偶性-·)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在轴及其左侧的图像，如图所示. (1)请补出完整函数的图像； (2)根据图像写出函数的递增区间； (3)根据图像写出使的的取值集合. 48．(24-25高一上·福建厦门杏南中学·期中)已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数表达式改写为分段函数形式，并作出的图像； (3)当时，解不等式. 题型十六、奇偶函数解答题 49．(25-26高一上·河南南阳六校·月考)已知是定义在上的函数，且满足，又当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，解不等式 50．(22-23高一下·福建厦门外国语学校·期中)函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 51．(25-26高一·河南驻马店第一高级中学·)已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 一、单选题 1．(23-24高一上·天津河北区·期中)函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A． B．1 C．5 D． 3．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（    ） A． B．m C．2m D．4m 4．(24-25高一上·安徽蒙城第一中学·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则 的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 二、多选题 5．(24-25高一上·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为偶函数 C．是周期为4的函数 D． 三、填空题 6．(24-25高一上·山东威海·期末)已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 7．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)已知函数，若实数，满足，则的最大值为 . 四、解答题 8．(24-25高一上·吉林长春十一高中·)已知函数为奇函数，且 (1)求； (2)求证：在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数的奇偶性 目录 A题型建模・专项突破 题型一、定义法判断函数的奇偶性 1 题型二、基本初等函数的单调性 3 题型三、利用函数性质判断函数的奇偶性 5 题型四、已知奇偶性求值（解析式已知） 7 题型五、已知奇偶性求值（解析式未知） 8 题型六、求对称区间上函数的解析式 9 题型七、方程组法求函数的解析式 10 题型八、利用奇偶性求参数（解析式已知） 12 题型九、利用奇偶性求参数（已知部分解析式） 13 题型十、利用奇偶性求参数（奇函数加常数） 14 题型十一、利用奇偶性求最值 14 题型十二、利用奇偶性解不等式（抽象函数型） 16 题型十三、利用奇偶性解不等式（解析式已知） 18 题型十四、利用奇偶性比较大小 19 题型十五、奇偶函数的图像 20 题型十六、奇偶函数解答题 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、定义法判断函数的奇偶性 1．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 2．(23-24高一上·广东江门新会第二中学·期中)已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】(1) (2)函数是奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将点坐标代入得到方程组，求出的值； （2）利用函数的奇偶性的定义求证； （3）利用单调性的定义求证. 【详解】（1） ∵函数的图象经过两点， ∴，解得； （2）函数是奇函数.证明如下： 由（1）知，，函数的定义域为. ∵， ∴函数是奇函数. （3）任取，则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. 3．(24-25高一上·浙江杭州第九中学·期中)已知函数． (1)判断函数在R上的奇偶性，并证明之； (2)判断函数在R上的单调性，并用定义法证明； (3)写出在R上的值域． 【答案】(1)奇函数，证明见解析. (2)单调递增函数，证明见解析. (3) 【分析】（1）通过计算来证明； （2）任取，通过计算来证明； （3）以为基础可得函数值域. 【详解】（1）函数在上是奇函数. 证明：， 即函数在上是奇函数； （2）函数在R上的单调递增函数. 证明：任取，则， 因为，所以，又，， 所以，即函数在R上的单调递增函数； （3）由， 即函数在R上的值域为. 题型二、基本初等函数的单调性 4．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 5．根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 6．(25-26高一上·山东德州宁津县第一中学·开学考)判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 题型三、利用函数性质判断函数的奇偶性 7．(24-25高一下·湖南长沙第一中学·期末)是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数是奇函数的定义计算判断即可. 【详解】由题可知：是定义在上的奇函数，所以， 对A，成立，故正确； 对B，成立，故正确； 对C，令，则，不成立，故错误； 对D，， 由，所以成立，故正确； 故选：C 8．(24-25高一上·黑龙江大庆实验中学·期末)已知函数，则下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析可得，故可得图象的对称中心，故可得正确的选项. 【详解】因为， 故图象的对称中心为， 所以将的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后图像关于原点对称， 故为奇函数， 故选：B. 9．（多选）(22-23高一上·重庆巴蜀中学校·期中)已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【答案】ABD 【分析】根据奇偶函数的定义直接判断求解即可. 【详解】设， 因为，是定义在上，所以的定义域为， ，所以为偶函数，故A正确； 设， 因为是定义在上，所以的定义域为， ， 所以为奇函数，故B正确； 设， 因为，都是定义在上，所以定义域为， 因为为奇函数，为偶函数， 所以， 所以为偶函数，故C错误； 设， 因为，都是定义在上，所以定义域为， ， 因为是不恒为0的函数， 所以不恒成立， 所以不是奇函数， ， 因为是不恒为0的函数， 所以不恒成立， 所以不是偶函数， 所以是非奇非偶函数，故D正确. 故选:ABD. 题型四、已知奇偶性求值（解析式已知） 10．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 【答案】A 【分析】由奇函数的定义知，可知，再根据时的解析式，即可求得，从而求解即可. 【详解】因为时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：A 11．已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知，再利用时，的解析式求出即可． 【详解】∵为偶函数， ∴， ∵当时，， ∴， 故． 故答案为：2． 12．若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 题型五、已知奇偶性求值（解析式未知） 13．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数和偶函数的性质可得出关于、的方程组，解出这两个函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 14．(24-25高一上·湖南邵阳第二中学·期中)已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到新的等式，联立消去即可求得结果. 【详解】因为①， 函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数， 所以，即②， ②①得，即， 所以， 故选：B. 15．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性列方程组即可得解. 【详解】依题意，，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 又， 所以，即， 两式相加得. 故答案为： 题型六、求对称区间上函数的解析式 16．（多选）(24-25高二下·黑龙江大庆·期末)已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 17．已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【答案】 【分析】由为定义在上的奇函数，则，再根据时，，求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以． 设， 所以 18．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 19．(24-25高一上·吉林实验中学·)已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 【答案】(1) (2)单增区间为，，单减区间为，. (3) 【分析】（1）令求出，再根据偶函数的定义即可； （2）根据二次函数的性质得出在上的单调性，再结合偶函数的性质即可； （3）根据二次函数的单调性以及偶函数的性质可得. 【详解】（1）若，则，则， 因是偶函数，则， 则. （2）时，的图象开口朝上且对称轴为， 则的单增区间为，单减区间为， 因是偶函数，则的单增区间为，， 单减区间为，. （3）由的单调性以及偶函数的性质可知，， 故的值域为    题型七、方程组法求函数的解析式 20．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 21．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ． 【答案】27 【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数， 而，① 所以，即，② 由①②得，所以． 故答案为：. 22．(24-25高二下·江西多校·)已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，. (1)求函数与的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可； （2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数， 则，可得， 联立方程，解得，. （2）因为，即， 又因为，令，则， 可得，整理可得， 原题意等价于在上恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 23．(24-25·3.2.2奇偶性-·)设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式. 【答案】， 【分析】由已知条件得到，再结合奇偶性解方程即可. 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以，. 由①， 用代替得， 所以②. （①+②）÷2，得. （①-②）÷2，得. 题型八、利用奇偶性求参数（解析式已知） 24．(25-26高一上·山东实验中学·)已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 25．已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 26．若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 题型九、利用奇偶性求参数（已知部分解析式） 27．(24-25高一上·广东深圳科学高中·期中)已知函数为奇函数，则等于（    ） A．-1 B．1 C．5 D．-5 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为奇函数， 当时，，则， 而当时，，因此，即， 当时，，则，符合题意， 又，所以，. 故选：B 28．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可. 【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为， 由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意， 所以当时，， 所以. 故选：D. 29．(24-25高一上·辽宁丹东名校协作体·期中)已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由已知奇偶性质得到对称性，借助已知条件与求出待定系数，再利用对称性转化为，代入解析式求解即得． 【详解】根据题意，由为奇函数，得， 令得，即；令，得， 由为偶函数，得,令，得， 由，所以， 由，解得， 故时，， 由，当时，可得. 故答案为：. 题型十、利用奇偶性求参数（奇函数加常数） 30．(24-25高一上·山东淄博高青县多校·期中)已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，确定函数为奇函数，代入计算得到答案. 【详解】设，函数定义域为， ，函数为奇函数， ，故， . 故选：D. 31．(24-25高一上·云南昆明禄劝彝族苗族自治县民族中学·期中)已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】 ， 则为奇函数，即， 故选:C. 题型十一、利用奇偶性求最值 32．(25-26高三上·广东湛江八校·)已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，可求的值. 【详解】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 33．(24-25高一上·山东日照·)已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】构造，确定函数为奇函数，，根据奇函数性质计算得到答案. 【详解】设，函数定义域为，则，即为奇函数， 其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0， 则，故. 故选：B 34．(24-25高一上·山东聊城·期末)已知函数在上的最小值为2，则在上的（   ） A．最小值为2 B．最大值为 C．最小值为6 D．最大值为 【答案】D 【分析】整理函数解析式后令，验证得到函数为奇函数，由对称性得到在的最大值，然后得到在上的最大值. 【详解】， 令， ∵，即为奇函数， 当时，，∴， ∴当时，， ∴. 故选：D. 35．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 题型十二、利用奇偶性解不等式（抽象函数型） 36．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性和奇偶性的定义列不等式组求解即可. 【详解】由当时得在单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以在上也单调递增，故在上单调递增， 由得， 所以，解得， 故原不等式的解集为， 故选：A 37．(22-23高一上·四川广安加德学校·期中)若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出函数的图像的示意图，不等式等价于或，结合图像求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图像的示意图如图所示，    由图像知当或时，；当时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 38．(24-25高一下·广东六校（清中、河中、惠中、茂中等）·)已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是奇函数且在单调递增，即可利用函数单调性解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以. 因为函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 39．（多选）(24-25高一下·云南昭通镇雄县赤水源中学·开学考)已知函数满足对都有成立，且是减函数，若，则不等式的解可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】g赋值法，结合函数单调性和奇偶性解题即可. 【详解】令，所以.，在上递减， 可等价于解得， 不等式的解集为， 故选：CD. 题型十三、利用奇偶性解不等式（解析式已知） 40．已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可 【详解】， 不等式可变形为，即， 函数是定义在上的偶函数，， 所以为偶函数，若函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 故答案为：． 41．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为 . 【答案】或. 【分析】先求出时的解析式且，分，和，解不等式，求出答案. 【详解】当时，，故， 因为是定义在上的奇函数， 所以，故，所以， ，满足， 当时，令，解得，故， 当时，令，解得或，故， 综上，的解集为或. 故答案为：或. 42．(24-25高一上·天津红桥区·期末)已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式先求当时不等式的解，再由偶函数对称性求出时的解，综上即可得出不等式解集. 【详解】当时，，解得， 因为是上的偶函数，故图象关于轴对称， 所以当时，， 令，解得， 综上，的解集为. 故答案为： 题型十四、利用奇偶性比较大小 43．(24-25高二下·河北沧州·月考)已知函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增.设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，结合即可得解. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以. 所以，. 又因为函数在上单调递增， 且， 所以，即. 故选：D 44．(24-25高一上·海南海口某校·月考)已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减， 因为， 所以，即， 故选：C. 45．(23-24高一上·广东江门新会第二中学·期中)设偶函数 在区间 上单调递增， 则、的大小关系为： （用大于号连接）； 【答案】； 【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性比较大小即可. 【详解】由偶函数性质可知， 又函数 在区间 上单调递增， 所以， 故答案为： 题型十五、奇偶函数的图像 46．(23-24高一上·广东惠州仲恺高新区华实高级中学·期中)已知函数是定义域为的偶函数，当时，（如图）．    (1)请补充完整函数的图像； (2)求出函数的解析式； (3)若函数的图像与直线有两个交点，直接写出实数m的取值范围． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）根据题意，由偶函数的图像关于轴对称，即可画出函数图像； （2）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，结合函数图像，即可得到结果. 【详解】（1）如图：    （2）时，顶点，过点，， 设时函数解析式为，代入， 得，，. （3）由图可知，若函数的图像与直线有两个交点，则或． 47．(24-25·3.2.2奇偶性-·)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在轴及其左侧的图像，如图所示. (1)请补出完整函数的图像； (2)根据图像写出函数的递增区间； (3)根据图像写出使的的取值集合. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) . 【分析】（1）偶函数关于轴对称，直接作出函数图像； （2）由函数图像写出单调递增区间； （3）由函数图像直接得出的解集. 【详解】（1）由题意作出完整函数图像如图： （2）据图可知，单调递增区间为，. （3）由图可知，使的的取值集合为 . 48．(24-25高一上·福建厦门杏南中学·期中)已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数表达式改写为分段函数形式，并作出的图像； (3)当时，解不等式. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)，图像见解析 (3) 【分析】（1）根据奇偶性的定义进行判断和证明. （2）根据绝对值的知识进行化简，进而画出图像. （3）根据一元二次不等式的解法来求得正确答案. 【详解】（1）的定义域是，关于原点对称. 因为， 所以是奇函数. （2）. 的图像如图所示. （3）当时，， 因此，由可得，即 即，解得. 所以，当时，解不等式的解集为. 题型十六、奇偶函数解答题 49．(25-26高一上·河南南阳六校·月考)已知是定义在上的函数，且满足，又当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，解不等式 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，求出，然后令，即可得到的关系，即可得到函数的奇偶性； （2）令，即可得到，结合题意得到的正负，即可得到函数的单调性； （3）由题意求得，再由题中关系式得到不等式，结合（2）中结论得到二次不等式，即可解得的范围. 【详解】（1）令，则，解得， 令，即，则， 所以为奇函数. （2）令，则 ∵， ∴， ∵当时，， 即， ∴函数在上单调递减. （3）由， 由题设，即， 由（2）可知，即，得， ∴. 50．(22-23高一下·福建厦门外国语学校·期中)函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； （2）任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 51．(25-26高一·河南驻马店第一高级中学·)已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 一、单选题 1．(23-24高一上·天津河北区·期中)函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 2．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件分析出是周期为8的周期函数，然后利用周期性可得，结合已知函数值可求结果. 【详解】因为，所以， 又因为是定义域为的奇函数，所以，且, 所以，则， 所以，则是周期为8的周期函数， 所以，， 因为，所以， 因为， 所以. 故选：B. 3．(24-25高一下·湖南师范大学附属中学·期中)已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（    ） A． B．m C．2m D．4m 【答案】B 【分析】根据题意，推得函数和的图象都关于点中心对称，得到函数和的图象的交点也关于点对称，得到两个对称点的纵坐标之和为，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于点中心对称， 又由函数，可得， 则，所以的图象也关于点中心对称， 所以两个函数和的图象的交点也关于点对称， 则两个对称点的纵坐标之和为，可得. 故选：B. 4．(24-25高一上·安徽蒙城第一中学·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则 的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 【答案】C 【分析】由题可得的图象关于点成中心对称，得到即可求解. 【详解】若为奇函数， 则， 所以为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称， 则， 即，且， 所以 . 故选：C. 二、多选题 5．(24-25高一上·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)已知函数的定义域为，函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为偶函数 C．是周期为4的函数 D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义、函数对称性逐项分析判断. 【详解】函数的定义域为，由函数为奇函数，得， 由的图象关于直线对称，得， 对于A，由，得的图象关于点中心对称，A正确； 对于C，由，得，又， 则，，是周期为4的函数，C正确； 对于B，由选项C知，，则，又， 因此，为偶函数，B正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题 6．(24-25高一上·山东威海·期末)已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用函数是奇函数求出时，函数的解析式，并求出函数的单调性；利用单调递增及奇函数化简可得，分类讨论解不等式即可得解． 【详解】由为奇函数，得， 当时，，故， 故当时，，所以； 又当时，的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增，根据奇函数的性质可知函数在上单调递增， 故， 所以或， 解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数奇偶性的应用及分段函数不等式，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，结合奇偶性利用单调性求解. 7．(24-25高一上·河南商丘商师联盟·期末)已知函数，若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】构造函数，计算可得为奇函数且在上单调递增，则由可得，再借助基本不等式计算即可得解. 【详解】令，所以， 又定义域为，所以为奇函数，又，都在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 8．(24-25高一上·吉林长春十一高中·)已知函数为奇函数，且 (1)求； (2)求证：在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据求出参数的值，再根据求出参数的值，最后检验即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值，依题意可得，解得即可. 【详解】（1）由为奇函数，且定义域为 可得，即，解得， 又，有，所以， 对任意，，满足为奇函数. 综上可得：. （2）对任意，且， 有， 由，可得，， 则，即， 所以在上单调递增； （3）由在上单调递增. 可得对任意，， 因为对任意的都有. 所以，即，即，解得， 即实数的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $