期中重难点检测卷（提高卷）（考试范围：21～23章 一元二次方程+二次函数+旋转全部内容）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：21~ 23章（一元二次方程+二次函数+旋转全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·山东·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则该选项不符合题意； B是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则该选项不符合题意； C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则该选项不符合题意； D既是轴对称图形，也是中心对称图形，则该选项符合题意； 故选D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）若m是方程的根，则的值为（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【分析】根据题意，m是方程的根，得，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是，两根之积是．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移． 根据平移规律，即可得平移后的函数表达式． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，可得， ∴平移后的抛物线的函数表达式为． 故选：A． 5．（24-25九年级上·四川泸州·期中）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及小路的宽度，可得出除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再结合种植面积为，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，且小道的宽为， 除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形． 根据题意得：， 故选：D． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案． 【详解】解：如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转，得到， 由图中可知，点，将先向右平移3个单位，得坐标为：，再绕原点O逆时针旋转，得到，则点A的对应点的坐标是． 故选：D． 7．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，两个函数的交点坐标，再画出两个函数的大致图象，然后结合函数图象逐个分析即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 联立，解得或， 即二次函数与一次函数的两个交点坐标为和， 当时，画出两个函数的大致图象如下： 则由函数图象可知，当时，，命题①正确； 当时，，命题②正确； 当时，，命题③正确； 当时，若，则；若，则；若，则；命题④错误； 综上，正确的命题个数为3个， 故选：C． 8．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转和平移的性质以及矩形的性质等内容，由题可知，，，设，则，据此求解即可． 【详解】解：如图， 由题可知，，， 设，则， ， 矩形周长为． 故选：B． 9．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，过点且平行于轴的直线与抛物线交于两点，与抛物线交于点，抛物线与轴交于点，连接，．若，则梯形的面积为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，根据题意可得抛物线的对称轴为直线，当时，，则，．结合，得．由题意可知，两点关于对称轴直线对称，则，将代入，结合抛物线的对称轴是直线，求出，令，求出，则，根据求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， ，． ， ． 由题意可知，两点关于对称轴直线对称， ，将代入，得． 抛物线的对称轴是直线， ， ， ， 令， ， ， ， ， ． 故选： B． 10．（24-25九年级上·四川成都·期中）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论错误是（　　） A． B． C．当时，的值随值的增大而减小 D．若方程没有实数根，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等．解题的关键在于二次函数知识的熟练掌握与灵活运用． 根据抛物线的对称轴为，且抛物线的开口向下，据此即可判断C选项；根据抛物线与轴的交点，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，得出当时，，据此即可判断B选项；根据抛物线的顶点坐标，结合抛物线的开口方向，得出抛物线的最大值是，根据一元二次方程的根，可以看作是二次函数于直线的交点横坐标，据此即可判断D选项；根据抛物线的对称轴得出，推得，据此即可判断A选项错误． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，且抛物线的开口向下， ∴当时，的值随值的增大而减小， ∴选项C说法正确； ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，且抛物线的对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴选项B说法正确； ∵抛物线的顶点为，且抛物线的开口向下， 故的最大值是， 当时，抛物线与直线没有交点， 即方程没有实数根， ∴选项D说法正确， ∵抛物线的对称轴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴选项A说法错误． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． 先将等号右边代数式移项至等号左边，再用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，， 故答案为：，． 12．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）顶点坐标是，且开口方向和形状与抛物线相同的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向和形状与a值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标，开口方向和形状与抛物线相同， ∴这个二次函数的解析式为． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，绕点按逆时针方向旋转得，则的度数为 度． 【答案】40 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质等知识，求得，并推导出是解题的关键．由，，求得，由旋转得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕点按逆时针方向旋转得， ∴， ∴， 故答案为：40 14．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，由题意可得，，，再结合旋转的性质即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C， ∴，，， ∵将绕点O按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________． 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________． (2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 【答案】(1)； (2)1050或950 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据利润单件利润件数列出一元二次方程即可； （2）根据（1）中列出的一元二次方程计算即可得解． 【详解】（1）解：小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得； 小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得． （2）解：选择小明的设法，则， 整理，得， 解得，， 则定价为元或元， 答：每件皮衣定价为1050元或950元； 选择小红的设法，则， 整理，得， 解得，． 答：每件皮衣定价为1050元或950元． 16．（2025九年级上·安徽宿州·模拟预测）如图，分别过点（，，）作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，规律探索，找出题中的规律是解本题的关键．先求出，再将各项分别表示出来，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， ． 故答案为：． 三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）选用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以变形为，利用直接开平方法解方程即可得； （2）方程可以变形为，利用直接开平方法解方程即可得； （3）方程利用平方差公式变形为，利用因式分解法解方程即可得； （4）方程利用完全平方公式变形为，利用直接开平方法解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以方程的解为，． （2）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． （3）解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为，． （4）解：， ， ， 所以方程的解为． 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）已知二次函数，过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当取何值时，． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题． （1）把两个已知点的坐标代入中得到关于a的方程，然后解方程求出a即可； （2）求出二次函数图象与x轴的交点，结合开口方向可得结果． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 所以二次函数的表达式为； （2）解：令， 解得：或， ∴二次函数的图象与x轴交于和， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，x的取值范围是． 19．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知：如图绕点逆时针旋转到，此时恰好，，，求是多少度？ 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，由三角形内角和得，则，即求出的度数． 本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ，． 绕点逆时针旋转到， ， ． 20．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）小强同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时的部分过程如下． 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， …… (1)请你帮小强同学完成剩余的推导过程． (2)用公式法解一元二次方程． 【答案】(1)详见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法和公式法解方程， （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）根据公式法解方程即可． 【详解】（1）解：移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 整理得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 21．（24-25九年级上·全国·单元测试）按下列要求画出图形： (1)如图，画出三角形绕点按逆时针旋转后的三角形； (2)如图，将已知四边形分别在格点图中补成以已知直线，为对称轴的轴对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题主要考查了利用旋转和轴对称作图． 分别画出线段、绕点逆时针旋转得到的对应线段、，再连接线段得到即为所求； 图中分别作点、、关于直线的对称点、、，顺次连接点、、、得到四边形即为所求；图中分别画出点、、、关于直线的对称点、、、，顺次连接点、、、，得到四边形即为所求． 【详解】（1）解：如下图所示，分别画出线段、绕点逆时针旋转得到的对应线段、， 再连接线段得到， 则即为所求； （2）解：如图所示，分别作点、、关于直线的对称点、、， 顺次连接点、、、得到四边形， 四边形即为所求； 如图所示，分别画出点、、、关于直线的对称点、、、， 顺次连接点、、、，得到四边形， 四边形即为所求． 22．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读材料，解答问题： 已知实数满足，且，显然是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知 (1)已知实数满足，求的值． (2)已知实数满足且，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，弄懂所给的例子，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意可知、是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，，将所求式子变形为，代入求解计算即可； （2）由题意可知是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ，是方程的两个不相等的实数根， ，， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵即，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． 23．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出 ，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为 ． (2)将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为 则旋转中心的坐标为 ． 【答案】(1)画图见解析， (2) 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、中心对称图形的画法以及旋转的性质（旋转中心的确定方法），解题的关键是：对于关于原点对称的点，掌握其横、纵坐标互为相反数的规律；对于旋转中心的确定，利用 “旋转中心到任意一组对应点的距离相等”，即通过作两组对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心． （1）根据原点对称的两点的横纵坐标互为相反数，据此解答； （2）画出，连接，分别作垂直平分线交于，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 根据图得，点， ∵与关于坐标原点O成中心对称， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，连接，分别作垂直平分线交于， 即旋转中心的坐标为， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点的特征线有：，，，． 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形，点在第一象限，，分别在轴和轴上，抛物线经过，两点，顶点在正方形内部． (1)直接写出点所有的特征线用含有，的式子表示； (2)若点有一条特征线是，求此抛物线的解析式； (3)点是边上除点外的任意一点，连接，将沿着折叠，点落在点的位置，当点在平行于坐标轴的点的特征线上时，将满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在上？ 【答案】(1)，，， (2) (3)抛物线向下平移或的距离，其顶点落在上 【分析】（1）依据“特征线”定义，从平行于坐标轴、平行于坐标轴夹角平分线角度，直接推导点的特征线． （2）先由特征线得出与关系，再结合正方形性质及抛物线过、点，代入求解抛物线解析式． （3）分点在平行于轴和轴的特征线两种情况，利用折叠性质、勾股定理等，结合抛物线顶点坐标，计算向下平移距离． 【详解】（1）解：点， 点的特征线是，，，； （2）解：点有一条特征线是， ， ， 抛物线解析式为， ， 四边形是正方形，且点在的垂直平分线上，， ， ， 将代入得到，； ， 抛物线解析式为； （3）解：当点在平行于轴的点的特征线上时，特征线交轴于，交于， 根据题意可得，， ，， ，， ， 抛物线需要向下平移的距离； 当点在平行于轴的点的特征线上时，特征线交轴于，交于，设，则，，， ， 设，在中，， ， ， 直线解析式为， ， 抛物线需要向下平移的距离， 综上所述，抛物线向下平移或的距离，其顶点落在上. 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中“特征线”概念、抛物线解析式求解、图形折叠性质及抛物线平移，熟练掌握坐标变换、三角形及抛物线性质，灵活运用折叠性质和分类讨论思想是解题的关键． 25．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标． (3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)当的面积最大时，点的坐标为； (3)或或． 【分析】（）求出抛物线与两坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求得直线表达式； （）过点作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，　，由，利用二次函数的性质即可求得点的坐标； （）设点的坐标，分三种情况考虑：为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；利用平行四边形性质即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，则， 解得，， ∵点在点的右侧， ∴，， 令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得 ， ∴直线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大， 当时，， ∴当的面积最大时，点的坐标为； （3）解：点的坐标为或或，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴点的横坐标为， 由（）知，由（）知点的横坐标为， 设点的坐标为， 分三种情况： 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∵， 解得， ∴点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的性质，中点坐标公式，待定系数法求函数解析式，割补法求图形的面积等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：21~ 23章（一元二次方程+二次函数+旋转全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·山东·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）若m是方程的根，则的值为（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（   ） A． B．3 C．2 D． 4．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川泸州·期中）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，过点且平行于轴的直线与抛物线交于两点，与抛物线交于点，抛物线与轴交于点，连接，．若，则梯形的面积为（   ） A．4 B． C． D． 10．（24-25九年级上·四川成都·期中）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论错误是（　　） A． B． C．当时，的值随值的增大而减小 D．若方程没有实数根，则 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）一元二次方程的根为 ． 12．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）顶点坐标是，且开口方向和形状与抛物线相同的抛物线的解析式是 ． 13．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，绕点按逆时针方向旋转得，则的度数为 度． 14．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是 ． 15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________． 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________． (2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 16．（2025九年级上·安徽宿州·模拟预测）如图，分别过点（，，）作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点，则的值为 ． 三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）选用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）已知二次函数，过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)直接写出当取何值时，． 19．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知：如图绕点逆时针旋转到，此时恰好，，，求是多少度？ 20．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）小强同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时的部分过程如下． 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， …… (1)请你帮小强同学完成剩余的推导过程． (2)用公式法解一元二次方程． 21．（24-25九年级上·全国·单元测试）按下列要求画出图形： (1)如图，画出三角形绕点按逆时针旋转后的三角形； (2)如图，将已知四边形分别在格点图中补成以已知直线，为对称轴的轴对称图形． 22．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读材料，解答问题： 已知实数满足，且，显然是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知 (1)已知实数满足，求的值． (2)已知实数满足且，求的值． 23．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出 ，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为 ． (2)将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为 则旋转中心的坐标为 ． 24．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点的特征线有：，，，． 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形，点在第一象限，，分别在轴和轴上，抛物线经过，两点，顶点在正方形内部． (1)直接写出点所有的特征线用含有，的式子表示； (2)若点有一条特征线是，求此抛物线的解析式； (3)点是边上除点外的任意一点，连接，将沿着折叠，点落在点的位置，当点在平行于坐标轴的点的特征线上时，将满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在上？ 25．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标． (3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $