4.1 两个计数原理 课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦分类加法计数原理与分步乘法计数原理，通过教室楼梯选择、餐厅窗口等生活实例导入，引导学生从现实情境抽象出计数问题，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助理解原理本质。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活提炼问题，如座位编号、号码锁拨号实例，结合“数学思维”通过分类分步对比辨析、多解法例题培养推理能力，知识导图总结构建体系。学生能提升逻辑思维与应用能力，教师可借助结构化内容高效教学。

4.1 两个计数原理 第4章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.会用这两个计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 学习目标 作者编号：32200 同学们，在我们的日常生活中处处离不开选择，今天，我们想关注的是对于出现相同结果的原因会有多少种，比如说，从我们教室到教学楼外，我们有几个楼梯可以选择，或者我们先从哪个楼梯到达下一层，然后又可以做出选择；比如说，我们去餐厅就餐，我们有多少个窗口可以选择，或者说，我们先在哪几个窗口买馒头，再到哪几个窗口买菜等等，这些问题都涉及到今天我们要研究的基本计数原理. 新课导入 … … … 作者编号：32200 问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个， 所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码． 问题中最重要的特征是什么？ 最重要的特征是“或”字的出现：每个座位都可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字编号，有两类方案． 新知探究 … … … 作者编号：32200 分类加法计数原理 如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法. 每种方法都能独立地完成这件事 简称为分类计数原理或加法原理 知识梳理 作者编号：32200 问题2：如图，从丽水经杭州到上海的途径有多少种？ 所有途径为6×10＝60(种)． 新知探究 … … … 作者编号：32200 问题3：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1， B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码．如右图， 由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码． 新知探究 … … … 作者编号：32200 分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法. 不能独立地完成一件事，需要几个步骤共同完成一件事 简称为分步计数原理或乘法原理 知识梳理 作者编号：32200 交流讨论：完成一件事时，如何区分是分类还是分步? “分类”与“分步”的区别: ①“分类”中，每种方法都能完成这件事， 而“分步”中，每一步得到的只能是中间结果，缺少任何一个步骤都不能完成这件事. ②“分类”中，各个类别之间是独立的，而“分步”中，各步之间是关联的. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的个数为　　　　.  解析：(方法一)根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类， 在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 36 新知探究 … … … 作者编号：32200 (方法二)分析个位数字，可分以下几类： 个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个； 个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个； 同理，个位数字是7的有6个； …… 个位数字是2的有1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的个数为　　　　.  36 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 利用分类加法计数原理的解题步骤： 作者编号：32200 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，则这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)? 解：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，所以m1＝10； 第2步，有10种拨号方式，所以m2＝10； 第3步，有10种拨号方式，所以m3＝10； 第4步，有10种拨号方式，所以m4＝10. 根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000(个)四位数的号码. 新知探究 … … … 作者编号：32200 变式：一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？ 解：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，即m1＝10； 第2步，去掉第1步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9； 第3步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8； 第4步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7. 根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5 040(个)四位数的号码. 作者编号：32200 归纳总结 利用分步乘法计数原理的解题步骤： 作者编号：32200 例3 编号为A，B，C，D，E的五个小球，放到如图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放到1，2号，B球必须放到与A相邻的盒子中，有多少种不同的放法? 解：根据A球的位置分三类. (1)若A球放入3号盒里，则B球只能放在4号盒里，剩下的三个盒子分别放C，D，E三球，共有3×2×1=6种放法. (2)若A球放入5号盒子里，则B球只能放入4号盒中，剩下的三个盒子分别放C，D，E三球，共有3×2×1=6种放法. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例3 编号为A，B，C，D，E的五个小球，放到如图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放到1，2号，B球必须放到与A相邻的盒子中，有多少种不同的放法? (3)若A球放入4号盒子里，则B球可以放到2号、3号或5号盒子中，剩下的三个盒子分别放C，D，E三球，有3×3×2×1=18种放法. 综合上述，由分类加法计数原理得不同放法共有6+6+18=30种. 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 1.在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. 2.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. 作者编号：32200 根据下列关键词，构建知识导图. “分类加法计数原理”、“分步乘法计数原理” 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有( ) A.24种 B.9种 C.3种 D.26种 2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，则不同选法的种数是( ) A.56 B.65 C.30 D.11 3.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员的选法有　　　种. B A 9 当堂检测 … … … 作者编号：32200 4.(多选)现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是( ) A.从中任选1个球，有15种不同的选法 B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D.若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法 AB 当堂检测 … … … 作者编号：32200 $